繩牽引機(jī)器人加入彈簧后剛度分析

李清桓， 段清娟， 李 帆， 段學(xué)超

(西安電子科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，西安 710071)

繩牽引機(jī)器人加入彈簧后剛度分析

李清桓， 段清娟， 李 帆， 段學(xué)超

(西安電子科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，西安 710071)

剛度是機(jī)器人重要的設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)指標(biāo)之一，不僅影響機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，還決定機(jī)器人在負(fù)載情況下末端執(zhí)行器的定位精度。對(duì)于n自由度的繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人，由于繩索只能承受拉力而不能承受壓力，故至少要由n+1根繩索來(lái)驅(qū)動(dòng)，冗余驅(qū)動(dòng)的繩索拉力求解非常復(fù)雜。當(dāng)在繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人中適當(dāng)位置引入彈簧，構(gòu)成繩索-彈簧機(jī)構(gòu)，則可以實(shí)現(xiàn)n自由度的繩索-彈簧機(jī)構(gòu)由n根繩索驅(qū)動(dòng)。從剛度的基本定義出發(fā)，在繩索-彈簧機(jī)構(gòu)靜力學(xué)平衡方程的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出機(jī)構(gòu)在可行工作空間內(nèi)不同位姿點(diǎn)處的剛度矩陣解析表達(dá)式，即被動(dòng)剛度矩陣和主動(dòng)剛度中海瑟矩陣的解析式。加入彈簧后，繩索驅(qū)動(dòng)機(jī)器人在力封閉可行工作空間內(nèi)的主、被動(dòng)剛度增加，并以3根繩索1根彈簧和4根繩索的平面3自由度機(jī)構(gòu)模型的數(shù)值算例進(jìn)行了驗(yàn)證。

繩索-彈簧機(jī)構(gòu)；靜剛度；剛度矩陣；海瑟矩陣

剛度不僅影響機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，而且決定機(jī)器人在負(fù)載情況下末端執(zhí)行器的定位精度，是機(jī)器人重要的設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)指標(biāo)[1]。并聯(lián)機(jī)器人的剛度是對(duì)末端執(zhí)行器在外力作用下，由于彈性元件的變形以及雅可比矩陣的變化引起位移大小的度量。

繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、工作空間大、運(yùn)動(dòng)速度快和易拆裝等優(yōu)點(diǎn)[2-3]，以應(yīng)用于觸覺(jué)裝置[4]、下肢康復(fù)機(jī)構(gòu)[5-7]和高速裝配[8-9]。李輝等[10]推導(dǎo)出了靜態(tài)剛度的一般理論計(jì)算公式。保宏等[11-12]針對(duì)大射電望遠(yuǎn)鏡懸索支撐系統(tǒng)特殊結(jié)構(gòu)形式，對(duì)6索組成的支撐系統(tǒng)的靜態(tài)剛度進(jìn)行了分析。Behzasipour等[13]研究了繩索拉力對(duì)機(jī)構(gòu)剛度影響，指出提高繩索抗拉力可以提高機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性。Tang等[14]研究了繩索拉力和剛度為指標(biāo)的工作空間質(zhì)量分析。王克義等[15]利用有限元軟件分析了不同繩索布置方案動(dòng)平臺(tái)的靜態(tài)剛度。

但是繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)繩索只能受拉而不能受壓，因此n自由度的繩索牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)至少要由n+1根繩索來(lái)驅(qū)動(dòng)才能實(shí)現(xiàn)確定的運(yùn)動(dòng)[16]。Russell等[17-18]在繩索機(jī)構(gòu)中引入彈簧，依其提供的彈簧力，可以使繩索張緊，而Mustafa等[19-22]指出引入彈簧，可增加索驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的工作空間，而使用被動(dòng)導(dǎo)引順應(yīng)子單元和彈簧可以擴(kuò)大繩索驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的應(yīng)用范圍。Gao等[23]用壓簧與索機(jī)構(gòu)來(lái)仿人脖頸運(yùn)動(dòng)。選擇適當(dāng)?shù)膹椈刹贾梦恢煤蛥?shù)(初始長(zhǎng)度、剛度系數(shù))，就可以減少繩索牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)所要求的驅(qū)動(dòng)器數(shù)目，構(gòu)成與自由度數(shù)目相等的索驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)，使繩索牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)控制更為簡(jiǎn)單[24-25]。但上述研究都未涉及加入彈簧對(duì)繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人剛度的影響，本文從剛度的定義出發(fā)，分析了加入彈簧后對(duì)m≥n(n機(jī)構(gòu)的自由度，m繩索數(shù)量)繩索驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度的影響，并給出數(shù)值算例，對(duì)類似結(jié)構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計(jì)具有實(shí)際指導(dǎo)意義。

1 靜力學(xué)建模

m根繩索、n自由度的繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示，坐標(biāo)系O-XOYOZO為全局坐標(biāo)系，與機(jī)架固連。坐標(biāo)系E-XEYEZE為局部坐標(biāo)系，與末端執(zhí)行器(動(dòng)平臺(tái))固連。

圖1 繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Sketch of cable-driven parallel mechanism

對(duì)于m根繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人，根據(jù)動(dòng)平臺(tái)受力平衡關(guān)系可得機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)方程

JTT=-FW

(1)

(2)

(3)

式中：cα表示cosα；sα表示sinα；其余表示相同。

在建立n自由度、m根繩索l根彈簧的(簡(jiǎn)寫(xiě)成mClS)繩索-彈簧機(jī)構(gòu)模型時(shí)，把彈簧當(dāng)作一根能夠同時(shí)承受拉力和壓力的“繩索”，但彈簧只提供被動(dòng)力，在靜力學(xué)方程中雅克比矩陣時(shí)應(yīng)除去彈簧對(duì)應(yīng)的旋量，并將彈簧對(duì)應(yīng)的旋量處理成外力旋量，則式(1)可改寫(xiě)成

(4)

tsi=ksi(Lsi-L0i)

(5)

式中：ksi為彈簧的勁度系數(shù)，Lsi為彈簧的長(zhǎng)度，L0i為彈簧的初始長(zhǎng)度。

2 剛度分析

由繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人靜力平衡方程可得末端執(zhí)行器靜止時(shí)驅(qū)動(dòng)繩索作用在末端執(zhí)行器上的作用力為

Fws=-JTT

(6)

式中，F(xiàn)ws表示外界環(huán)境對(duì)末端執(zhí)行器的廣義作用力。

根據(jù)機(jī)構(gòu)剛度的定義可得繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人的剛度K的表達(dá)式為

(7)

(8)

Kp=JTdiag(k1k2…km)J

(9)

(10)

式中，Xj表示位姿向量X的第j個(gè)元素。因此可知Hessian矩陣是n×m×n矩陣，一共有n層，每一層是一個(gè)n×m的矩陣。

從繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人剛度分析可知繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人的靜態(tài)剛度取決于繩的幾何布置、末端執(zhí)行器位姿、驅(qū)動(dòng)支鏈的物理參數(shù)及繩的拉力。

3 加入彈簧對(duì)剛度的影響

通過(guò)對(duì)繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人的剛度分析，可以得得到繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人其完整的剛度模型應(yīng)為

K=-HT+JTdiag(k1k2…km)J

(11)

從上式可以看出繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人的機(jī)構(gòu)整體剛度分為兩部分，前者與繩的拉力和矩陣有關(guān)，即與繩的拉力、繩的幾何位置、末端執(zhí)行器的位姿有關(guān)；后者取決于繩的幾何布置、末端執(zhí)行器的位姿、驅(qū)動(dòng)支鏈物理參數(shù)。

對(duì)繩索-彈簧機(jī)構(gòu)剛度分析時(shí)，可在繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人剛度分析的基礎(chǔ)上建立繩索-彈簧機(jī)構(gòu)的剛度模型。在靜力學(xué)分析時(shí)把彈簧看作是作用在末端執(zhí)行器上的大小和方向均可變化的外力，在求解機(jī)構(gòu)的整體剛度時(shí)，其雅克比矩陣J應(yīng)包含繩索和彈簧對(duì)應(yīng)的部分。對(duì)于機(jī)構(gòu)的主動(dòng)剛度，從Hessian矩陣H可以看出外力對(duì)Hessian矩陣H無(wú)影響，給繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人中加入彈簧，機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣J增加了彈簧對(duì)應(yīng)的列，其Hessian矩陣H維數(shù)發(fā)生變化，同時(shí)加入彈簧會(huì)引起繩索拉力T的變化，因此主動(dòng)剛度KA=-HT會(huì)發(fā)生改變。被動(dòng)剛度Kp中雅克比矩陣J與繩和彈簧的幾何布置、末端執(zhí)行器的位姿等因素有關(guān)，與外力無(wú)關(guān)。但是驅(qū)動(dòng)支鏈的剛度ki與繩索拉力有關(guān)，因此加入彈簧也會(huì)影響機(jī)構(gòu)的被動(dòng)剛度。

通過(guò)以上分析可知，在求解繩索-彈簧機(jī)構(gòu)的剛度時(shí)，利用靜力學(xué)平衡方程式(4)計(jì)算出繩索拉力，再將彈簧看作繩索支鏈，則繩索-彈簧機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)平衡方程式(4)可寫(xiě)成

(12)

(13)

由此可得繩索-彈簧機(jī)構(gòu)的總體剛度模型為

(14)

4 剛度算例

本論文將建立豎直平面內(nèi)的3自由度、3根繩索1根彈簧的(簡(jiǎn)寫(xiě)成3C1S)繩索-彈簧機(jī)構(gòu)模型，設(shè)定末端執(zhí)行器質(zhì)量m為10 kg，所受到的外力為0，彈簧初始長(zhǎng)度0.72 m。選取如圖2所示的布置方案，其鉸接點(diǎn)布置坐標(biāo)詳見(jiàn)表1。

表1 繩索彈簧牽引機(jī)構(gòu)鉸接點(diǎn)坐標(biāo)

圖2中A1至A4S為固定鉸接點(diǎn)；P1至P3為動(dòng)平臺(tái)與繩索的連接點(diǎn)；P4S為動(dòng)平臺(tái)與彈簧的連接點(diǎn)。全局坐標(biāo)系O-XOYO固連于固定鉸接點(diǎn)的中心；局部坐標(biāo)系E-XOYO固連于動(dòng)平臺(tái)的中心。驅(qū)動(dòng)繩索選用GB 20118—2006圓股鋼絲繩，機(jī)構(gòu)的剛度仿真相關(guān)參數(shù)如表2所示。

圖2 繩索-彈簧機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.2 Sketch of a cable-spring mechanism

機(jī)構(gòu)參數(shù)參數(shù)值機(jī)構(gòu)參數(shù)參數(shù)值彈簧剛度系數(shù)k/(N·m-1)123.2繩索公稱直徑D/m1.2×10-3剛度分析位姿/m(0,0,0)繩索彈性模量E/Pa2.8×1010繩索單位長(zhǎng)度質(zhì)量/(kg·m-1)0.0075繩索橫截面積A/m21.131×10-6

當(dāng)末端執(zhí)行器位姿為(0,0,0)時(shí)，利用MATLAB編程，計(jì)算結(jié)果如下所示：

各驅(qū)動(dòng)繩索拉力

T=[131.701 8 96.866 5 62.062 9]

主動(dòng)剛度矩陣

被動(dòng)剛度矩陣

總體剛度矩陣

從被動(dòng)剛度Kp解析表達(dá)式和計(jì)算結(jié)果可以看出被動(dòng)剛度矩陣為對(duì)稱矩陣。主動(dòng)剛度各元素值小于被動(dòng)剛度對(duì)應(yīng)元素的值，說(shuō)明驅(qū)動(dòng)支鏈剛度對(duì)機(jī)構(gòu)總體剛度影響較大?？傮w剛度矩陣中K(1,1)表征機(jī)構(gòu)沿X軸移動(dòng)的剛度，K(2,2)表征機(jī)構(gòu)沿Y軸移動(dòng)的剛度，K(3,3)表征機(jī)構(gòu)繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，K(i,j)(i≠j)表征機(jī)構(gòu)對(duì)應(yīng)方向的耦合剛度。總體剛度矩陣中K(1,1)絕對(duì)值最大，K(3,3)的絕對(duì)值最小，表明機(jī)構(gòu)在位姿X(0,0,0)處沿X軸的平動(dòng)剛度最大，繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛度最?。挥蒏(i,j)≠0(i≠j)表明機(jī)構(gòu)沿三個(gè)方向之間的剛度存在耦合，與K(3,3)對(duì)比發(fā)現(xiàn)機(jī)構(gòu)耦合剛度比末端執(zhí)行器沿Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛度要大。

為進(jìn)一步分析機(jī)構(gòu)在整個(gè)工作空間內(nèi)的剛度分布情況，按照?qǐng)D2所示的結(jié)構(gòu)布置方案，取姿態(tài)角為零，分別計(jì)算出機(jī)構(gòu)的靜態(tài)剛度矩陣中分別表征沿X和Y軸移動(dòng)剛度值K(1,1)和K(2,2)以及表征繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛度值K(3,3)在整個(gè)工作空間的分布，剛度條件數(shù)和平均剛度在整個(gè)工作空間內(nèi)的分布情況，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 3C1S繩索-彈簧混聯(lián)機(jī)構(gòu)靜態(tài)剛度矩陣對(duì)角線元素剛度值Fig.3 The static stiffness distribution of the 3C1S

從圖3(a)可以看出末端執(zhí)行器靠近位于第二象限和第四象限的固定鉸接點(diǎn)時(shí)沿X軸方向的移動(dòng)剛度較大；從圖3(b)可以看出，末端執(zhí)行器靠近工作空間右邊界及第二象限固定鉸接點(diǎn)時(shí)沿Y軸方向移動(dòng)剛度較大；從圖3(c)可以看出末端執(zhí)行器靠近第四象限的固定鉸接點(diǎn)時(shí)繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度較大。對(duì)比圖3(a)、(b)和(c)可以看出，在整個(gè)工作空間，機(jī)構(gòu)沿X軸方向移動(dòng)剛度最大，繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛度最小。并且在偏離繩索固定鉸接點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)，相鄰位姿點(diǎn)之間機(jī)構(gòu)的剛度值變化較小。

在剛度分析中指出了加入彈簧對(duì)機(jī)構(gòu)的主動(dòng)剛度和被動(dòng)剛度產(chǎn)生影響。在上述數(shù)值仿真方案中將彈簧用繩索替換變成4根繩索驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，計(jì)算出機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)的剛度分布情況如圖4所示。

圖4 4C并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜態(tài)剛度矩陣對(duì)角線元素剛度值Fig.4 The static stiffness distribution of the 4CDPM

由圖4可以看出，4C驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)在距離繩索固定鉸接點(diǎn)較近處機(jī)構(gòu)沿各個(gè)方向的剛度較大，靠近工作空間中心剛度較小。對(duì)比圖4和圖3可以看出，4根繩驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間增大；相比3根繩1根彈簧混聯(lián)機(jī)構(gòu)可以看出，雖然3根繩1根彈簧混聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度值減小，但兩種機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)沿各個(gè)方向的剛度分布趨勢(shì)相近，在靠近工作空間中心區(qū)域沿各個(gè)方向剛度值在同一數(shù)量級(jí)上，說(shuō)明3C1S比4C機(jī)構(gòu)的剛度特性有所下減弱，但仍具有4C并聯(lián)機(jī)構(gòu)沿X、Y軸移動(dòng)剛度和繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛度特性，在適當(dāng)選定彈簧安裝位置時(shí)，能夠?qū)崿F(xiàn)4根繩驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)所具有的三自由度操作性能。

總體剛度矩陣的特征值表征解耦后方向矢量上的剛度系數(shù)，其對(duì)應(yīng)的特征向量表征解耦后的方向矢量[1]。固定位姿處的剛度矩陣能夠描述各方向剛度的大小以及各方向剛度的耦合情況，為進(jìn)一步描述機(jī)構(gòu)空間剛度的分布情況，引入靜態(tài)剛度矩陣的條件數(shù)。

(15)

式中：λmax為剛度矩陣最大特征值；λmin為剛度矩陣最小特征值；C(K)能反應(yīng)出各方向剛度的大小關(guān)系，給出了剛度非各向同性的信息，但該參數(shù)不能衡量平均剛度的大小。因此定義特征值的“距離”，即剛度矩陣特征值的二階范數(shù)

(16)

式中：λi為剛度矩陣特征值；D(K)能反映固定位姿處機(jī)構(gòu)的總體剛度情況，即平均剛度。機(jī)構(gòu)總體剛度矩陣的3個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量如表3所示。

表3 總體剛度矩陣特征值與特征向量

Tab.3 Eigenvalues and eigenvectors of the overall stiffness matrix

剛度矩陣特征值剛度矩陣特征向量λ1=4.6463×104ν1=[0.8722-0.4891-0.0025]λ2=2.0942×104ν2=[-0.4890-0.87220.0140]λ3=53ν3=[0.00890.01120.9999]

從表3可以看出λ1絕對(duì)值最大，λ3絕對(duì)值最小。仿真結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)在位姿X=(0,0,0)處沿X軸移動(dòng)的剛度最大，繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛度最小。表中的特征向量也進(jìn)一步表明機(jī)構(gòu)沿X、Y軸移動(dòng)與繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)存在剛度耦合。由上表可得C(K)=29.608 5，表明各方向剛度相差較大。D(K)=5.096 5×104，表明平均剛度較好。計(jì)算出靜態(tài)剛度矩陣的條件數(shù)和平均剛度在整個(gè)工作空間內(nèi)的分布情況，其結(jié)果如圖5所示。

(a) 平均剛度

(b) 靜態(tài)剛度矩陣的條件數(shù)圖5 3C1S機(jī)構(gòu)靜態(tài)剛度矩陣的條件數(shù)及平均剛度分布Fig.5 The condition number of the stiffness matrix and the average stiffness index of the 3C1S mechanism

圖5(a)為3C1S機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器在工作空間內(nèi)各位姿點(diǎn)時(shí)機(jī)構(gòu)的平均剛度值分布，根據(jù)平均剛度公式定義以及圖5(a)表明當(dāng)末端執(zhí)行器距離第二象限、第四象限固定鉸接點(diǎn)較近時(shí)機(jī)構(gòu)的剛度較大，靠近第三彈簧鉸接點(diǎn)的剛度較小，這是由于彈簧固定鉸接點(diǎn)位于第三象限，當(dāng)末端執(zhí)行器處于在第三象限時(shí)彈簧變形量較小，彈簧力較小，導(dǎo)致繩索拉力也較小，致使機(jī)構(gòu)平均剛度偏?。荒┒藞?zhí)行器靠近繩索固定鉸接點(diǎn)處時(shí)，彈簧變形量較大，彈簧力變大，導(dǎo)致繩索拉力也變大，使機(jī)構(gòu)平均剛度增大。圖5(b) 表示末端執(zhí)行器在工作空間內(nèi)各點(diǎn)零位姿時(shí)剛度矩陣的條件數(shù)，由圖5(b)可以看出當(dāng)末端執(zhí)行器靠近第二象限、第四象限固定鉸接點(diǎn)處剛度矩陣的條件數(shù)較大，說(shuō)明機(jī)構(gòu)沿各個(gè)方向的剛度值相差較大，機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)性能變差，靠近第一、第三象限時(shí)剛度矩陣的條件數(shù)較小，說(shuō)明沿各個(gè)方向剛度相差較小。

將上述繩索-彈簧機(jī)構(gòu)的彈簧用繩索替換變成4根繩索驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，相同條件下，計(jì)算出機(jī)構(gòu)的靜態(tài)剛度矩陣的條件數(shù)和平均剛度在整個(gè)工作空間內(nèi)的分布情況如圖6所示。

圖6(a)為4C并聯(lián)機(jī)構(gòu)的末端執(zhí)行器在工作空間內(nèi)的各點(diǎn)處的機(jī)構(gòu)平均剛度值分布。圖6(b) 表示末端執(zhí)行器在工作空間內(nèi)各點(diǎn)處機(jī)構(gòu)剛度矩陣的條件數(shù)的分布情況。通過(guò)對(duì)比圖5(a)和圖6(a)可以看出，在工作空間內(nèi)的大部分區(qū)域，3C1S繩索-彈簧機(jī)構(gòu)的平均剛度值大約都在0.5×105～1.4×105，4C繩驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的平均剛度值大約都在0.5×105～3.5×105，在部分區(qū)域兩種機(jī)構(gòu)的平均剛度值相近，在靠近繩索鉸接點(diǎn)處兩種機(jī)構(gòu)的平均剛度值都增大，但3C1S繩索-彈簧機(jī)構(gòu)的平均剛度值相對(duì)較??；通過(guò)對(duì)比圖5(b)和圖6(b)可以看出，相比4C并聯(lián)機(jī)構(gòu)，3C1S繩索-彈簧機(jī)構(gòu)的在整個(gè)工作空間內(nèi)的剛度條件都較小，說(shuō)明該機(jī)構(gòu)各個(gè)方向的剛度值分布相對(duì)4C并聯(lián)機(jī)構(gòu)較均勻。由此，進(jìn)一步說(shuō)明3C1S繩索-彈簧機(jī)構(gòu)具有4C并聯(lián)機(jī)構(gòu)的沿X、Y軸移動(dòng)剛度和繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛度特性，能夠?qū)崿F(xiàn)4C并聯(lián)機(jī)構(gòu)所具有的三自由度操作性能。

(a) 機(jī)構(gòu)平均剛度

(b) 機(jī)構(gòu)靜態(tài)剛度矩陣的條件數(shù)圖6 4C機(jī)構(gòu)靜態(tài)剛度矩陣的條件數(shù)及平均剛度分布Fig.6 The condition number of the stiffness matrix and the average stiffness index of the 4C mechanism

5 結(jié) 論

本文對(duì)繩索-彈簧機(jī)構(gòu)進(jìn)行剛度分析，推導(dǎo)出了繩索彈簧機(jī)構(gòu)剛度的解析表達(dá)式：即被動(dòng)剛度矩陣和主動(dòng)剛度中海瑟矩陣的解析式。通過(guò)對(duì)解析表達(dá)式分析可知，繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人加入彈簧變成繩索-彈簧機(jī)構(gòu)，繩索拉力變大，繩索-彈簧機(jī)構(gòu)的剛度也增大。通過(guò)對(duì)平面4根繩索并聯(lián)機(jī)構(gòu)和3根繩索1根彈簧機(jī)構(gòu)的剛度在整個(gè)工作空間的分布情況分析，證明3自由度的繩索并聯(lián)機(jī)構(gòu)在適當(dāng)添加彈簧后變成繩索-彈簧機(jī)構(gòu)，可以實(shí)現(xiàn)3自由度的繩索-彈簧機(jī)構(gòu)由3根繩索驅(qū)動(dòng)，且各個(gè)方向的剛度值分布相對(duì)4C并聯(lián)機(jī)構(gòu)較均勻。

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Stiffness analysis of a cable-driven parallel robot by adding springs

LI Qinghuan, DUAN Qingjuan, LI Fan, DUAN Xuechao

(School of Electro-Mechanical Engineering, Xidian University, Xi’an 710071, China)

The stiffness is one of the important design indexes of robots. It affects the dynamic characteristics of the robot mechanism, and determines the load positioning accuracy of end effectors. Since cables can only pull but not push, the Cable-driven Parallel Mechanism (CDPM) withndegrees of freedom requires at leastn+1 cables to fully constrain an end-effector. However it has been shown that the redundant cable leads to increased cost of actuator and results in the complexity of solving the cable forces. When springs are added properly into the CDPM between the end-effecter and the base frame, it constitutes a Cable-spring Mechanism(CSM), which can achieve the driving of a CDPM withnDOF byncables. In the paper, the static model of a planar CSM was established, and the static analysis of the CSM was performed. According to the definition of rigidity, the analytical expressions of stiffness matrixes were derived on the basis of the static equilibrium equation of the CSM at different attitudes in a feasible workspace. The Hessian matrixes of the active stiffness and passive stiffness matrix were derived. The stiffness effect on the cable-driven mechanism by adding the spring was analyzed. The results of a numerical example, where a planar CSM with 3 cables and 1 spring was compared with a 4-cable driven mechanism, verifies the effectiveness of the design.

Cable-spring mechanism; Static stiffness ; Stiffness matrix; Hessian matrix

陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(2016JM5034)；教育部留學(xué)回國(guó)人員科研啟動(dòng)金(JY0600150401)

2015-04-29 修改稿收到日期： 2016-11-09

李清桓 男，碩士，1990年7月生

段清娟 女，博士，副教授，1971年11月生

TP242

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.10.031