超高斯隨機振動疲勞加速試驗模型研究

蔣 瑜， 陶俊勇， 陳 循

(國防科技大學 機電工程與自動化學院裝備綜合保障技術重點實驗室， 長沙 410073)

超高斯隨機振動疲勞加速試驗模型研究

蔣 瑜， 陶俊勇， 陳 循

(國防科技大學 機電工程與自動化學院裝備綜合保障技術重點實驗室， 長沙 410073)

通過理論分析，針對超高斯隨機振動激勵建立了相應的振動疲勞加速試驗數學模型，給出了模型中未知參數的具體求解方法，并通過實際試驗進行了驗證。該模型十分便于進行振動疲勞加速試驗的定量設計，具有很好的工程實用性，可用于評估隨機振動環境下工程結構的疲勞壽命與可靠性。

超高斯； 隨機振動； 振動疲勞； 加速模型

振動引起的疲勞問題作為多個工程領域廣泛存在的一個共性問題，嚴重危及重大裝備及結構的可靠性和安全性。如果能夠提前準確預測結構的振動疲勞壽命，就能在發生災難性事故之前及時預知并采取相應的措施，并可為其定壽、延壽提供科學的依據，最大限度地發揮裝備效益。因此，準確預測重大裝備和工程結構在復雜隨機動態載荷作用下的振動疲勞壽命是提高其可靠性和安全性的關鍵技術，被國家自然科學基金委員會列入《機械工程學科發展戰略報告(2011～2020)》。

當前工程中進行結構振動疲勞壽命分析和預測時，由于缺乏充分的認識和解決相關問題的工具及方法，通常假設結構承受的隨機載荷符合平穩高斯分布。但是，在實際環境中，上述許多隨機載荷往往呈現比較明顯的非高斯特征，尤其是在工況惡劣或者極端環境下。近年來的一些研究結果表明，隨機載荷的非高斯特性對結構振動疲勞有著不可忽視的影響，某些情況下會加速結構的疲勞失效。基于高斯假設計算振動疲勞損傷往往會得到偏大的振動疲勞壽命估計結果，給裝備服役或使用階段埋下巨大的安全隱患。

同時，隨著結構可靠性水平的提高，結構的振動疲勞壽命越來越長，為了能夠在實驗室驗證其壽命是否達到要求，加速試驗成為必然的選擇。要想通過加速試驗得到結構在實際服役振動環境下的疲勞壽命，正確的加速試驗統計模型是關鍵。國內外目前關于振動加速試驗模型的研究不多，尤其是對非高斯隨機振動加速試驗。王冬梅等[1]對振動加速試驗的逆冪律模型進行了推導，探討了其適用范圍，指出其適用于窄帶高斯載荷，不適用于寬帶高斯和非高斯載荷。李奇志等[2]提出通過試驗的方式獲得振動試驗的加速因子，認為振動加速試驗的逆冪律模型對平穩窄帶和寬帶高斯隨機過程均是適用的。朱學旺等[3]應用基于窄帶模型的修正方法得到了寬帶隨機振動試驗加速因子計算的通用表達式，認為基于窄帶模型的加速因子表達式對于比例載荷的寬帶隨機振動也是適用的，而對于非比例載荷，則需要應用其提出的通用表達式才可以獲得。Allegri等[4]研究了適用于平穩寬帶高斯隨機振動加速試驗的逆冪律模型，其主要目的是用來評估相對疲勞損傷，而非用來精確預計壽命。Pothula[5]研究了附著不同阻尼材料的鋁合金梁在高斯隨機振動加速試驗中的疲勞壽命差異，探討了結構阻尼對振動試驗加速因子的影響。John[6]提出應用Fatigue Damage Spectrum(FDS)來進行振動加速試驗設計與評估，但是只考慮了振動激勵的功率譜密度PSD (Power Spectral Density)，只適用于高斯振動加速試驗。

總的來說，目前國內外開展的振動疲勞加速試驗研究主要針對高斯振動，尤其是實際進行的非高斯振動加速試驗很少，需要進一步探索適用于非高斯隨機振動的疲勞加速試驗定量模型。

1 理論分析

工程上常用偏斜度S和峭度K這兩個參數來描述非高斯隨機過程X，定義為

(1)

高斯隨機過程的偏斜度值等于0，峭度值等于3；而非高斯隨機過程的峭度值肯定不等于3，偏斜度值可以等于零也可以不等于0。偏斜度用來描述隨機過程幅值概率密度曲線偏離對稱分布的程度，偏斜度值不為零表示服從非對稱分布。峭度是描述隨機過程幅值概率密度曲線拖尾分布特征的參數，它不僅可用來區分高斯和非高斯隨機過程，而且還可進一步將非高斯隨機過程區分為亞高斯和超高斯隨機過程，其中亞高斯隨機過程的K<3，超高斯隨機過程的K>3。工程中常見的非高斯振動信號往往是具有尖峰分布的對稱超高斯信號，因此本文研究的非高斯振動疲勞主要針對超高斯。

1.1 高斯振動疲勞加速試驗模型

首先，從最基本的描述材料疲勞現象的S～N曲線出發。通常理想的S～N曲線的數學表達式為

N=cS-b

(2)

式中：S為應力幅值；N為引起失效的應力循環次數；b、c為材料雙對數S～N曲線中的常數，且b的取值范圍一般為6～25。

根據著名的疲勞損傷累積Miner準則，不同幅值應力共同作用下造成的疲勞損傷為

(3)

式中：ni是幅值為Si的應力作用循環次數；Ni為試件在幅值為Si的應力作用下至疲勞失效的循環次數；D為累積疲勞損傷(一般認為當D=1時發生疲勞失效)。

將式(2)代入式(3)可得

(4)

對于連續的隨機應力時間歷程，式(4)可寫成如下積分的形式[7]

(5)

當隨機應力響應接近平穩窄帶高斯分布時，根據隨機過程理論，應力幅值概率密度函數p(S)將近似服從瑞利(Rayleigh)分布

(6)

式中：σS為應力的均方根值(即標準差)。將式(6)代入式(5)進行積分可得

(7)

式中，Γ為Gamma函數。

進行振動試驗的產品或試件一般可近似看成一個線性系統，而振動試驗設備產生的振動激勵可看作該系統的輸入。工程實踐表明，一般結構件的阻尼比ξ通常遠小于1，可以取到0.05以下這樣小的值。根據文獻[8]，在滿足小阻尼線性系統的假設前提下，σS的近似計算式為

(8)

式中：f1為試件結構的一階固有頻率；ξ為等效的阻尼比(一般假設ξ≤0.1)；k為與試件材料相關的比例常數；Ga(f1)為輸入振動激勵的加速度功率譜密度在試件固有頻率f1處的量值。

(9)

由于試件結構的傳遞函數一般都類似一個窄帶濾波器，因此可以認為試件在平穩高斯隨機激勵作用下(無論是寬帶還是窄帶)，其應力響應為平穩窄帶高斯分布，可以采用式(9)來估計其疲勞累積損傷。

一般認為D=1時結構發生疲勞失效，根據式(9)可得高斯隨機振動激勵下的結構振動疲勞壽命TG為

(10)

對常用工程材料，b的取值范圍一般為4～25。從式(10)可以看出，對高斯隨機振動激勵，當結構動力學特性參數如f1、ξ固定時，結構振動疲勞壽命T與高斯隨機振動激勵的功率譜密度在結構一階固有頻率處的量值大小Ga(f1)成反比關系。隨著Ga(f1)的增加(或減小)，T按指數規律迅速衰減(或增長)。

根據式(10)進一步可得a1、a2兩種不同高斯隨機加速度激勵下的結構振動疲勞壽命分別為

(11)

(12)

根據式(11)和式(12)可得

(13)

顯然，式(13)就是傳統文獻中用于描述高斯振動加速試驗的逆冪律模型。從上述推導過程來看，只要工程結構系統的頻響函數是一個窄帶濾波器(實際中大多數工程結構均滿足這一條件)，并且結構隨機響應服從高斯分布，則就可以運用式(13)對振動加速試驗進行建模。因此，式(13)只適用于描述高斯振動疲勞加速試驗，下面繼續討論非高斯振動疲勞加速試驗模型。

1.2 超高斯振動疲勞加速試驗模型

當隨機應力響應接近平穩窄帶非高斯分布時，可考慮在式(9)的基礎上增加一個非高斯修正因子λ來描述應力響應的峭度值對振動疲勞累積損傷的影響

(14)

非高斯修正因子λ和應力響應的峭度值Ks直接相關，可用式(15)來描述

(15)

式中，參數α為比例系數。

顯然，當應力響應為高斯即Ks=3時，λ=1，式(14)變成式(9)；當應力響應為超高斯即Ks>3時，λ>1，意味著應力響應的超高斯特性會加快疲勞累積損傷進程。

下面根據隨機振動理論分析影響應力響應峭度值Ks的因素。由于結構的一階模態對結構響應起決定性作用，因此建立振動臺基礎激勵作用下的單自由度系統模型進行分析，如下圖1所示。

經過推導可得加速度響應y與振動臺臺面的基礎加速度激勵x之間的傳遞函數為

(16)

(17)

(18)

式中：ω1=2πf1，f1為試件結構的一階固有頻率；ξ為阻尼比。這兩個參數表征了試件結構本身的動力學特性，并且試件結構系統的通頻帶BWH也由這兩個參數決定，即

BWH=2ξf1

(19)

圖1 振動臺基礎激勵作用下的單自由度模型

由于實際工程結構的阻尼比ξ往往較小，而一階固有頻率f1往往不大，所以大多數工程結構的通頻帶BWH往往也不大，也就是說可以視為一個窄帶濾波器。

下面先對響應帶寬進行分析。設激勵x的功率譜密度記作X(f)，響應y的功率譜密度記作Y(f)，系統頻響函數為H(f)。根據線性系統和隨機過程理論有

(20)

由此容易得出響應的有效頻譜帶寬

(21)

接下來討論非高斯激勵下結構響應的幅值分布特性。隨機過程x(t)通過線性系統H(f)后的輸出在時域可表示為

(22)

式中，h(t)為系統H(f)的沖擊響應函數，上述積分可用極限和形式表示，即

(23)

式中：x(τk)為隨機變量；Δτk為取樣時間間隔。根據中心極限定理，大量統計獨立的隨機變量之和的分布趨于高斯分布。如果輸出隨機過程y(t)在任意時刻t上皆為大量獨立隨機變量之和，則y(t)便接近于高斯分布。顯然這里要求兩個條件：一個是隨機變量必須相互獨立，另一個是獨立隨機變量要累加求和。

現在來考慮第二個條件。眾所周知，當寬帶隨機信號作用于窄帶系統(如圖10所示濾波器頻響結構)時，由于系統有惰性，不能立即對信號作出響應，它需要一定的建立時間ts，而ts與系統帶寬BWH成反比，即ts∝1/BWH。這樣，BWH越小，則ts越大，對信號響應的時間越長，對隨機輸入各個取樣(隨機變量)累積時間也越長，于是當各個取樣相互獨立，且累積時間又足夠長，即滿足ts?Δτk時，則y(t)趨于高斯分布。反之，若非高斯隨機過程作用于線性系統，而系統的通頻帶較寬時，這時ts較小，若小到ts?Δτk，則輸入隨機過程通過系統后失真很小，于是輸出隨機過程y(t)的分布將接近原輸入隨機過程x(t)的分布，即為非高斯分布。

綜上所述，當τx?Δτk?ts時，或簡化為τx?ts時，系統在非高斯隨機輸入下，其輸出接近高斯分布。由于τx∝1/BWX及ts∝1/BWH，因此τx?ts也就意味著BWX?BWH。于是上述結論又可表述為線性系統輸入隨機過程的有效頻譜帶寬遠大于系統帶寬時，輸出隨機過程的幅值分布將趨于高斯分布，而與輸入隨機過程是否為高斯分布無關；換言之，當輸入隨機過程的有效頻譜帶寬接近或小于系統帶寬時，如果輸入是非高斯分布則系統輸出也將為非高斯分布。

根據上述分析結論，可采用下式來描述應力響應的峭度值Ks和加速度激勵的峭度Ka、帶寬BWa以及結構本身的帶寬BWH之間的關系

(24)

式中，參數β為比例系數。

綜合式(15)和式(24)可得非高斯修正因子λ的表達式為

(25)

從式(25)可以看出，非高斯隨機振動激勵的峭度和帶寬對結構應力響應的非高斯特性影響比較明顯，從而對結構的振動疲勞壽命也會產生明顯影響。

將式(25)代入式(14)，并令D=1，可得非高斯隨機振動激勵下的結構振動疲勞壽命TNG為

(26)

令ε=αβ，則式(26)可進一步簡化為

(27)

有了式(27)，就可以將結構振動疲勞壽命與振動激勵的諸多特性以及結構本身動力學特性都緊密地聯系起來，用于定量設計振動加速試驗將十分方便。

從式(27)可以看出：一旦確定了試件結構的材料、外形和尺寸，f1、ξ和BWH也隨之確定，可視為已知量；一旦確定了振動激勵，Ga(f1)和BWa也隨之確定，也可以視為已知量。這樣，式(27)中還有3個未知量待求：b、k1和ε。下面依次探討這3個未知量的求解方法。

首先討論如何求解參數b。

對式(13)兩邊取對數，可得

(28)

(29)

這樣就可以通過進行幾組高斯隨機振動試驗，得到若干組(X1,Y1)的值，然后進行曲線擬合，就可以得到參數b的估計值。

接下來討論如何求解參數k1。

對式(10)進行變換可得

(30)

Y2=k1X2

(31)

同樣，根據幾組高斯振動疲勞試驗的結果，得到若干組(X2,Y2)的值，然后進行曲線擬合，就可以得到參數k1的估計值。

最后討論如何求解參數ε。

對式(27)進行變換可得

(32)

Y3=εX3

(33)

這樣可以通過進行幾組非高斯隨機振動試驗，可以得到若干組(X3,Y3)的值，然后進行曲線擬合，就可以得到參數ε的估計值。

至此，就求出了式(27)中所有的未知參數，從而就可以預計出不同試驗條件下的結構振動疲勞壽命，并可據此推斷出試件在某實際服役振動環境下的疲勞壽命。

2 試驗研究

2.1 試驗對象

某型變壓器電子組件在振動環境下其電容管腳容易出現疲勞斷裂，如圖2所示。

(a)

(b)

2.2 試驗方案及結果

根據前述參數估計方法，分別設計了一組高斯和一組超高斯振動疲勞試驗，如表1和表2所示。其中高斯振動疲勞試驗結果用于估計參數b和k1，超高斯振動疲勞試驗結果用于估計參數ε。在得到三個未知參數的估計值后，再選擇如表3所示的試驗條件進行試件的常規壽命試驗，并與采用疲勞加速試驗模型預測的結果進行比較。

表1 高斯振動疲勞試驗

表2 超高斯振動疲勞試驗

表3 疲勞壽命預測驗證試驗

3 結 論

本文通過理論分析，提出了一種能夠適用于超高斯隨機振動加速試驗的數學模型，并給出了模型中未知參數的具體求解方法。該模型系統全面地將結構振動疲勞壽命與振動激勵的諸多特性以及結構本身動力學特性都緊密地聯系起來，用于指導超高斯振動疲勞加速試驗剖面的定量設計將十分方便，具有很好的工程實用性。

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Super-Gaussian random vibration fatigue accelerated testing model

JIANG Yu, TAO Junyong, CHEN Xun

(Science and Technology on Integrated Logistics Support Technology, College of Mechatronic Engineering&Automation, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

Here, a new mathematical model of accelerated vibration fatigue testing was established under super-Gaussian random vibration excitation using theoretical analysis, and detailed solving methods were presented for unknown parameters in the model. The model was verified with the actual tests. It was shown that the model can be effectively used for the practical quantitative design of accelerated vibration fatigue tests, it can be applied to assess the fatigue life and reliability of engineering structures under random vibration environment.

super-Gaussian; random vibration; vibration fatigue; accelerated model

國家自然科學基金項目(50905181)

2016-01-08 修改稿收到日期：2016-07-08

蔣瑜 男，博士，副教授，1977年生

O324

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.09.038