淺談中學物理中的數學知識及思維方法

龐 芳 崔虹云 馬 佳

(佳木斯大學理學院物理系，黑龍江 佳木斯 154007)

淺談中學物理中的數學知識及思維方法

龐 芳 崔虹云 馬 佳

(佳木斯大學理學院物理系，黑龍江 佳木斯 154007)

在中學物理教學中，應滲透數學知識和思維方法，以提高學生分析和解決物理問題的能力，本文結合教學實例，予以說明.

物理教學；數學知識；數學思維方法

無論是科學家們探索和建立物理學的歷程，還是中學生學習物理的過程，都離不開數學.運用數學知識和思維方法解決問題是物理教學的內容之一.《普通高中物理課程標準》中明確要求：“通過物理概念和規律的學習過程，了解物理學的研究方法，認識物理實驗、物理模型和數學工具在物理學發展過程中的作用.”因此，有必要梳理中學物理教學中常見的、對學生解決物理問題有重要作用的典型數學知識和思維方法，以下結合實例說明其在高中物理中的應用.

1 中學物理教學中所用到的重要數學知識

1.1 三角形知識及三角函數

(1) 三角形知識

在初中數學學習階段，學生已經對于三角形有了一定程度的了解.在高一階段，力的合成與分解大量運用了三角形知識，這恰恰也為學生整個高中三年的物理學習奠定了基礎.

例1:以下的選項中三力可以平衡的有( ).

A. 1N，1N，3N B. 5N，3N，4N

C. 6N，8N，10N D. 3N，5N，9N

分析：本題四個選項中不存在三力在同一條直線上的情況，根據三角形定則的學習，學生很容易將三力平衡問題轉化為三邊能否構成一個封閉三角形問題，通過初中三角形知識：三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.稍加運算，即可得出正確選項為B、C.

(2) 三角函數

三角函數知識在高中物理學習中運用廣泛，下面主要舉例分析其在平拋運動中的運用.

例2:如圖1所示，一個做平拋運動的物體在某一時刻某一位置處，設其末速度方向與水平方向的夾角為α，位移與水平方向的夾角為θ，求α、θ兩角正切值之間的關系.

圖1

1.2 不等式法

例3:如圖2所示，電源電動勢E=3V，內阻r=1Ω,滑動變阻器的總阻值R總大于電源內阻，現將開關S閉合，試問當R為多少時電源的輸出功率最大？

圖2

1.3 函數法

函數的應用幾乎貫穿整個高中物理的學習過程.必修1中勻變速直線運動中速度與時間的關系呈一次函數關系，位移與時間的關系則呈二次函數關系，物體所受合力和加速度呈正比例函數關系，必修2的曲線運動與軌跡方程聯系緊密，選修3-2中交變電流則用正余弦函數呈現函數關系.

一次函數關系在高中物理中常常出現，在做勻速直線運動物體的位移-時間圖像中，一次函數圖像的斜率代表了物體的速度.在做勻加速直線運動物體的速度-時間圖像中，函數圖像的斜率體現了物體的加速度大小，從圖像也可以看出物體的速度增減情況.

例4:從傾角為θ的斜面頂點將一小球以v為初速度水平拋出(假設斜面足夠長)，求小球與斜面的最大距離？

如圖3建立平面直角坐標系，求出小球運動軌跡的二次函數表達式，通過頂點坐標公式來求小球離斜面的最大距離.

圖3

2 中學物理教學中所滲透的主要數學思維方法

許多數學中常用的思維方法對于中學物理教學以及物理問題的分析都有很大幫助，教師應當注意對學生進行有針對性的思維訓練，對學生的物理學習起著重要的作用.

2.1 數形結合

我國著名數學家、中國科學院院士華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休.”數與形是傳統數學中的最基本的兩個研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化.學生在中學數學課程的學習中主要以數和形為研究對象，數與形之間存在著關聯，而這個聯系則稱之為數形結合.作為一種數學思維方法，數形結合一般有兩種應用：其一是利用精確的數字來闡明形的屬性，二是借助形的幾何直觀性來表明數之間關系.

在數學教學中，以數解形、以形助數、數形結合的思維方法為解決問題提供了極大的方便.而物理之所以常被學生評價為“晦澀難懂”，其中一個原因就是物理雖貼近生活，但由于用文字描述而顯得缺乏直觀性，不同的問題描述的物理圖景不同，讓學生難以尋得“捷徑”.而圖形恰恰就是物理學習中的“捷徑”，物理圖形的設立不僅有利于學生的理解，而且有利于物理模型的建立.

數形結合的思維方法在物理教學中已經被大量應用，如在高中運動學部分，教師經常會要求學生畫出v-t圖像、s-t圖像，以幫助分析運動過程，動力學部分更是要養成畫出受力分析圖的習慣，在磁場的學習中，常見微粒射入變化的電場、磁場中，求軌跡半徑、周期等計算題，有的學生遇到此類問題，往往覺得無從入手.此時若能引導學生分析微粒受力情況并畫出軌跡圖，學生必能輕松發現解決問題的突破口.

例5:一個正六邊形ABCDEF處于勻強電場中，A、B、C點的電勢分別為1V、2V、3V，下列選項中正確的有( ).

A. UAF=0

B. UCF=0

C. 電場方向從C指向A

D. D、E、F三點電勢為3V、2V、1V

分析：學生遇到此類習題，往往覺得無從入手，這時作圖就顯得尤為重要.啟發學生作圖，先畫出題中所要求的正六邊形，如圖4所示，連接AC，找出中點，通過電勢的計算可以得到這個中點應該和B在同一個等勢面上.引導學生回憶等勢面的特點：等勢面一定與電場線垂直，即跟場強的方向垂直.而且，學生在中學數學中已經學習了多邊形的基本性質，稍加運算即可得出AC與BE相互垂直.這樣一來，學生可以畫出所求勻強電場的電場線.畫出了電場線的分布，一切問題就迎刃而解，通過簡單的計算，可以判斷各選項的正誤.

圖4

2.2 逆向思維

學生在物理學習中習慣于正向思考，從已知條件開始，循序漸進地推導出結果.但在數學的證明過程中有時會采用逆推思維，從最后的結果出發，逆向推理直至解出問題.逆向思考的思維方法運用到物理教學中也會產生出其不意的效果.例如勻減速直線運動，如果看成反方向的勻加速直線運動來解題，思路更加清晰.

例6:一小物塊以一定的初速度自光滑斜面的底端a點上滑，最遠可達b點，e為ab的中點，已知物體由a到e的時間為t0,則它從e經b再返回e所需時間為( ).

2.3 矢量分析

學生初入高中，運動學部分就介紹了速度和位移都是矢量.而部分學生沒有習慣矢量的運算方式，將在初中學習的速度和路程與之混淆，形成思維障礙.高中物理學習常常要運用到矢量的計算，平行四邊形定則、三角形定則是研究力學的基本工具，其運算過程中遵循矢量運算法則，熟練運用矢量法解決物理習題十分重要.

例7:a、b、c是三個完全相同的絕緣金屬小球.現將三個小球如圖5放置在等邊三角形的三個頂點上，使c球恰好處于xOy坐標系的原點O上.已知a、c小球帶正電，b球帶負電，a球所帶電荷量比b球所帶電荷量少.關于c球受到a和b對它的靜電力的合力方向，下列判斷正確的是( ).

A. 從原點指向第一象限

B. 從原點指向第二象限

C. 從原點指向第三象限

D. 從原點指向第四象限

圖5

分析：在本題中畫出c球受力示意圖，再通過三角形定則做出矢量合成圖，利用矢量圖分析，很容易得到c受到合力的方向.

中學物理教育目的在于提高全體學生的科學素養，科學素養不僅僅是科學知識，更多的是注重科學過程、科學方法和科學精神.因此，讓學生學會用數學知識和思維方法來解決物理問題，應該作為中學物理教學的一項重要目標.

[1] 林威.挖掘三角函數問題的隱含條件[J].中學生天地，2012,(10)：26-29.

[2] 李玉榮.悄然興起的“用形輔數”中考題[J].中學數學月刊，2010,(3)：26-27.

[3] 姜建平.淺析數形結合思想在解析幾何中的運用[J].理科考試研究(高中版)，2012,(12)：25-26.