基于負剛度機構的高剛度-超阻尼隔振器設計與研究

董光旭， 張希農， 謝石林， 羅亞軍， 張亞紅

(西安交通大學 航天航空學院機械結構強度與振動國家重點實驗室， 西安 710049)

第十一屆全國振動理論及應用學術會議推薦論文

基于負剛度機構的高剛度-超阻尼隔振器設計與研究

董光旭， 張希農， 謝石林， 羅亞軍， 張亞紅

(西安交通大學 航天航空學院機械結構強度與振動國家重點實驗室， 西安 710049)

為能夠隔離作用在負載上的直接擾動并提高系統的阻尼特性以避免產生共振，提出一種采用磁性負剛度機構設計的超阻尼隔振系統，其由磁性負剛度機構和兩對相互對壓的機械彈簧并聯構成；磁性負剛度機構由五塊沿軸向磁化的環形永磁體構成，傾斜環形永磁體被對稱地固定在基礎上，運動的環形永磁體由對壓的機械彈簧約束，并沿軸向發生相對運動；根據電流模型，推導了磁性負剛度機構的磁性恢復力以及磁性負剛度解析表達式；通過將隔振系統中的剛度單元和阻尼單元重新布置并引入一個內部隱性自由度，該系統被設計成與線性參考系統具有相同靜剛度、相同質量以及相同阻尼的超阻尼裝置；分析了該裝置中剛度單元、阻尼單元以及永磁體附加質量對所設計系統阻尼、固有頻率和主系統振動響應的影響。研究結果表明，所提出的隔振系統具有高剛度和超阻尼特性，能夠有效抑制主系統的振動；在高頻段，主系統的響應將收斂于線性參考系統。

超阻尼； 高剛度； 負剛度； 隔振

被動式隔振技術作為一種常見的低功耗、高穩定、易實現的隔振手段被廣泛地應用于實際結構的抑振、減振控制當中。在高頻區域，物體的振動可通過降低隔振系統的動剛度來實現有效控制，而共振區域的振動能量可通過阻尼以熱能的方式耗散掉[1-2]。

阻尼是材料的三大功能特性(超塑性、阻尼特性和形狀記憶特性)之一[3]。它將機械振動能量不可逆地轉變成其他形式的能量。工程中常見的阻尼可分為：系統阻尼、結構阻尼和材料阻尼。其中，黏彈性材料是在工程應用中提高結構阻尼耗散的主要材料，但該類高阻尼耗散材料往往具有中/低剛度的特征，不滿足實際應用中高剛度、高承載力的要求。

為了解決這個問題，一些技術人員開展了關于具有多相或具有不同分層的復合材料研究，該類材料具有高剛度和高阻尼的特性[4]。因此，設計周期結構并應用于結構的振動抑制備受學者的廣泛關注，尤其是超材料的研究。這些天然或人造結構具有衰減效應，當波的頻率位于他們的“盲區”，波在任何方向的傳播被禁止，因而形成“帶隙”[5-6]。然而，現今已存在的超材料類型對于中—低頻帶范圍內的振動抑制效果較差。其中基于布拉格散射的聲子超材料主要對高頻甚至超聲頻帶范圍[7]，而聲學超材料，由于其需要附加質量，因而難以在寬頻帶范圍內實現振動抑制效果[8]。

近年來，采用負剛度機構設計具有高阻尼和高剛度特性的復合材料或機構得到了許多學者的廣泛關注[9]。應當指出，對于在隔振系統中引入負剛度元件已經有一個很長的歷史， Alabuzhev等[10]對各類負剛度機構進行了詳細綜述。關于新型負剛度設計方法，如后屈曲梁、板、殼、預壓彈簧以及磁機構也相繼應用于減振裝置的設計當中[11]。由于在振動系統中引入負剛度機構，系統的阻尼屬性得到顯著改善。Shi[12]利用磁體間的相吸和相斥配置設計了兩種磁性負剛度阻尼器；Iemura等[13]將偽負剛度阻尼器應用于地震響應的控制；Dong等[14]通過采用兩端平頭桿的屈曲行為來實現負剛度和遲滯阻尼性能。然而，上述研究采用主動控制實現負剛度的方法來開展結構的振動控制技術研究，存在系統復雜、需外部供能和可靠性低等不足。另外，上述系統存在對作用在負載上的直接擾動的抑制效果較差。Chronopoulos等[15-16]基于線性參考振蕩器采用負剛度單元設計了一種具有超阻尼特性的振蕩系統，并對其僅進行了概念性設計研究。

本文提出一種采用磁性負剛度機構設計的超阻尼隔振系統，其由磁性負剛度彈簧和機械彈簧并聯構成；磁體的傾斜安裝方式使得系統結構更加緊湊、靈活；同時，由于在系統引入內部隱性自由度，使得該隔振系統具有高剛度、高阻尼特性，能夠有效抑制作用在負載上的直接擾動并避免共振現象的產生。

1 超阻尼隔振器模型

隔振器模型如圖1(a)所示，其由磁性負剛度彈簧和機械彈簧并聯構成；磁性負剛度彈簧由五塊沿軸向磁化的銣鐵硼環形永磁體構成，處于相吸配置；上、下對稱布置的環形永磁體被固定在基礎上，中間的環形永磁體由兩個相互對壓的機械彈簧k2約束在剛性桿的兩個凸臺間，并使其能夠沿軸向發生相對運動；連接外界被隔振物體的剛性桿通過在基礎與兩個凸臺間分別設置兩個相互對壓的機械彈簧k1來為隔振系統沿軸向提供承載力。當連接物體的剛性桿沿軸向運動時，中間的環形永磁體相對剛性桿沿軸向相對運動；此時，基礎上傾斜安裝的環形永磁體通過吸引中間環形永磁體為隔振系統沿軸向提供與機械彈簧k1、k2方向相反的磁性恢復力和磁性負剛度；該隔振系統可簡化為如圖1(b)所示的具有兩個自由的隔振系統；其中，z1為被隔振物體的振動位移；z2為磁性負剛度彈簧的中間環形永磁體的振動位移，即為引入的內部隱性自由度；圖1(c) 為與所設計的超阻尼隔振系統具有相同靜剛度kl和相同阻尼單元c的線性參考系統；圖1中的系統參數分別為：m為物體質量，mc為中間環形的永磁體質量，ks為兩個對壓機械彈簧k1并聯作用ks=2k1,ke為兩個機械彈簧k2并聯作用ke=2k2，kn為磁性負剛度彈簧提供的磁性負剛度，kl為線性參考系統的靜剛度，c為系統的黏性阻尼，f為外部激勵。

(a)超阻尼隔振器原理圖(b)超阻尼隔振器力學模型(c)線性參考系統

圖1 隔振器模型

Fig.1 Configuration of the isolator

1.1 動力學分析

如圖1(b)所示，所考慮的超阻尼隔振器包含有磁性負剛度單元以區別于對應的線性參考隔振系統；所設計隔振系統的靜剛度為

(1)

為確保所考慮系統的阻尼和隔振特性不會對結構的總剛度和承載能力造成不利影響，應使所設計系統的靜剛度與對應的線性參考系統相一致，即kstatic=kl；同時，這兩個隔振系統中包含有相同的阻尼單元c，因此，超阻尼隔振系統的動力學方程可表示為

(2)

外部激勵f作用于隔振系統的顯性自由度z1，該系統內部包含隱性自由度z2，表示中間環形永磁體的絕對位移；因此，該隔振系統是具有兩個自由度的超阻尼系統，將式(2)變換到拉普拉斯域，可得

其中，式(3b)中的參數為

a4=mmc

(4a)

(4b)

(4c)

(4d)

(4e)

在式(3b)中，分母a4s4+a3s3+a2s2+a1s+a0=0為所考慮隔振系統的特征方程；式(3b)可進一步表示成具有兩個實數極點和一對共軛極點的規范的傳遞函數形式

(5)

式中:ρ1和ρ2為特征方程的實數極點;ωn和ξn分別為所考慮隔振系統的固有頻率和相對阻尼系數。為了確保所考慮系統的穩定性，由勞斯-赫爾維茨穩定性判據[17]可知

(6a)

(6b)

(6c)

(6d)

(6f)

a4>0?mmc>0

(6e)

(6g)

由式(6d)、式(6e)、式(6g)自然得到滿足；當式(6a)滿足時，可得ke+kn>0；因而，所考慮系統的穩定性由式(6a)、式(6b)、(6f)決定。式(6f)可表示成

(7)

(8a)

ks>-kn

(8b)

1.2 超阻尼隔振系統參數設計

這里所討論的超阻尼隔振系統與對應的線性參考系統具有相同的靜剛度kl和阻尼單元c；因而，式(1)應滿足

(9)

式(9)包含三個未知參數：ks，ke，kn；為了便于結構剛度參數優化設計，這里引入可設計參數-剛度比α為

ks=αkl

(10)

根據磁性負剛度kn<0，由式(9)和式(10)可知，α>1；當α=1時，所設計的超阻尼隔振系統退化為線性參考系統；由于在式(9)引入磁性負剛度kn，考慮到實際系統的安全穩定運行問題，引入另一個可設計的參數-安全邊際ε，并滿足以下條件

(11)

為了確保隔振系統能夠穩定地運行，則安全邊際ε>0；求解公式(9)～式(11)可得所考慮系統的設計剛度為

(12)

(13)

2 超阻尼隔振器設計參數優化

由上節分析可知，超阻尼隔振系統的剛度系數設計直接由剛度比α、安全邊際ε以及對應的線性參考系統參數kl，c決定；系統的固有頻率ωn和相對阻尼系數ζn可由隔振系統的特征方程求得；因此，ωn和ζn分別是參數α，ε和線性參考系統kl，c，m的函數；由式(5)可以看出，所考慮的超阻尼隔振系統可動力等效為一個具有固有頻率為ωn和相對阻尼比為ζn的單自由度隔振系統；此外，根據式(11)～式(13)可知，剛度單元ks，ke，kn的數值遠大于線性參考系統的支撐剛度kl，確保了系統的高剛度特性。本節將詳細地討論剛度比α，安全邊際ε對所考慮系統的剛度單元ks，ke，kn，固有頻率ωn以及相對阻尼系數ζn的影響。圖1(c)所示的線性參考系統參數為：kl=1 500 N/m，m=2 kg，c=6 N·s/m。

2.1 超阻尼隔振系統剛度設計

由式(11)～式(13)可知，超阻尼隔振器的剛度ks，ke，kn為剛度比α，安全邊際ε和線性參考系統剛度kl的函數。因而，可通過選取合適的參數α，ε來對超阻尼隔振系統的剛度單元進行優化設計。如圖2(a)所示，增大ε和α可增加超阻尼隔振系統中兩個相互對壓機械彈簧k2(ke=2k2)的剛度系數，并且這種剛度調節與ε，α的選取呈現非線性關系；類似地，隨著剛度比α和安全邊際ε的增大，磁性負剛度彈簧沿軸向所提供的負剛度數值大小也以非線性增加方式增大；為了使所考慮隔振系統的靜剛度與線性參考系統的支撐剛度保持一致，在結構剛度參數設計中，須選取較小的安全邊際ε以滿足實際的結構設計要求。

(a) α，ε對ke/kl的影響

(b) α，ε對kn/kl的影響

Fig.2 The effects of stiffness ratioαand safety marginεon the stiffnesskeandknof the hyper damping system

2.2 超阻尼隔振系統阻尼分析

為實現所考慮隔振系統的超阻尼性能，需討論結構設計參數對系統阻尼屬性的影響。本文所提出的隔振系統的相對阻尼系數ζn可由特征方程求出；線性參考系統的相對阻尼系數ζ0可由式(14)求得

(14)

圖3為剛度比α，安全邊際ε以及黏性阻尼單元c對所考慮系統相對阻尼比ζn的影響。

由圖3可知，隨著可設計安全邊際ε和剛度比α的增加，所考慮隔振系統的相對阻尼系數ζn與線性參考系統相對阻尼系數ζ0之比呈非線性增長關系，當給定剛度比α時，安全邊際ε由0.005增至0.011，ζn/ζ0也隨之增加；與此類似，當系統中的黏性阻尼單元c由6 N·s/m增加到10 N·s/m時，隔振系統的相對阻尼系數較線性參考系統成倍數增長，大幅度地提高了所考慮隔振系統的相對阻尼系數ζn；因此，增大α，ε以及阻尼單元c均可近似以指數形式提高隔振系統的阻尼水平，當安全邊際ε選取較小的數值時，可選取設計較大的剛度比α。

(a) α，ε對ζn的影響

(b) 阻尼單元c對ζn

Fig.3 The effects of stiffness ratioα, safety marginεand viscous dampingcon the damping ratioζnof the hyper damping system

2.3 參數優化對超阻尼隔振器固有頻率的影響

由2.2節可知，所考慮隔振系統的剛度參數ks，ke，kn均依賴于剛度比α和安全邊際ε的選取；故該隔振系統的固有頻率ωn同樣取決于剛度比α和安全邊際ε的選取設計；此外，系統的固有頻率ωn可進一步由系統的特征方程求得。本節將討論剛度比α，安全邊際ε以及黏性阻尼單元c對隔振系統共振頻率ωn的影響，其結果如圖4所示。

由圖4(a)可知，對于給定的安全邊際ε，所考慮系統的固有頻率ωn隨著剛度比α的增加而增大，并且這種增長關系呈現非線性特征；當安全邊際ε由0.005增至為0.011時，三條頻率比ωn/ω0曲線與剛度比α基本重合；因此，當安全邊際ε較小時，其對所考慮隔振系統固有頻率ωn影響忽略。在圖4(b)中，給定安全邊際ε=0.011，當黏性阻尼系數c由6 N·s/m增至10 N· s/m，頻率比ωn/ω0隨著剛度比α的增加而增大；當α>7以后，增大黏性阻尼c，將會使得頻率比ωn/ω0減小，在α<6部分，頻率ωn對調節黏性阻尼c不敏感。

(a) α,ε對ωn/ω0的影響

(b) 阻尼單元c對ωn/ω0的影響

基于以上相關分析，為滿足實際工程設計的要求，在進行超阻尼隔振系統參數設計時，要求安全邊際ε→0+且剛度比α滿足1<α，本文中取α=8，ε=0.011。

3 磁性負剛度彈簧磁力與剛度分析

由于磁結構間的相互作用，既可以提供正剛度，也可以實現負剛度性能。本文采用傾斜磁體相吸配置構成磁性負剛度彈簧；由于其結構的對稱性，采用右半邊對稱結構進行分析，如圖5所示；上、下1號環形永磁體傾斜固定，其中心位置分別為(0，d，±H)，相對水平方向傾斜角度α；2號環形永磁體沿軸向發生向對運動；所采用的環形永磁體幾何參數如表1所示。

圖5 磁性負剛度彈簧模型

這里假定環形永磁體沿其軸向均勻磁化，磁化強度分別為M1，M2；磁化強度可由剩余磁感應強度Br1，Br2求得：M1=Br1/μ0，M2=Br2/μ0，μ0為真空磁導率。根據分子電流假說，永磁體磁矩可表示成由體電流和面電流構成[18]，永磁體的體電流密度和面電流密度分別為

(15)

js=M×en

(16)

式中，en為磁體表面的外法線方向。由于永磁體均勻磁化，根據式(16)可知，環形永磁體的體電流密度為0；只在永磁體的內、外圓柱表面具有非零的面電流密度

表1 環形永磁體參數

(17)

式中，φ為內、外圓柱表面環向單位向量。根據畢爾—沙伐定律和安培力定理[19]，可求得圖5中上面1號傾斜環形永磁體作用在沿軸向運動的2號環形永磁體上的磁力Fu和磁剛度Ku分別為

(18)

(19)

其中，在式(18)和式(19)中的被積函數Φ1，Φ2，Φ3，Φ4，Φ5，Φ6，Φ7，Φ8分別為

式中，z(1)=-h2/2，z(2)=-h2/2，z為中間2號環形永磁體沿軸向的位移。

類似地，同樣可求得下面1號傾斜環形永磁體作用在2號環形永磁體上的磁力Fb；因此，一對傾斜的1號環形永磁體作用在的2號環形永磁體上的磁力為

Fm=Fu+Fb

(20)

將式(20)對2號環形永磁體沿軸向位移z求一階導數，則可得由2號環形永磁體與一對傾斜的1號環形永磁體構成的磁性負剛度彈簧沿軸向提供的磁性負剛度為

(21)

當基礎上安裝有2對對稱的上下傾斜1號環形永磁體時，磁性負剛度彈簧沿軸向所提用的負剛度數值大小為2倍的式(21)，其負剛度曲線如圖6所示。

由圖6可知，當中間環形永磁體的振動位移被限制在±2.5 mm范圍內，該磁性負剛度彈簧的負剛度近似為一常數；在平衡位置附近，增大傾斜角α，負剛度數值增加。

4 超阻尼隔振器響應分析

根據顯性自由度z1在拉氏域下的傳遞函數形式，可由式(3b)獲得主振系統z1在傅氏域下的頻響函數為

(22)

并由式(3a)可得頻響Z2/F為

(23)

當磁性負剛度彈簧中的中間環形永磁體質量與被隔振物體質量之比μ=mc/m分別為0.015 9，0.025時，超阻尼系統響應曲線Z1/F如圖7所示。所考慮的隔振系統在引入不同質量的中間環形永磁體作用下，主系統的振動響應在整個頻帶范圍內被有效地抑制且均<0 m/N。對比對應線性難考系統，超阻尼主系統在低頻頻帶范圍(<10 Hz)內的振動被有效地抑制，并避免了系統在低頻范圍內出現共振。在頻率13 Hz附近，系統出現了<0 m/N的共振峰；在高頻頻帶范圍內，主系統的振動響應收斂于線性參考系統。

當物體受到外部激勵f作用時，表示物體振動狀況的顯性自由度z1沿軸向產生振動位移；同時，由相互對壓機械彈簧k2約束的中間環形永磁體將會相對剛性桿發生沿軸向運動；因此，物體的一部分振動能量被轉移到磁性負剛度彈簧中的中間環形永磁體上，其振動能量將進一步被黏性阻尼c以熱能的形式耗散；因此，外部激勵f引起的中間環形永磁體振動響應將采用傳遞比Z2/F來描述，由式(23)可得頻率響應Z2/F如圖8所示。

圖6 磁性負剛度曲線

圖7 不同的質量比μ，頻響Z1/F分析：剛度比α=8，安全邊際ε=0.011，黏性阻尼系數c=6

Fig.7 Analysis of frequency responseZ1/Ffor various mass ratioμ: all calculation conducted withα=8,ε=0.011 andc=6

圖8 不同的質量比μ，頻響Z2/F分析：剛度比α=8，安全邊際ε=0.011，黏性阻尼系數c=6

Fig.8 Analysis of frequency responseZ2/Ffor various mass ratioμ: all calculation conducted withα=8,ε=0.011 andc=6

在低頻區域，中間環形永磁體的振動較為劇烈，是由于被隔振物體在低頻區域的一部分振動能量轉移到中間環形永磁體上所致；當引入的中間環形永磁體質量變化時，μ由0.015 9增至0.025，共振峰位于13 Hz附近；該現象與圖7中的<0 m/N的共振現象相一致，是由引入的中環形永磁體所產生；同時，增加中間環形永磁體質量將會提高Z2/F在高頻部分的衰減率。此外，圖9為中間環形永磁體與被隔振物體在振動過程中幅值之比|Z1/Z2|；在低頻部分，中間環形永磁體振動幅值遠大于被隔振物體。在高頻部分，隨著質量比μ的增加，隱性自由度z2相對顯性自由度z1的振動會慢慢減小，其振動能量是被與隱性自由度z2相連的黏性阻尼單元c所消耗。

圖9 不同的質量比μ，幅值|Z2/Z1|隨頻率f的變化：剛度比α=8，安全邊際ε=0.011，黏性阻尼系數c=6

Fig.9 Analysis of the response |Z2/Z1| for various mass ratioμ: all calculation conducted withα=8,ε=0.011 andc=6

圖10 相角∠Z/f，∠Z1/f及∠Z2/f分析：剛度比α=8，安全邊際ε=0.011，黏性阻尼系數c=6

Fig.10 Analysis of phase angle∠Z/f, ∠Z1/fand ∠Z2/f: all calculation conducted withα=8,ε=0.011 andc=6

5 結 論

本文通過采用傾斜磁體構成磁性負剛度彈簧，將中間環形永磁體沿軸向的自由度釋放引入一個內部隱性自由度，并由相互對壓的機械彈簧約束使其沿軸向相對運動，設計了一種新型超阻尼隔振系統；通過與線性參考系統對比，討論了所考慮系統的結構參數優化設計方法，分析了其動力學頻響特性，探討了其超阻尼特性以及振動抑制機理。研究結果表明：通過結構的優化設計，可使所考慮隔振系統具有超阻尼特性，隔振系統的彈性單元具有高剛度特性；由中間環形永磁體引入的附加質量將有助于提高系統的阻尼特性；在線性參考系統共振峰附近，超阻尼隔振系統的衰減率在低頻范圍內達到極值；該系統阻尼特性的提高是由于正負剛度彈性元件所提供的彈性恢復力間存在相位差；因此可直接抑制作用在物體上的直接擾動，并避免了系統的共振。

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Design of a high stiffness and hyper-damping vibration isolator based on negative stiffness mechanism

DONG Guangxu, ZHANG Xinong, XIE Shilin, LUO Yajun, ZHANG Yahong

(State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures, School of Aerospace, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

In order to isolate direct disturbances exerted on payload and to improve damping properties of an isolation system for purpose of avoiding resonances, a hyper-damping vibration isolator was developed based on a magnetic negative stiffness mechanism. The mechanism consisted of a magnetic negative stiffness spring (MNSS) and two pairs of pre-pressured mechanical springs. MNSS included five magnetic rings axially magnetized, inclined magnetic rings were symmetrically mounted on the base, while a moving ring was constrained by two pre-pressured mechanical springs and was allowed to oscillate along the axial direction. The analytical expressions for magnetic restoring force and magnetic negative stiffness were further deduced according to the current model. By repositioning the stiffness and damping elements of the vibration isolation system, the vibration isolation system was deigned to be a hyper-damping device with the same static stiffness, the same damping and the same mass as those of a typical linear reference system. The impacts of stiffness elements, damping ones of the device and added mass of magnet on the damping, natural frequencies of the designed system and vibration responses of the main system were deeply analyzed. The results showed that the proposed vibration isolation system has high stiffness and hyper damping characteristics and it can effectively suppress vibrations of the main system; the response of the main system converges to that of the linear reference system in a higher frequency range.

hyper-damping; high stiffness; negative stiffness; vibration isolation

國家自然科學基金項目(11172225)

2016-01-11 修改稿收到日期：2016-03-21

董光旭 男，博士，1988年生

張希農 男，博士，教授，1954年生

V214.3+3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.09.035