基于快速非奇異終端滑模的直線開關磁阻電機位置控制

周龍飛,趙世偉

(華南理工大學,廣州510640)

0 引 言

直線驅動式電機在減少中間傳動裝置的同時提高了運行效率和控制精度,因此在精密直線運動的場合具有重要的地位。直線開關磁阻電機屬于一種直線式機電能量轉換裝置,它將傳統的旋轉式開關磁阻電機和直線驅動式電機結合在一起,具備了兩者的雙重特點[1],使得該電機具有廣闊的應用前景[2-3],尤其是在高精度伺服控制領域,得到了越來越多的關注。但同時它也存在電磁關系高度非線性、電磁力脈動較大、精確模型難以建立等缺點,因而使得該電機的控制方式較為復雜。

近年來,針對直線開關磁阻電機高性能伺服控制成為了中外學者研究的熱點。傳統PID在工業控制領域的應用較為常見[4],然而,直線開關磁阻電機的動態特性復雜,電機參數在運行過程中也可能發生變化,傳統PID在復雜工況下的控制效果難以保證。文獻[5]采用了多相激勵以及平滑電磁力控制,有效地減小了電磁力脈動;文獻[6]研究了PI控制和滯環電流控制,實現了電機的四象限運行;文獻[7]基于自校正技術對直線開關磁阻電機進行了位置控制,克服了該電機模型不確定的缺點,且具有較高抗干擾能力;文獻[8]研究了無源性控制算法在直線開關磁阻電機中的應用,增強了該電機控制性能和全局穩定性;文獻[9]研究了協調跟蹤控制和群控制在直線開關磁阻電機位置跟蹤中的應用,減小了跟蹤誤差;文獻[10]研究了滑模變結構控制在永磁同步電機控制系統中的應用,實現了給定指令信號較好的跟蹤性能。

滑模變結構控制[11]發展初期主要研究線性滑模,滑動面表示為系統狀態的線性函數。線性滑模面決定了系統狀態以指數形式漸近收斂于給定軌跡,即表示系統狀態不斷趨近,但卻永遠無法到達給定軌跡。終端滑模[12]是一種有限時間收斂的滑模控制策略,通過將非線性項引入滑模面中,滑模面將跟隨系統狀態或者時間的改變而改變,從而改善系統的收斂特性,使得系統狀態可以在有限時間內收斂至給定軌跡。

本文運用終端滑模控制中的快速非奇異終端滑模控制算法(以下簡稱FNTSM)[13]對直線開關磁阻電機位置控制器進行設計,并論證了系統的穩定性和收斂性。通過Simulink仿真,將其與傳統的PID控制和基于指數趨近律的滑模控制(以下簡稱SMC)進行了對比分析。

1 直線開關磁阻電機結構和數學模型

1.1 直線開關磁阻電機結構

本文采用的直線開關磁阻電機結構模型如圖1所示,為雙凸極鐵心結構,主要由定子導軌和動子兩部分組成。圖中:x0=40 mm,x1=40 mm,x2=10 mm,x3=18 mm,y1=5 mm,y2=12 mm,z=0.55 mm,d=12 mm。

圖1 直線開關磁阻電機結構圖

1.2 直線開關磁阻電機數學模型

直線開關磁阻電機的各繞組的磁路相互獨立,可以忽略各相繞組之間互感,因此可以分別列寫各相繞組的電壓平衡方程如下:

式中:ek,Rk,ik,Uk,ψk分別為相繞組感應電動勢、電阻、電流、外加電壓和磁鏈,其中k=a,b,c。由于繞組磁鏈是相電流ik和位移x的函數,故可得如下形式的電壓平衡方程:

該電機的電磁力fe可根據機電能量轉換原理推導得到:

該電機的機械運動方程:

式中:M,b,fl,a,v分別為動子質量、摩擦系數、負載、動子運動加速度、動子運動速度。

當該電機的磁路工作在線型狀態時,各相繞組磁鏈僅為位移的函數,所以其電磁力可以表示:

為了提高電機的工作性能,常常使該類電機工作在磁路飽和區間。本文對該直線電機進行了有限元建模及仿真分析,得到該電機的磁化特性曲線和電磁力特性曲線分別如圖2和圖3所示。

圖2 電機非線性磁化曲線

圖3 電機電磁力特性

由圖2、圖3可知,該電機的磁化特性和電磁力特性均呈現較強的非線性特點,難以精確建立此種電機的數學模型。為了保證仿真精度和簡化建模工作,本文采用查表法[14]對該電機的磁化特性及電磁力特性進行仿真建模。

2 控制器設計

2.1 控制系統結構框圖

控制系統的結構框圖如圖4所示。系統采用雙環級聯結構,內環為電流環,外環為位置環。一般來講,由于電機的電磁時間常數遠小于其機械時間常數,故可以認為機電系統是由電磁快變子系統和機械慢變子系統組成。從兩時間尺度的角度理解,可以分別針對內環和外環獨立設計控制器,從而簡化該系統控制器設計過程。為了提高電流響應速度及簡化計算,本文的電流控制器采用比例控制算法,位置控制器分別采用PID算法、基于指數趨近律的滑模控制算法以及快速非奇異終端滑模控制算法。

圖4 直線開關磁阻電機位置控制框圖

由圖4可以看出,控制過程為將位置指令與實際位置x的差值輸入位置控制器得到電磁力指令,進而根據力分配函數表得到三相力指令三相力指令通過有限元數據查表得到三相電流指令最后通過三相電流控制器得到三相控制指令,即各相繞組輸出電壓。

2.2 力分配函數

為了使電機獲得期望電磁力,電機的繞組勵磁應與電機的運行位置進行同步切換。直線開關磁阻電機有單相和多相導通運行方式,本文采用多相繞組交錯導通勵磁方式[14],以減少電機電磁力脈動。具體實現方式是以一個齒和槽的距離(y2=12 mm)作為勵磁周期,將其劃分為6個區間,根據不同區間的相對位移和電磁力指令來分配各相繞組所應貢獻的電磁力大小,以此來減小電機運動過程中所產生的電磁力波動。力分配函數如表1所示[7,14]。其中為控制器輸出的期望力指令。

表1 力分配函數表

2.3 快速非奇異終端滑模控制器設計

一般滑模控制系統的運動過程包含趨近運動和滑模運動兩個階段。在趨近階段,滑模控制推動系統狀態向滑動面運動。當系統狀態到達滑模面時,系統運動由趨近階段轉為滑動模態,系統狀態降階表示為滑模面的方程。

由式(4)可得如下系統的狀態空間表達式:

式中:

根據式(6)可得:

式中:kc為庫倫摩擦力系數;sgn()為符號函數。

根據快速非奇異終端滑模的定義,在傳統的線性切換函數中引入非線形項。設位置指令為xref,定義位置誤差為誤差變化率為則切換函數的表達式:

式中且均為正奇數)由的定義可知,此函數為光滑連續且單調遞增的,并且返回值為實數。

常用的滑模控制律的設計方法為滑模等效控制方法[15],控制律通常包含等效控制項和切換控制項兩部分。故將控制律設計為如下形式:

式中:ueq為等效控制項,un為非線性控制項。下面詳細給出控制律設計過程。

為保證滑動模態的存在,暫且不考慮系統的參數攝動和外部擾動,對s求時間的一階導數得:

1)當時:

將式(7)代入,并假設fl=0,得到:

從而得到等效控制律:

式中:1<γ<2,故從理論上保證了控制器不存在奇異控制區域。

2)當時,根據且p,q均為正奇數,可得到與式(12)相同的等效控制律。同時,將非線性控制項設計:

式中:k1,k2為常數,0<ρ<1。

綜上可得快速非奇異終端滑模控制器的控制律:

根據上述控制器設計過程,影響控制器輸出的參數主要是λ,γ,ρ。通過對切換函數和控制律的分析可知:較小的λ會使得系統具有更大的帶寬,也就意味著更快的響應速度和更高的跟蹤精度;增大γ值可以有效地縮短收斂時間,但同時也會放大系統的測量誤差;在滿足0<ρ<1的條件下選擇較大的ρ值可以得到更加光滑的控制信號,因而有效地削弱控制器信號的抖振,但會降低系統的魯棒性。總之,選擇合適的控制器參數對控制系統的性能至關重要。

2.4 控制器特性分析

2.4.1穩定性分析

對于上述快速非奇異終端滑模控制器,構建Lyapunov能量函數其中V≥0,當且僅當s=0時V=0。對V求一階導數,并將式(14)代入整理可得:

式中

根據上式中參數的取值可知:ψ1>0,ψ2>0,故0,當且僅當s=0時,=0。因此表明該控制系統將由初始狀態收斂于滑模面,系統是全局穩定的。

2.4.2收斂性分析

根據上述穩定性分析可知,該系統在給定的控制律作用下收斂于滑模面。當系統狀態到達滑動面時,系統運動由趨近階段轉為滑動模態,即從到達滑模面的初始狀態收斂于誤差坐標的原點。

當e≠0,≠0的情況下,則存在實數ε1>0,ε2>0,滿足ψ1≥ε1,ψ2≥ε2,由式(15)可得:

將函數代入式(16)可得:

根據文獻[15]求解上述不等式,可得系統狀態收斂于誤差坐標原點的時間tr:

式中:V0=V[s(0)],即系統的初始狀態。

上式表明在給定系統初始狀態的情況下,控制系統的跟蹤誤差將在有限時間內收斂于誤差坐標原點,即

通過對FNTSM位置控制器的設計以及對控制器特性的分析,可見該控制器有效地避免了奇異點的出現,而且在控制律中引入指數項,使得系統有較快的收斂率,提高了系統的響應速度。同時,還利用連續函數代替在滑模變結構控制律中使用的開關函數,使控制律的連續性得到了實現,這樣可以有效地削弱控制信號的抖振,能夠讓系統的穩定性進一步提高。

3 控制系統仿真結果與分析

本文采用上述直線開關磁阻電機數學模型以及快速非奇異終端滑模算法在Simulink環境下仿真,并分別與傳統PID控制和基于指數趨近律的SMC控制的仿真結果進行了對比分析。

仿真中所用電機模型主要參數:對齊位置電感Lal=21.9 mH,非對齊位置電感Lua=17.9 mH,摩擦系數B=0.08,動子質量M=2 kg,給定跟蹤位置指令為±0.1 m的方波。

仿真結果表明,直線開關磁阻電機仿真模型在傳統的PID控制器和FNTSM控制器下均能夠準確地跟蹤方波位置信號。圖5表示PID控制器和FNTSM控制器具有相同的響應速度,從圖中可知兩種控制方式下的上升時間約為0.3 s,但相對于FNTSM控制算法,采用PID控制使得該位置控制系統具有明顯的超調。雖然保證了較快的響應速度,但在高精度的位置控制中超調是不允許的。圖6為適當減小PID控制器中的比例參數,并略微增大微分系數后得到的仿真結果。此時兩種控制器均實現無超調跟蹤,但此時PID控制器的上升時間明顯較長,達到0.5 s。圖7是控制系統運用兩種控制算法時的位置跟蹤誤差,所得到的穩態誤差分別為30 μm(FNTSM)和180 μm(PID)。

圖5 FNTSM和PID位置跟蹤曲線仿真圖

圖6 FNTSM和PID位置跟蹤曲線仿真圖

圖7 位置跟蹤誤差仿真圖

通過上述分析說明直線開關磁阻電機快速非奇異終端滑模位置控制在保證系統穩定運行的前提下,相較于傳統PID控制具有更好的動態性能和更小的穩態誤差。

圖8為FNTSM和SMC控制器仿真結果。表明基于指數趨近律的傳統滑模控制(SMC)和本文應用的FNTSM控制算法的動態過程無明顯差別,但FNTSM的上升時間更短,響應速度更快。而且電機模型在兩種控制器下的穩態跟蹤誤差也沒有明顯差別,滿足高精度伺服控制的要求。基于FNTSM算法的控制器輸出和基于指數趨近律的SMC算法的控制器輸出分別如圖9和圖10所示。通過對比可知,在系統狀態接近平衡點附近時SMC控制器有明顯地高頻抖振。而FNTSM控制器通過選擇非線性滑模面和在控制律中有目的更換傳統的切換函數,可以明顯地削弱系統狀態在滑模面上的高頻抖振,保證系統狀態在有限時間內收斂于誤差坐標原點,實現對給定軌跡的準確跟蹤,提高了系統的響應速度和穩定性。

圖8 FNTSM和SMC位置跟蹤曲線仿真圖

圖9 FNTSM控制器指令輸出仿真圖

圖10 SMC控制器指令輸出仿真圖

4 結 語

本文采用快速非奇異終端滑模控制算法對直線開關磁阻電機進行了位置控制器的相關設計,并在Simulink中搭建仿真模型進行算法驗證。通過將仿真結果分別與傳統PID控制器和基于指數趨近律的SMC控制器的仿真結果對比分析后可知,在FNTSM控制下電機位置誤差能夠更快地收斂至平衡點,而且具有無超調,平衡點附近波動小,控制量抖振小,穩態精度高等特點。因此,該算法在工程中具有廣泛的應用前景。

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