從三節“同課異構”課反思概念教學

傅曉虹

[摘 要] 如何進行有效的概念教學，圍繞核心概念展開教學，實現教學目標，讓學生體會到數學的概念、思想的起源與發展及被認識都是自然的. 本文以《數學歸納法》三節“同課異構”為載體，談談對概念教學的反思和體會.

[關鍵詞] 數學歸納法；同課異構；概念教學；反思

為提高學校數學教育教學水平，促進教師及時反思、總結教學實踐經驗，推動新課程改革實施，全面推進素質教育，實現有效到高效，我校數學組開展了一次“如何讓課堂教學更有效”同課異構教學活動. 本次活動分為定課題、聽課、評課、反思過程. 筆者本人參與了上述全部過程，有幸聆聽、參與聽評課，其中教學的處理以及評課中存在的觀點分歧，引起了筆者對如何上好一節概念課的深思.

[?] 教學片段對比

1. 實例的引入

教師A：已知數列{an}滿足a1=1，an+1=（n=1，2，3，…），試求數列{an}的通項公式.

學生：a1=1，a2=，a3==，a4=，找規律得出an=.

教師A：從上面四項歸納出來對n=1，2，3，4成立，但一般情形是否成立還沒有驗證，能否通過有限步驟代替無限步驟？請看多米諾骨牌實驗（教具演示）.

教師B：已知數列{an}滿足a1=2，an+1= a-nan+1（n=1，2，3，…），求a2，a3，a4，并猜想an.

學生：先求出a2=3，a3=4，a4=5，所以an=n+1.

教師借此點出數學歸納法，同時結合費馬猜想說明上述不完全歸納不一定正確，需要證明，引到多米諾骨牌實驗（教具演示）.

教師C：已知數列{a2}滿足a1=1，an+1= a-nan+1（n=1，2，3，…），求a2012.

教師C的引例與教師B差不多，但處理不太一樣，通過問題1“前四項對通項有什么幫助”和問題2“有依據嗎”引到如何驗證，啟發學生從游戲得到啟發，展示多米諾骨牌實驗（視頻）.

2. “多米諾骨牌實驗”的運用

教師A以書本為教具演示，第一次演示能否一次性把所有依次豎立的書本倒下，如果可以并提問分析所需的條件是什么. 師生共同得出結論：①第一本書被推倒；②前一本書倒下，導致后一本書倒下. 教師調整書的間隔，再次演示，提問此時書為什么不能全部倒下，并追問能否從第二本書開始. 把學生引到數列通項的推導過程與推書有什么聯系的地方.

教師B依次平鋪一疊撲克牌，提問如何把它們一次性翻過來. 教師動手實驗，學生觀察分析，只要滿足兩個條件：①第一塊撲克牌翻上來；②任意相鄰的兩張牌，前一張翻過來一定導致后一張翻過來. 然后類比到數列引例.

教師C利用“球撞骨牌”視頻，引導學生思考以下問題. 問題1：每一張骨牌的倒下需要一張張去推倒嗎？學生：僅需推倒第一張即可. 問題2：為什么第一張倒下會讓其他張都會倒下呢？學生：任意的兩張骨牌如果第k張倒下則第k+1張倒下，骨牌倒下具有傳遞性. 總結：全部倒下需要兩個條件，①第一張骨牌倒下；②若第k張骨牌倒下，則第k+1張骨牌也倒下. 問題3：能否抹去條件①或條件②？學生：不能，如果去掉條件①，一張都不能倒下；如果去掉條件②，不能保證全部倒下. 問題4：若條件①和條件②都滿足能使多少張骨牌倒下？由此引到歸納法概念的建立.

3. 數學歸納法概念的建立

教師A運用多米諾骨牌實驗所得原理，證明引例，由此概括出證明某些與自然數有關的數學命題方法，即數學歸納法.

教師B的處理方法與教師A一致，都是由引例解決，引出數學歸納法的概念及其基本步驟，由特殊到一般.

教師C記“骨牌倒下”為命題p，則骨牌實驗原理可以敘述為：①n=1時，命題p成立；②若n=k（k∈N*，k≥n0）命題p成立，則n=k+1時，命題也成立. 即若①②同時成立，則命題p對所有的n∈N*都成立. 由第一步的奠基和第二步的傳遞，把無限的遞推轉化為有限步驟，實現了對任意n∈N*命題的證明，由此回歸到引例證明，給出數學歸納法的概念.

4. 基本步驟的熟悉

教師A選用了教科書（選修2-2）中的例1：用數學歸納法證明12+22+32=（n∈N*）. 教師板書示范并給出兩道練習題：

（1）用數學歸納法證明：1+3+5+…+（2n-1）=n2（n∈N*）.

（2）已知f（n）=++…+（n∈N*），則f（k+1）=______.

教師B的選例是求證：1+++…+<2-（n∈N*，n≥2）. 教師講解板書并布置課堂練習：教科書（選修2-2）例1（同上）.

教師C的選例：教科書（選修2-2）例1（同上）. 師生共同完成.

[?] 評課反思

評課交流主要集中在三個問題上：一是這節課的引例實驗如何合理地利用；二是數學歸納法是選修內容，教科書僅要求對數學歸納法的概念進行了解，教學重點是放在概念的理解上還是在了解概念后基本步驟的落實上；三是教科書規定的是一個課時，這一個課時如何選題，選哪些題. 筆者反思如下：

1. 引例≠引入

三位教師都從數列問題引入，引發學生認知沖突，然后引到問題論證，尋找證明原理. 教學遵循的是“沖突→原理（方法）尋找→問題解決”. 用引例引入課題，但不能僅僅滿足于引例的“引入”功能，應該充分發揮引例的潛在功能，給足學生思考的時間和空間，讓學生意識到這是一個有關正整數n（n∈N*）恒成立的命題，讓學生體會到該命題與通常命題的區別，從而為尋求證明的過程打下堅實的基礎. 針對多米諾骨牌實驗，為了更好地運用實驗原理，可運用表格作如下改進：

[多米諾骨牌

2. 了解概念≠過程淡化

三種不同設計體現了對這節課的不同理解和處理. 教師A側重對數學歸納法基本步驟的掌握；教師B對數學歸納法的概念建立（包括基本思想滲透）和基本步驟的掌握時間各占一半，體現了既注重概念又注重運用；教師C正好選擇重概念的建構和基本思想的滲透，把數學歸納法的運用當作是對概念理解的載體. 這些處理的不同是基于他們對教學用書的理解和教材的處理不同，正如教師A在課后交流中提到，教師教學用書對數學歸納法的基本思想僅要求了解，而對基本步驟要求掌握，所以教學目標只要學生了解數學歸納法，能掌握數學歸納法的基本步驟去證明有關自然數的命題即可. 而教師B則認為，數學歸納法的步驟是重要的，學習了當然希望學生會證明，但對歸納法不理解，運用肯定會有困難，故不能淡化對概念的理解. 教師C則認為，雖然教學目標是讓學生掌握基本步驟，以致能證明一些有關自然數的命題，但是對歸納法的基本概念及思想要是不理解就談不上運用，所以把重點放在了概念的建構和思想的滲透上. 在交流時，大家的意見基本上分為兩種，一種是淡化概念，注重步驟能操作處理問題就可以了；另一種就是肯定教師C的上課法，注重概念. 到底哪種更好，從課堂學生練習效果來看，反而是教師C的學生普遍做得到位.

3. 好題≠典例

教師A選用的練習“已知f（n）=++…+（n∈N*），則f（k+1）=____”.在這節課不是很合理，本節重要的是在概念理解的基礎上對步驟的落實，而這一練習無形中增加了教學難點. 又如教師B的選例“求證：1+++…+<2-（n∈N*，n≥2）”，初看是一道好題，結合了不等式以及放縮證明的技巧，但是教學中轉移了學生的注意力，不利于學生對主干知識的掌握. 教學中我們經常困惑，那么多的好題、類型題，該如何選擇，總是難于舍棄. 其實關鍵在于一節課教學目標的定位和教師對學生的認知需求的一種理解. “學生有學生的認識規律，教師不能代替學生的認知，應該給學生認識的空間，否則再好的電影，學生看來要是沒有感覺，放過就沒有印象了”.

[?] 對今后概念教學的啟示

1. 數學的引例實驗——為概念的理解鋪路

三節課都是以數列題引入，但教師A的引例“已知數列{an}滿足a1=2，an+1=（n=1，2，3，…），試求數列{an}的通項公式”，對部分學生可能缺少驅動力，因為學生容易用數列知識解決此題：=+，可得

為等差數列，給學生的懸念沒有另外兩個教師的引例強.另外兩個教師給出的兩道題都具備了從不完全歸納到完全歸納猜測驗證的功能，都具有了本節核心概念的特例功能. 對多米諾骨牌實驗，三位教師都運用了類比，但在對實驗的運用上還欠缺挖掘，很多時候都是傳達一種遞推的事實，而沒有很好地為概念的建立服務. 應該讓學生觀察或動手“能全部倒下”“只能部分倒下”和“一張都不能倒下”的情形，上述實驗只需調整骨牌間的距離，就能實現. 其實多米諾骨牌實驗也可以用傳遞信息游戲取代.

2. 數學概念的教學——重概念的形成過程

本節的核心概念是數學歸納法，這個概念滲透著歸納遞推思想，雖然對思想只需了解，但是它是基本步驟能否掌握的關鍵，所以除了通過游戲或實驗直觀引起學生認識原理外，還要對概念進行深層次理解，這也是本節教學的難點、疑點所在. 學生可能對數學歸納法步驟2中假設n=k時p（k）成立產生疑惑，而對于步驟2是證明了什么一知半解. 教學中，教師應該幫助學生建立這種假設性的推理概念，讓學生認識到，在第二步我們實質上是證明了一個延續遞推規則，這里并不涉及p（k）或p（k+1）的真假，只是證明了“p（k）為真，則p（k+1）也為真”這樣的一個條件命題成立. 這一點上，三位教師都不夠重視.

3. 數學習例的演練——為概念的鞏固服務

教學中例習題的選擇，經常困擾著我們的教師，因為我們手頭經常有一些“好題”，難以取舍或割舍不下. 到底什么樣的題才是課堂真正需要的好題呢？筆者認為要滿足兩個標準：一是對本節核心概念具有鞏固作用，二是要滿足學生學習就近發展區，否則再典型也會起不到作用. 如果預設生成不了，可能還會增加學生學習的困難，轉移學生的注意力，使得課堂“翹一翹”反而成為敗筆. 本節課例習題的作用是讓學生鞏固數學歸納法的兩個步驟，課本給的例習題比較適合.

當前的數學課堂中，以解題教學代替概念教學現象時有發生，在概念教學的引入、概念過程的經歷體驗上給學生的時間和空間不夠，以致教師教完了，學生對內容、方法和思想知之甚少. 所以必須重視概念教學，讓學生經歷概念的形成過程，正如李邦河院士所認為“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也”那樣，我們教學要聚焦概念教學，探索概念教學的方法和基本規律.