淺談如何在操作中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

郭祥

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）明確地將“模型思想”列為核心概念之一，這是當(dāng)今社會(huì)對義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)提出的新課題和新要求。在廣義模型觀下，數(shù)學(xué)就是關(guān)于模型的科學(xué)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)上就是對數(shù)學(xué)模型的認(rèn)知以及建模過程的經(jīng)歷與經(jīng)驗(yàn)的積累。數(shù)學(xué)模型的抽象性與小學(xué)生以形象思維為主的認(rèn)知特征，是數(shù)學(xué)建模教學(xué)中一對突出的矛盾，化解矛盾的方法是多元的，而通過學(xué)生操作實(shí)踐化解的效果則是顯然的。

一、在操作中誘發(fā)模型意識(shí)

著名教育學(xué)家蘇霍姆林斯基曾說過：“兒童的智慧就在他的手指尖上。”那么由“指尖”抵達(dá)心靈的“智慧”通道是什么呢？讓學(xué)生面對現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)問題，在內(nèi)心產(chǎn)生疑惑與探究的欲望，積聚操作的內(nèi)驅(qū)和勢能，讓操作成為學(xué)生自己內(nèi)心深處的一種需求，而不是外在的指令要求，的確是一則良策。

例如《三角形三邊關(guān)系》的教學(xué)。三角形是由三條線段圍成的圖形，反過來，提供三條線段是不是就一定能圍成一個(gè)三角形呢？對此，學(xué)生或肯定，或否定，或心存疑惑，此時(shí)用小棒替代線段來圍一圍的操作自然成為學(xué)生驗(yàn)證自己內(nèi)心想法的一種強(qiáng)烈需要。在選擇長短不同的小棒圍三角形的嘗試中，學(xué)生會(huì)主動(dòng)發(fā)現(xiàn)：同樣是三條線段，有時(shí)能圍成三角形，有時(shí)則不行。這是為什么呢？操作結(jié)果勢必誘發(fā)新的探索：怎樣的三條線段能圍成三角形呢？而怎樣的則圍不成？學(xué)生的探索自然會(huì)匯聚到一點(diǎn)——三角形三邊關(guān)系的數(shù)學(xué)模型上。從4厘米、5厘米、6厘米和10厘米的四種小棒中，選擇三根小棒動(dòng)手操作、觀察記錄和比較交流中發(fā)現(xiàn)，三角形任意兩邊長度的和大于第三邊。

顯然，真正建立在學(xué)生內(nèi)在需求基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)活動(dòng)，能夠有效誘發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的思考與探索；翔實(shí)的操作體驗(yàn)和深層的認(rèn)知需求協(xié)同作用下的數(shù)學(xué)活動(dòng)，是學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的一條重要途徑。

二、在操作中豐富模型體驗(yàn)

概念作為一種數(shù)學(xué)模型，尤為抽象，學(xué)生不易理解，難以掌握，也容易混淆。其教學(xué)應(yīng)盡量將抽象的概念作具體的、形象化的演繹，將靜態(tài)的描述轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的操作過程，讓學(xué)生的思維發(fā)源、依托并超越操作活動(dòng)。通過操作獲得直接的感性體驗(yàn)與認(rèn)識(shí)；在有層次、多維度的操作體驗(yàn)中逐步豐富表象與感悟?qū)傩裕粦{借“操作一思維，思維一操作”的不斷往返交替與螺旋攀升，助推學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)領(lǐng)悟與理解。

例如《認(rèn)識(shí)周長》的教學(xué)，是要引導(dǎo)學(xué)生在二維平面圖形中研究一維長度的概念，對學(xué)生而言具有認(rèn)知上的挑戰(zhàn)，其關(guān)注點(diǎn)和思維都難以聚焦，認(rèn)識(shí)也難以清晰、到位和深刻。需要引導(dǎo)學(xué)生利用并順應(yīng)先前認(rèn)識(shí)圖形的經(jīng)驗(yàn)與順序——由體到面，做進(jìn)一步的遞推，再由面到線逐步建立起一周邊線長度——周長的概念。教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一些必要的操作活動(dòng)，借助學(xué)生熟悉的素材“做中學(xué)”。首先，讓學(xué)生把自己喜歡的卡通貼畫的邊緣描一描，并從卡片上剪下來，剪好后同桌互相指一指，說一說：“你沿著什么剪的？從哪里剪到哪里？卡通貼畫的邊緣，也就是邊線在哪里？”在描、剪、指、說的過程中體會(huì)“邊線”“一周”的含義。接著，讓學(xué)生在小組里指一指并說一說書本、課桌、樹葉、硬幣等物體表面的“一周邊線”，比較它們的長短；再讓學(xué)生獨(dú)立描一描平面圖形（長方形、三角形、半圓形、不規(guī)則的圖形）的邊線，幫助學(xué)生從實(shí)物到平面圖形，完整地建立對“一周邊線長度”——周長的理解。最后，再設(shè)法讓學(xué)生量一量樹葉的周長、樹干的周長，在化曲為直、從平面到立體的變式、拓展的操作體驗(yàn)中，豐富和完善對周長概念的本質(zhì)理解。

概念教學(xué)的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，一是要讓學(xué)生準(zhǔn)確把握其內(nèi)涵，二要讓學(xué)生厘清界定其外延。由于二者往往交織于概念模型形成的過程之中，常常需要通過分層操作、專項(xiàng)操作讓學(xué)生在豐富模型體驗(yàn)的基礎(chǔ)上完善、深化對模型的認(rèn)知。

三、在操作中生成模型表征

現(xiàn)代心理學(xué)認(rèn)為，思維的發(fā)展一般要經(jīng)歷“直觀動(dòng)作思維一具體形象（表象）思維一抽象邏輯思維”這樣三個(gè)階段。

學(xué)生的操作過程是一種思維的外化過程，常常能夠助推其直覺思維和具體形象f表象1思維。學(xué)生在操作過程的體驗(yàn)，對操作經(jīng)驗(yàn)的積累，以及基于操作結(jié)果的分析與感悟，常常會(huì)內(nèi)化為他們頭腦中的表象或圖式，而隨著表象的不斷豐富和逐步精致化，會(huì)更進(jìn)一步地深化為理性經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)圖式表征到意義表征的飛躍。

例如《搭配的規(guī)律》教學(xué)。出示圖片信息：2件上衣和3條褲子；呈現(xiàn)問題：一件上衣與一條褲子搭配，一共可以有多少種不同的穿法？先讓學(xué)生借助實(shí)物圖片擺一擺，通過實(shí)踐操作獲得直觀經(jīng)驗(yàn)；再把自己的想法設(shè)法在本子上表達(dá)出來；然后合作交流，展示不同的數(shù)學(xué)思考：有的用文字一一列舉，有的用符號(hào)f字母、數(shù)字、圖形等）來表達(dá)，還有的用連線方式呈現(xiàn)……最后通過比較、概括形成共識(shí)——用連線的方式表達(dá)（如圖1）。這種幾何直觀的圖式兼具形象性和過程性，在后續(xù)解決類似于“4個(gè)素菜與2個(gè)葷菜，1個(gè)葷菜搭配1個(gè)素菜，有幾種不同的搭配方法？”之類的問題時(shí)，學(xué)生便能主動(dòng)地運(yùn)用這個(gè)圖式。

搭配圖式是一種直觀化的操作模型，它還有待于進(jìn)一步地抽象概括，成為更為上位的具有一般性、概括性的符號(hào)化的數(shù)學(xué)模型。如將上述搭配圖式提升為乘法原理的數(shù)學(xué)模型：這類圖式還可以用來解決什么問題？如果上例變成20件上衣和30條褲子，運(yùn)用搭配圖式還方便嗎？能改用一個(gè)數(shù)學(xué)式子來表示嗎？（20×30），此類問題的解決能有一個(gè)通用的模式嗎？（a×b），在搭配圖式的運(yùn)用與拓展中，乘法原理數(shù)學(xué)模型水到渠成。

操作活動(dòng)常常起始于某個(gè)特定的情境和特定的實(shí)物，但不能僅僅止于操作過程的經(jīng)歷和結(jié)果的獲得，也不能只停留在直觀感性和直覺思維層面。實(shí)施操作活動(dòng)以后，要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生就自己操作的所獲所感進(jìn)行個(gè)性化表達(dá)交流，通過比較、分析，精確與強(qiáng)化對表象的認(rèn)知，并利用表象架設(shè)橋梁，通過對表象的符號(hào)化、數(shù)學(xué)化，實(shí)現(xiàn)操作活動(dòng)的思維內(nèi)化，逐步建構(gòu)學(xué)生頭腦中的關(guān)于操作過程和結(jié)果的數(shù)學(xué)模型。

四、在操作中完善模型建構(gòu)

學(xué)生在操作活動(dòng)中需要獲得的不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，更重要的是經(jīng)歷探索的過程，學(xué)習(xí)和掌握研究數(shù)學(xué)的思維模式與思想方法，體驗(yàn)知識(shí)“再創(chuàng)造”的過程。其間，常常要以操作的階段性結(jié)果為基礎(chǔ)，做進(jìn)一步分析思考、猜想驗(yàn)證、交流切磋，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的逐步修正、拓展與完善。

例如《釘子板上的多邊形》教學(xué)。首先，明確研究方向：邊上的釘子數(shù)與圖形的面積的關(guān)系（如圖2）。然后，通過觀察填表、分析數(shù)據(jù)，形成階段性研究成果（邊形的面積是邊上釘子數(shù)的一半，即S=n÷2）。接著，學(xué)生在釘子板上自由構(gòu)圖，驗(yàn)證所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，并引發(fā)沖突f如圖3）：“為什么先前發(fā)現(xiàn)的規(guī)律在這里不適用了呢？”通過操作、比較發(fā)現(xiàn)：當(dāng)圖內(nèi)有1個(gè)釘子時(shí)，即當(dāng)a=1時(shí)，S=n÷2。

“當(dāng)a=2時(shí)，多邊形的面積又是什么呢？”小組合作在釘子板上邊圍邊記錄研究。學(xué)生運(yùn)用前期研究成果，遷移先前操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，得出當(dāng)a=2時(shí)，s=n÷2+1。據(jù)此發(fā)散：當(dāng)a=3、4……時(shí)呢，有規(guī)律嗎？能一一驗(yàn)證嗎？需要一一驗(yàn)證嗎？有什么規(guī)律？探索活動(dòng)從動(dòng)手操作的有限層面躍升到類比推理的無限境地，學(xué)生親身經(jīng)歷類似數(shù)學(xué)家研究問題的過程，通過操作、思辨、猜想、驗(yàn)證、推理活動(dòng)，自主探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，逐步修正、拓展與完善數(shù)學(xué)模型，獲得“操作一發(fā)現(xiàn)—推理”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與探索的方法啟迪和歷練。

五、在操作中助推模型升級(jí)

操作活動(dòng)不只是單純的“動(dòng)手”實(shí)踐，其核心價(jià)值在于對學(xué)生數(shù)學(xué)思考的啟迪與促進(jìn)，實(shí)現(xiàn)外顯動(dòng)作與內(nèi)隱思維的雙向互動(dòng)，促使“操作的思維”和“思維的操作”螺旋上升。以問題解決為行為驅(qū)動(dòng)，以操作過程和階段性結(jié)果為思維載體，通過觀察、比較、交流、反思等活動(dòng)，不斷實(shí)現(xiàn)對已有數(shù)學(xué)模型的創(chuàng)造性改造，逐步創(chuàng)生出新的數(shù)學(xué)模型。

例如《復(fù)式統(tǒng)計(jì)表》的教學(xué)。根據(jù)單式統(tǒng)計(jì)表（如圖4）進(jìn)行數(shù)據(jù)的收集與整理。然后分析數(shù)據(jù)，回答“哪個(gè)興趣小組男生最多？四個(gè)興趣小組是男生多還是女生多？”等問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)往復(fù)觀察、比較的不便，產(chǎn)生組合、重構(gòu)新的統(tǒng)計(jì)表的需求。學(xué)習(xí)小組在思考中操作，在操作中思考，有的把4張單式統(tǒng)計(jì)表縱向排列（如圖5），以解決數(shù)據(jù)對比不便的問題；有的在將四表第一橫欄合并（如圖6）后，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)對比十分方便，但同時(shí)產(chǎn)生了數(shù)據(jù)與組別無法對應(yīng)、標(biāo)題如何合而為一等矛盾；有的則更進(jìn)一步，提出交代男生總數(shù)、女生總數(shù)以及總?cè)藬?shù)的設(shè)想……學(xué)生操作、反思、重構(gòu)，最終形成復(fù)式統(tǒng)計(jì)表，從而實(shí)現(xiàn)了對數(shù)學(xué)模型的改造升級(jí)。

學(xué)生的操作活動(dòng)應(yīng)發(fā)端于內(nèi)心深處的實(shí)際需要，教師要以適切的問題情境誘發(fā)學(xué)生產(chǎn)生操作內(nèi)驅(qū)，同時(shí)要為學(xué)生提供必要的時(shí)、空、物等操作平臺(tái)，更要設(shè)法將教學(xué)的目標(biāo)一數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，內(nèi)化為學(xué)生解決問題的操作（行為的、心理的）指向。