約束阻尼結構的改進準則法拓撲減振動力學優化

賀紅林， 袁維東， 夏自強， 劉堯弟

(南昌航空大學 航空制造工程學院，南昌 330063)

約束阻尼結構的改進準則法拓撲減振動力學優化

賀紅林， 袁維東， 夏自強， 劉堯弟

(南昌航空大學 航空制造工程學院，南昌 330063)

旨在為減振設計提供理論基礎，研究約束阻尼結構拓撲動力學優化。以阻尼材料用量、振動特征方程、模態頻率為約束，以多模態損耗因子倒數的加權和最小為目標，建立了約束阻尼結構拓撲優化模型，引入MAC因子控制結構的振型躍階。在引入質量陣懲罰因子基礎上推導出優化目標靈敏度?？紤]到優化目標函數的非凸性，采用常規準則法(OC)尋優可能會使拓撲變量出現負值或陷入局部優化，故引入數學規劃移動漸近技術對OC法進行改進，從而將全體拓撲變量納入改進算法的優化迭代全過程。編程實現了約束阻尼板改進OC法拓撲動力學優化并對改進法性能進行了仿真。結果顯示,改進算法可得到更合理的約束阻尼層構形，可使結構取得更佳減振效果。研究表明,改進算法迭代穩定性更好、尋優效率更高、更具全域最優性。

約束阻尼板；多模態損耗因子；改進優化準則法；減振特性；動力學拓撲優化

隨著航空航天和先進制造等現代科技發展，機械日趨高速和大動力化，使結構所受激擾越來越多、運行環境愈發復雜且不斷惡化，導致結構振動問題日趨突出。振動不僅帶來噪聲、結構失效、機械工作精度下降等問題，嚴重時還可能導致振動疲勞而引發事故，因此如何有效地控制振動已成為機械設計的重要課題。采用隔振、吸振、減振等可有效控制機械結構振動，其中，在結構表面附加黏彈性阻尼材料作為一種被動減振技術，已被驗證為一種實用、有效振動控制措施，近年來得到了廣泛應用[1]。實踐表明，黏彈阻尼材料能在相當寬的頻帶內對結構振動起到較大抑制作用。在結構上附加黏彈阻尼的方式主要有兩種,即自由阻尼結構和約束阻尼結構[2]。后者因可產生強烈的振動能耗散效應，且能有效地控制多峰諧振，故工程應用更為廣泛。然而，若在結構全域均附加阻尼材料必導致結構重量巨增，有悖于結構輕量化設計思想。因此如何在嚴格控制阻尼材料用量條件下，使結構獲得最佳減振效果，成為阻尼結構設計的共性問題。

要改善結構動態性能并降低其動響應，可借助拓撲優化手段[3]。為此，針對阻尼結構優化，楊德慶[4]提出阻尼胞抑振單元和拓撲優化敏度并據此建立了阻尼材料優化配置準則；韋勇等[5]提出了快速拓撲優化法；李攀等[6]基于SIMP插值研究了約束阻尼結構拓撲優化?？紤]到優化準則法(Optimal Criterion，OC)是作為靜力學拓撲優化的主要方法之一[7]，為此，郭中澤等[8]將其引入阻尼結構拓撲優化并指出該方法同樣適于結構動力學優化及輕量化設計；鄭玲等[9]分別研究了約束阻尼板和自由阻尼板變密度優化并應用一般優化準則法實現了阻尼板求解，并在準則法的靈敏度項處理中僅采用大于0的靈敏值，作為對靜力優化OC法的改進。鑒于約束阻尼結構耗能主要源于其黏彈阻尼層剪切變形，模態損耗因子則是衡量能耗大小的主指標，為此Johnson等[10]在對阻尼結構復特征解簡化為實特征解的基礎上，提出基于模態應變能(Modal Strain Energy，MSE)的損耗因子計算方法。

由于一般優化準則法數學意義明晰，用于結構靜力學拓撲優化迭代時能確保拓撲變量的正值性，故在靜力學設計中得到了很好的應用。但在將其用于拓撲動力學優化時，因優化目標函數可能存在非凸特性，故優化迭代中不一定能保證設計變量的非負性，從而可能導致迭代過程不收斂或局域收斂[11]。為滿足動力學設計要求并發揮OC法優勢，本文對OC法進行改進。改進法保留了OC法的優點并避免了設計變量迭代發散等問題，同時，為使阻尼結構在較寬頻域具有良好減振特性，文中著重探索了多模態減振優化問題。

1 有限元法動力學求解

阻尼結構動力學問題求解通常采用有限元法，具體實施可采用復特征值法、模態應變能法(MSE)、直接頻率響應法，其中MSE法在計算中忽略振動模態的虛部，可避免復雜的復特征值與特征向量計算，特別是當結構的特性以彈性為主導時，采用此法可獲得較高的動力學計算精度?？紤]到本文將基于模態損耗因子推進阻尼結構拓撲動力學優化，優化迭代中涉及大量的動力學參數計算，故為提高優化效率而采用MSE計算阻尼板模態損耗因子。對于彈性主導的約束阻尼板，若不考慮能量損失，則根據Hamilton原理可構建立阻尼板振動之廣義特征方程

(K-ω2M)φ=0

(1)

對式(1)求解，即可得到阻尼板模態頻率ωj及振型φj。

約束阻尼板主要通過黏彈材料實現耗散效應，板內金屬層的耗能能力與黏彈層相比要低幾個數量級，通常可忽略。黏彈性動力學理論表明，可用以描述黏彈層力學本構的數學模型有多種，但較為實用是常復數模量模型[12]。若從該模型出發，則不難推導出阻尼板的i階模態損耗因子的計算式,即

ηi=ηvEv,i/ET,i

ET,i=Ev,i+Ebc,i,Ebc,i=Eb,i+Ec,i

(2)

式中:ηv為黏彈層材料的損耗因子；Eb,i、Ev,i、Ec,i分別為基層、阻尼層、約束層的i階模態應變能；ET,i為阻尼板的i階模態總應變能。

對于以彈性為主導的約束阻尼結構，其模態損耗因子與模態阻尼比間大致存在關系：ηi≈2ξi。據此，可推得阻尼板第i階模態的振動平衡方程

(3)

2 拓撲減振動力學優化建模

2.1 拓撲優化數學模型

如同結構尺寸優化一樣，約束阻尼板拓撲動力學優化同樣需以一定的優化目標指明迭代方向，并評價優化結果。針對阻尼結構減振設計，該目標既可設定為結構的振動位移響應或若干特征點的振幅，也可以是模態阻尼比或模態損耗因子，還可以是結構的動撓度、模態頻率等?？紤]到模態損耗因子能綜合地反映結構在一定頻段內振動時的總體耗能和減振效果，故選定模態損耗因子為優化目標。這樣，阻尼結構拓撲動力學優化便是通過合理配置約束阻尼層的材料布局，使結構的特定階次模態損耗因子最大。然而，在規范的優化數學模型中，目標函數須以最小化形式出現，以便借助現存的一些成熟優化迭代技術推進優化。在優化建模時，有必要先求取模態損耗因子的倒數，再以該倒數作為模型中的目標函數。在阻尼減振設計時，通常對阻尼材料用量提出嚴格限制以保證結構輕量化，并且為保證結構的預期功能，還要求黏彈層的鋪設不能造成結構動態特性如頻率、模態、振型等發生太大改變?？紤]上述因素，為阻尼減振結構建立拓撲動力學優化數學模型為

(4)

結構振動研究表明，彈性結構中階次較低的模態通常是對振動位移響應貢獻較大的主導模態。在減振設計時，關鍵是要抑制或降低主導模態振動響應，即對主導模態實施控振措施。事實上，即便是各主導模態，在結構處于不同激擾條件時如當結構激振頻率不同時，其振動貢獻也會發生一定改變。這意味著需在目標函數中引入不同的權值?i以強化對主導模態的減振效應，且最好依據模態參與因子取定?i。當然，若結構僅存在單頻激勵且激振頻率、激勵方向與某階模態相契合，則只需控制該模態振動即可。事實上，單一模態優化只作為多模態復合優化的特例。

2.2 優化目標靈敏度計算

優化目標對于優化變量的靈敏度指設計變量發生單位變化時所引起優化目標值的改變量，其數學含義即是目標函數對于拓撲變量的導數和梯度。靈敏度計算為阻尼板減振優化提供迭代方向。式(4)的目標函數對于設計變量的靈敏度可寫成

?i[?(1/ηi)/?xnm]

(5)

?(1/ηi)/?xnm=[Ev,i(?Ebc,i/?xnm)-

可看出只要求得能量的相關參數便可求解目標函數值。

采用OC法求解阻尼板拓撲優化問題時，須設定黏彈層單元物理參數、力學特性參數如密度和彈性模量等與拓撲變量間的關系，考慮到阻尼結構減振優化不涉及基層單元改變，故可設基層單元特性恒定，而黏彈層和約束層單元均采用固體各向同性材料懲罰(Solid Isotropic Microstructures with Penalization，SIMP)，即令

(6)

式中:Eo、ρo為彈性材料在優化迭代的基本彈性模量密度;p、q為適當取定的正值懲罰因子式。將式(6)代入黏彈單元、約束層單元剛度陣及質量陣，且令剛度陣和質量陣對拓撲變量求導，則可推導出

(7)

式中:SEi、KEi分別為單元的i階模態應變能和模態動能；cm、vm為約束單元、阻尼單元標識符。

3 優化模型改進OC法求解

已有研究表明，當采用優化準則法實現工程結構靜力學拓撲優化求解時，通常能較好地迭代出結構的拓撲全域最優解。但在采用該方法推進動力學拓撲優化時，因所針對的目標函數不一定具有嚴格的數學凸性，故在優化迭代中計算出的目標函數靈敏度不僅有正值出現也可能產生負值。拓撲靜力學OC法優化中，只會產生正值靈敏度，這是兩類優化問題在迭代中的最大不同之處，它表明在進行拓撲動力學優化時，若簡單地采用常規OC法，則難免出現設計變量被迭代為負值的不合理情況。當然，在動力學優化程序中通過人為設定拓撲變量取值范圍，或忽略負值靈敏度，可避免變量負值設計變量并為后續迭代做好準備，但這樣做勢必帶來拓撲變量值跳躍及其迭代不連續狀況，從而導致最終迭代出的解并非全域最優。正因如此，本文在對常規的拓撲優化OC法進行改進的基礎上，提出了阻尼板拓撲動力學減振優化OC法。

3.1 OC法的數學規劃意義改進

在求解優化目標函數以及使其具有凸性的算法中，數學規劃法的序列凸規劃方法，是以泰勒展開式思想對目標函數和約束函數進行處理，下面基于此思想，對常規拓撲動力學OC法進行改進。根據優化理論，基于式(4)構造常規拉格朗日函數

(8)

式中，λ、α-nm、α+nm均為拉格朗日乘子。對于滿足Karush-Kuhn-Tucke條件的優化問題，必存在如下關系

(9)

引入移動參數μ，且令λ*=λ+μ，Γ*=Γ-μV，并將它們代入式(9)，則易得

(10)

(11)

式中，Γo為一常數。式(11)對拓撲變量求導，則有

?Γ*/?xnm=?(Γ-μV)/?xnm=?[anm(xnm)-ζ]/?xnm

?Γ*/?ynm=anm

(12)

將式(12)進行化簡并經整理后，可得

anm=-[?Γ/?xnm-μ(?V/?xnm)](xnm)ζ+1/ζ

μ≥(?Γ/?xnm)/(?V/?xnm)

(13)

式(13)表明，anm≥0，且近似函數Γ*具有嚴格凸性。

3.2 改進OC法的優化迭代格式

為便于行文，在此先令bnm=?V/?xnm并將其代入式(8)，這樣便將拉格朗日優化函數改寫成

(14)

式(14)中，

式中，A、B、C分別為拓撲變量中間值、最小值和最大值之集合。式(14)的解可基于式(9)、式(10)并通過求解類似于下述問題而得到，即求解

min:lnm，xmin≤xnm≤xmax

(15)

為此，令?lnm/xnm=0，并使其滿足Karush-Kuhn-Tucker條件，這樣便得到

xnm=(ζanm/λbnm)1/1+ζ

(16)

當采用不動點迭代法時，可將設計變量迭代式寫成

(17)

(18)

式中，

式中，ζ為設計變量更新后的極限值。

阻尼板拓撲動力學優化從本質上講就是在滿足各種約束的條件下，通過不斷推進迭代尋求最優拓撲解。如果在迭代中拓撲變量值變化太大，使得單元的剛度和密度之比不合理，必引致結構振型大幅改變。為避免振型的躍階，在優化模型中引入振型控制因子約束，以控制振型變化，即令

(19)

式中，χ為<1的正值系數，可取0.9。尋優迭代推進時，程序對MAC值進行跟蹤，并適當調整迭代方向盡量使MAC接近于1，以保證振型的穩定性。

3.3 改進OC優化算法實現

為了實現基于式(18)迭代格的改進OC法拓撲動力學優化，本文發揮MATLAB的數值計算優勢以及ANSYS有限元軟件的動力學建模及求解優勢，綜合利用MATLAB編程語言及ANSYS 提供的ADPL二次開發語言，編制出約束阻尼板拓撲優化計算程序。該程序將MATLAB當作優化迭代外殼，以ANSYS作為阻尼板動力學特性有限元建模與求解內核，利用前者完成設計變量的靈敏度計算、尋優迭代、MAC (Modal Assurance Criterion)值計算等優化內容，利用后者求解阻尼板的振動模態、模態頻率、質量陣、剛度陣、阻尼陣等。兩者之間通過共享內存的方式實現數據交換并基于MATLAB為ANSYS提供的軟件接口，實現二者銜接。圖1給出阻尼板改進OC法尋優迭代的實現流程。

圖1 約束阻尼結構減振拓撲優化實現流程

4 優化算例分析

影響阻尼板拓撲優化效果的因素主要有兩方面：一是阻尼板動力學分析模型及其求解精度；二是拓撲動力學優化算法本身的性能之優劣。這意味著在評析優化算法前，須先保證阻尼板有限元動力學模型及其求解的有效性。通過大型商用軟件ANSYS的二次開發語言編寫有限元模型，由于阻尼層在結構振動中不僅有拉伸變形，而且還有剪切變形，可選擇固體單元soild185，其余層選擇殼單元shell181，并且設置這些單元的特性項，以避免剪切鎖死和體積鎖死，充分釋放振動應變能[13]。在保證動力學建模及求解精度基礎上，本文分別采用傳統的變密度OC法和改進OC法進行阻尼板拓撲動力學優化計算。

在算例分析時選定矩形阻尼板作為優化對象，該板長為800 mm,寬為400 mm；基層厚4 mm，楊氏彈性模量43.2 GPa，泊松比0.33，密度1 810 kg/m3；阻尼層厚0.001 m，剪切模量25 GPa，泊松比0.495，密度1 150 kg/m3，材料損耗因子0.58；約束層厚1.5 mm，物理屬性與基層完全相同，取單位集中力作為諧響應分析激勵力，其作用位置如圖2(b)所示。在板的寬邊基層處定義固支約束，圖2(a)給出了優化計算所基于阻尼板有限元模型。為便于觀察，在圖3給出了約束阻尼板的前三階計算振型和結構的模態應變能云圖。圖4是針對阻尼板單一振動模態進行減振動力學優化的結果。圖4(a)、圖4(c)、圖4(e)給出了針對阻尼板前三階彎曲振動模態，采用普通變密度OC法進行優化時黏單層元密度迭代結果。圖4(b)、圖4(d)、圖4(f)則是采用改進算法得到的密度分布圖。對比兩種算法所得到的結果，不難發現采用改進OC法時單元的密度值的聚集度更高，即設計變量密度值要么趨近于1，要么趨近于0，密度值取中間值單元相對較少?？梢?，改進算法避免了中間密度的大量出現，基本避免了優化迭代結果二義性問題，較好地體現拓撲優化針對材料進行挖空或保留作合理取舍的算法本質。

(a) 有限元網格劃分

(b) 振動激勵點設定

圖2 約束阻尼板的動力學分析ANSYS模型

Fig.2 An FEM dynamic model for the damping plate

(a) 一階振型

(b) 一階應變能

(c) 二階振型

(d) 二階應變能

(e) 三階振型

(f) 三階應變能

圖3 約束阻尼板前三階彎曲模態振型和模態應變能

Fig.3 Three bending modes of damped plate and their strain energy

由圖4可知，密度值較大的黏彈阻尼(需保留)單元，優先分布于阻尼板模態應變相對較大的位置上，而密度小的挖空單元則多半處于模態應變較小的位置。之所以呈現出此布局主要是因為阻尼板模態應變能較小處的黏彈單元變形較小，故能量耗散能力相對較弱。從這個意義上講，為提高阻尼材料的減振效能并控制其材料用量，應優先刪除結構中的小應變單元。由此可見，改進變密度法OC法優化結果與上述定性分析結果是吻合的。

圖5給出了針對單階振動模態進行減振優化的阻尼板的拉格朗日體積約束系數迭代。從圖中看出，雖然采用一般OC法和改進OC法均能保證體積約束系數迭代收斂，但后者的變化范圍相對更大。它表明改進OC法可在更大范圍內的搜索約束系數，能更好地保證優化解的全域性。圖6和圖7給出優化迭代中的固有頻率和模態損耗因子變化?？梢妰伤惴ㄔ诮涍^一定次數迭代后使頻率和模態損耗因子均收斂到最佳值，但改進OC法的收斂速度更快。

為驗證結構單階模態拓撲動力學優化的減振效果，分別對優化前的阻尼板(阻尼層與約束層全覆蓋)和優化后的阻尼板進行諧響應特性分析。圖8給出了阻尼板的幅-頻特性曲線。從圖中看出，當僅針對第一階彎曲振動模態進行優化時，一階模態的振動響應幅值明顯下降，且在采用改進算法優化時，振幅下降量更大。還可看出，采用改進優化算法時，一階模態頻率變化很小且不會引起峰值振蕩。

(a) 一般法一階模態優化

(b) 改進法一階模態優化

(c) 一般法二階模態優化

(d) 改進法二階模態優化

(e) 一般法的三階模態優化

(f) 改進法的三階模態優化

圖5 體積約束系數迭代過程

圖6 一階固有頻率迭代過程

圖7 一階模態損耗因子的迭代進程

根據振動理論，結構的振動位移響應通常為多模態振動的線性組合。對于大多數機械結構而言，若只針對單一模態實施減振設計，減振效果不一定理想。對于工作于高速、動載的機器，因結構受到較寬頻域振動激勵，若只對結構個別模態進行振動優化，則更難使結構獲得綜合減振效果。事實上，即使是一般運行狀態下的簡單機械，多模態振動也是其承力件的基本運動狀態?？梢姡槍Χ嗄B做減振設計更有價值。為此，本文針對阻尼板前三階彎曲模態，進行復合減振優化。圖9給出了阻尼板多模態復合優化時阻尼材料密度迭代結果。從圖中看出，低密度阻尼材料主要分布于前三階模態的公共最小模態應變區或稱綜最小合應變區。相反，高密度阻尼材料則分布于公共的大模態應變區。還可看到，雖然通過改進OC法與一般OC法求得的阻尼材料密度分布情形比較相似，但改進法求得的拓撲變量值更聚集于設計變量值域的兩端，一般算法得到的中間密度值單元則更多。

圖8 一階彎曲模態優化前后諧響應特性對比

(a) 一般法密度密度分布

(b) 改進法密度分布

表1列出了阻尼板多模態復合振動優化結果?？梢姡M管優化后的黏彈阻尼材料只及優化前的一半左右，但各階模態損耗因子均有較大幅度增長。這令人疑惑，因在一般的理解中都認為，更多地鋪設黏彈層材料對結構減振效果更好。這對于自由阻尼結構減振設計也許是正確的，但對于約束阻尼結構，因在黏彈層外還需對應地鋪設一層約束材料，黏彈層與約束層之間的質量、剛度、損耗因子等多方面的匹配都對結構減振效果產生影響，故全域的鋪設黏彈材料及約束材料并不一定獲得最佳減振效果。由表1可知，優化結構的一階模態損耗因子增幅達一倍以上，這一點對結構減振特別有意義。因為多數機器在啟動時均需穿越一階頻率，并對結構一階模態進行激勵，而且一階模態往往是對結構振動位移響應貢獻最大的模態，故有效抑制一階模態可大幅提高結構總體減振效果。另外，改進OC優化法求得的一階、三階損耗因子均較一般法要大，表明按改進法對彈性阻尼材料進行優化布局時，阻尼板減振效果將會更好。

表1 優化前后多模態復合優化模態損耗因子對比

圖10給出了多模態復合優化迭代中體積約束系數變化。可見，復合模態優化與單一模態優化時的體積約束系數變化趨勢大致相同。圖11則給出了多模態優化迭代過程中，結構前三階頻率的變化?？梢?，兩種迭代方法得到的各階頻率均滿足約束條件，并且迭代過程均趨于穩定。圖12給出了多模態優化中目標函數的變化情況。同樣可見，兩種算法的結果均具收斂性，但改進算法求得的目標函數值在經過5次起伏后，便趨于穩定，而一般OC法則要經10次以上跌宕才逐漸進入穩定狀態，這說明改進算法尋優效率更高。

圖10 多模態體積約束系數λ迭代過程

為了驗證改進法多模態拓撲優化的減振效果，對阻尼板進行了諧響應分析和計算。圖13給出了阻尼板優化前后的幅頻特性曲線。由圖13可知，采用改進法針對前三階模態的復合振動進行優化后，這三階模態振幅均不同程度地下降，這就表明了多模態復合優化的有效性。由圖13可知，優化后一階模態振幅下降一倍多、二階振幅與優化前基本持平、三階模態則大幅下降。這也正好印證表1計算結果的合理性，進一步說明了改進OC法的有效性、可行性。由圖13還可知，改進算法的抑制峰值的能力總體上要優于一般優化算法。

圖11 多目標固有頻率迭代過程

圖12 多模態目標函數的迭代過程

圖13 多模態優化前后諧響應分析

5 結 論

本文探索了約束阻尼結構的黏彈阻尼材料的OC法優化布局問題，發現了一般OC法在動力學優化中存在的問題，并嘗試地解決了這些問題，取得了一定進展，得到以下結論：

(1) 針對一般優化準則法在求解動力學優化問題時可能造成目標函數靈敏度被迭代成非正值的情況，提出一種改進OC法。該方法通過對靈敏度作∞-范數計算，確保了優化迭代的全域尋優特性。

(2) 實現了基于改進OC法約束阻尼板拓撲動力學優化求解，得到了合理的黏彈阻尼材料和約束材料布局，并使約束阻尼結構獲得了更佳減振效果。

(3) 改進OC法的優化迭代過程更穩定、尋優效率更高，優化結果更具全域性、更合理。

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Topology optimization of plates with constrained damping based on improved optimal criteria

HE Honglin, YUAN Weidong, XIA Ziqiang, LIU Yaodi

(School of Aeronautical Manufacturing, Nanchang Hangkong University, Nanchang 330063, China)

A dynamic topology optimization for plates with constrained damping was conducted to provide a theoretical basis for vibration reduction design. Taking maximizing plate’s multi-modal loss factor as an objective, and taking amount of damping material, frequency equation and frequency region, and MAC factor as constraints, a topology optimization model was developed. The penalty factors for mass matrix were introduced, and the multi-modal loss factor sensitivity was deduced. Considering optimal objective function being non-convex, using a common optimal criterion might lead to the topological variables to be negative, or the optimization calculation to fall into a local optimization. So a moving asymptotic technique of mathematical programming was adopted to improve the common optimal criterion. With the improved criterion, all topological variables were brought into the optimization process so as to avoid the occurrence of local optimization. Dynamic optimization for the plates based on improved optimal criterion method were simulated. The results showed that a more reasonable constrained damping layer’s configuration is obtained with the improved method and algorithm, the plates with constrained damping achieve a better vibration reduction effect; the improved method has a better iteration stability and a faster optimization speed, and can more effectively provide a global optimal solution.

plate with constrained damping; multi-modal loss factor; improved optimal criteria method; vibration reduction characteristics; dynamic topology optimization

國家自然科學基金(51265040);國家自然科學基金(51565039)

2015-11-18 修改稿收到日期：2016-03-04

賀紅林 男,博士,教授,1967年生 E-mail:Hehonglin1967@163.com

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.09.004