基于多元Copula函數的橋梁體系地震易損性分析方法研究

宋 帥， 錢永久， 吳 剛

(1.西南交通大學 土木工程學院, 成都 610031；2. 東南大學 交通學院， 南京 210096)

基于多元Copula函數的橋梁體系地震易損性分析方法研究

宋 帥1， 錢永久1， 吳 剛2

(1.西南交通大學 土木工程學院, 成都 610031；2. 東南大學 交通學院， 南京 210096)

為了考慮橋墩、支座等構件地震需求之間相關性，引入多元Copula函數對構件地震需求之間的相關結構進行描述，提出了橋梁體系易損性分析的新方法。基于增量動力分析結果建立了單個構件的易損性，采用核光滑方法對各構件的邊緣分布函數進行估計；基于離差平方和最小準則和最小距離法對多元Copula函數進行了參數估計及優選；結合單個構件的易損性及多元Copula函數，建立了橋梁體系的易損性曲線，分析了構件地震需求之間相關性對橋梁體系易損性的影響。結果表明：橋墩、支座等構件地震需求之間的相關性對橋梁體系易損性影響顯著；基于離差平方和最小準則構造的多元Copula函數，能夠準確描述構件地震需求之間的相關結構，有效降低橋梁體系易損性分析的難度。

橋梁體系；地震易損性；多元Copula函數；地震需求相關性；離差平方和最小；核光滑方法

在地震作用下，橋墩、支座及橋臺等橋梁構件地震需求之間相互影響，不可避免地存在一定的相關性[1]。當地震動強度不同時，構件需求之間的相關性也不同，特別是當結構響應進入塑性階段以后，構件地震需求之間的相關性變得更加復雜[2]。然而，由于建立構件地震需求的聯合分布函數較為困難，準確模擬構件地震需求之間相關性的易損性研究較少[3-4]。Yang等[5-7]在對橋梁體系易損性進行分析時，假定橋墩、支座等構件地震需求之間完全相關或者完全不相關，進而得到橋梁體系易損性的上、下邊界。但是，隨著構件數量及失效模式的增加，假定構件需求之間完全相關或完全不相關，得到的橋梁體系易損性誤差較大[8]。Ramanathan等[9-10]基于構件地震需求之間的相關系數矩陣，采用Monte Carlo抽樣方法模擬構件地震需求之間的相關性，建立了橋梁體系的易損性曲線。但該方法通常假設構件地震需求服從對數正態分布，且計算量較大[11]。因此，如何準確、高效地模擬構件地震需求之間的相關性，是橋梁體系易損性分析的關鍵問題。

Copula函數作為處理變量之間相關性的重要手段，已經在機械、水利工程領域得到廣泛的應用[12-13]。作為聯合分布函數與邊緣分布函數的連接函數，Copula函數不僅能夠描述變量之間的復雜的非線性相關關系，其邊緣分布函數的形式亦不受限制[14]。

本文通過對地震動-橋梁樣本的增量動力分析(Incremental Dynamic Analysis，IDA)結果進行統計分析，建立了橋墩、支座等單個構件的易損性曲線，并采用核光滑方法對各構件的邊緣分布函數進行估計；基于離差平方和最小準則及最小距離法對多元Copula函數的參數進行估計及優選；選擇合適的多元Copula函數，描述了橋墩、支座等多個構件地震需求之間的相關性，提出了橋梁體系易損性分析的新方法，分析了橋墩、支座等構件地震需求之間的相關性對橋梁體系易損性的影響。

1 基于多元Copula函數橋梁體系易損性分析

1.1 體系易損性分析

橋梁體系通常是由橋墩、橋臺及支座等主要構件組成，其中任一構件的破壞均會影響橋梁的使用功能，因此將橋梁體系定義為串聯體系，進而得到橋梁體系的易損性Pfs

(1)

式中：Pi(·)為構件i的易損性；m為體系中的構件數量。

由式(1)可知，橋梁體系的易損性是構件易損性的并集，但是由于構件地震需求之間相關性的影響，構件易損性之間并非相互獨立，橋梁體系易損性不是單個構件易損性的簡單相加。在這種情況下，由可靠性理論可知，式(1)可進一步表示為

(-1)m-1P(X1X2…Xm,IM)

(2)

式中：P(Xi,IM)為在某一地震動強度IM下單個構件的易損性；P(XiXj,IM)為兩個構件同時破壞的易損性，以此類推；P(X1，X2，…，Xm,IM)為m個構件同時破壞的易損性。其中：單個構件的易損性P(Xi,IM)可以定義為構件Xi的地震需求Sdi超過構件Xi性能指標Sci的概率[15]

(3)

為克服構件地震需求及構件性能指標服從對數正態分布假設的限制，可以對地震動-橋梁樣本進行增量動力分析(IDA)，基于概率的方法對每級增量水平下分析結果進行統計，得到單個構件Xi的易損性

(4)

式中：nXi,IM為在地震動強度IM下構件Xi失效的樣本數；NXi,IM為地震動強度IM下構件Xi的樣本總數。

由于構件易損性并非相互獨立，直接求解兩個或多個構件同時破壞的易損性較為困難。為此，本文引入多元Copula函數方法來對式(2)進行求解。

1.2 多元Copula函數的定義

N元Copula函數是指具有以下性質的函數C(·,…,·)[14]：

(1) 定義域為IN，即[0,1]N；

(2)C(·,…,·)有零基面且是N維遞增的；

(3)C(·,…,·)的邊緣分布函數為C(·)，n=1,2,…,N，且

Cn(un)=C(1,…,1,un,1,…,1)=un

(5)

式中，un∈[0,1]，n=1,2,…,N。

若F(·,…,·)為聯合分布函數，其邊緣分布函數為F1(·),F2(·),…,FN(·)，那么存在一個Copula函數C(·,…,·)，滿足

F(x1,x2…,xN)=C(F1(x1),F2(x2),…,FN(xN))

(6)

反之，若F1(·),F2(·),…,FN(·)為一元分布函數，C(·,…,·)為相應的Copula函數，則F(·,…,·)為具有邊緣分布函數F1(·),F2(·),…,FN(·)的聯合分布函數。

由以上性質可知，基于Copula函數，可以用邊緣分布函數對聯合分布函數進行顯式表達，并將變量之間的相關結構和邊緣分布函數進行分離，進而簡化聯合概率分布函數的求解。由于Copula函數的邊緣分布形式靈活，同一個Copula函數，其邊緣分布可以為不同類型的分布；作為各邊緣分布的連接函數，Copula函數的形式也不受邊緣分布的限制。

當變量單調變換時，即若

(7)

則有

C(x1,x2,…,xN)=C(h1(x1),h2(x2),…,hN(xN))

(8)

式中，hn(xn)為隨機變量xn的函數。

由式(8)可知，Copula函數在變量單調增變換下，形式不會發生變化。此外，Copula函數的形式多樣：從結構上說，既可以是對稱的，也可以是非對稱的；從相依性上講，可以是上尾相依，也可以是下尾相依。和線性相關系數相比，Copula函數能夠描述構件之間的非線性、非對稱、上尾相依、下尾相依等各種類型的復雜相關結構，具有普遍的適用性。

由多元Copula函數的性質可知，系統中任意k個構件同時破壞的易損性可由單個構件的易損性進行定義

P[X1,X2,…,Xk,IM]=C(u1,u2,…,uk,IM)

(9)

式中：ui為單個構件Xi的易損性；C(·)為多元Copula函數。通過式(9)可將構件地震需求之間的相關結構和構件的易損性進行分離，進而簡化多個構件同時破壞易損性的求解。將式(9)代入式(2)，即可得到橋梁體系的易損性Pfs

(-1)m-1C(P1,P2,…,Pm,IM)

(10)

1.3 多元Copula函數的選擇

由式(9)可知，采用多元Copula函數求解多個構件同時破壞易損性的關鍵是選擇合適的Copula函數類型，以準確描述構件地震需求之間的相關結構，進而建立橋梁體系的易損性曲線。

實際中常用的Copula函數主要包括Elliptic Copula類和Archimedean Copula類。由于Archimedean Copula函數具有對稱性和可結合性，在多元情況下計算較為簡便。本文選取三種常見的Archimedean Copula函數作為備選函數，三種Copula函數的表達式為

(1)N元Clayton Copula函數

C(u1,u2,…,un;θ1)=

(11)

(2)N元Gumbel Copula函數

C(u1,u2,…,un;θ2)=

(12)

(3)N元Frank Copula函數

C(u1,u2,…,un;θ3)=

θ3≠0;N≥3,θ3∈(0,∞)

(13)

式中：θi為相關參數；ui為邊緣分布函數。基于地震動-橋梁樣本的增量動力分析數據，可以通過離差平方和最小準則對多元Copula函數進行參數估計；在此基礎上，可以采用最小距離法，從以上三種備選Copula函數中，選擇合適的Copula函數，來準確描述橋墩、支座等構件地震需求之間的相關結構。主要步驟如下：

步驟1 確定構件的邊緣分布函數

根據統計分析的基本要求，建立一定數量的地震動-橋梁樣本，進行增量動力分析(IDA)。根據構件地震需求的樣本值及性能指標，對各構件的邊緣分布函數進行估計，得到各構件的邊緣分布函數。

步驟2 Copula函數參數估計

基于構件地震需求樣本點處的邊緣分布函數值，采用離差平方和最小準則，對多元Copula函數進行參數估計，得到多元Copula函數相關參數的估計值。

步驟3 Copula函數的優選

基于Copula函數相關參數的估計值，采用最小距離法對三種備選Copula函數的擬合度進行檢驗，選擇合適的多元Copula函數，描述構件地震需求之間的相關結構。

2 計算實例

2.1 結構模型

以某高鐵線路上一跨徑為(36 m+64 m+36 m)連續梁橋為例，闡述基于多元Copula函數的橋梁體系易損性分析新方法。主梁為變截面箱梁，頂板寬12.2 m，底板寬6.7 m，中墩處梁高6.0 m，跨中部位梁高3.2 m，采用C55混凝土。橋墩采用圓端形實體截面，墩高18 m，混凝土材料為C40，保護層厚度為50 mm，縱向鋼筋和箍筋都采用HRB335級鋼筋，縱筋直徑25 mm，配筋率為0.4%，箍筋直徑12 mm，配箍率為0.3%；中墩截面尺寸為3.7 m×8.5 m，邊墩截面尺寸為3.6 m×7.0 m。橋梁支座采用固定型和縱向滑動型球形支座。基礎采用直徑1.5 m灌注樁，樁長30 m，梅花型布置，間距為4 m。場地類型為Ⅱ類。

采用OpenSees程序建立橋梁的有限元模型。主梁在地震下基本處于彈性狀態，采用彈性梁柱單元模擬；橋墩可能發生塑性破壞，采用非線性纖維梁柱單元模擬，保護層混凝土和核心區混凝土采用基于Kent-Scott-Park本構模型的Concrete01材料分別進行定義，以考慮核心區混凝土的約束效應；鋼筋采用基于Giuffré-Menegotto-Pinto本構模型的Steel02材料模擬；支座采用零長度單元進行模擬，其本構關系采用理想彈塑性模型，模型參數根據支座的型號及尺寸，參考文獻[16]進行計算；橋墩基礎采用零長度單元進行模擬，單元的平動及轉動剛度，根據樁周土層條件，采用m法計算得到。橋梁結構的有限元模型，如圖1所示。

圖1 橋梁結構的分析模型

2.2 增量動力分析

2.2.1 地震動-橋梁樣本

地震動-橋梁樣本是增量動力分析的基礎，而在樣本抽樣的過程中需要考慮地震動不確定性及結構參數不確定性。地震動不確定性包括地震動本身的隨機性以及方向效應、入射角及空間變異性[17]，屬于偶然不確定性范疇。為綜合考慮地震動的不確定性，從太平洋地震工程中心強震數據庫中選取符合Ⅱ類場地的地震動，所選地震動滿足以下原則：

(1) 震級≥5.5級；

(2) 震中距<100 km；

(3) 地震動兩個水平方向分量高通濾波角頻率<0.2 Hz，低通濾波角頻率>18 Hz；

(4) 選取地震動的剪切波速范圍為260 m/s≤VS30≤500 m/s。

所選地震動的峰值加速度分布，如圖2所示。在此基礎上，采用區間法[18]以震級(6.5)和震中距(30 km)將所選的地震動分為4組，每組包含25條不同震級-震中距組合的地震動，進而將地震動在不同的震級及震中距范圍內進行離散，結合地震動選取過程中其幅值、頻譜、持時特性的離散性，即可在增量動力分析中考慮地震動幅值、頻譜、持時特性以及震級、震中距的不確定性。

圖2 地震動的PGA分布

結構參數的不確定性主要包括材料強度、幾何尺寸、質量、阻尼以及邊界條件等，屬于認知不確定性范疇。研究表明：橋梁地震需求主要受混凝土強度、鋼筋強度、滑動支座摩擦因數、結構阻尼、上部結構質量以及邊界條件等因素的影響[19]。對主要的結構參數不確定性及其概率分布進行總結，如表1所示。

根據以上結構參數不確定性的概率分布特征，將各個參數的5%～95%概率區間等概率地分成100組，采用拉丁超立方抽樣方法[20]對以上分組進行分層抽樣，即可建立100組橋梁樣本。和區間法得到的100條地震動記錄進行隨機配對，組成100組地震動-橋梁樣本，即可以在結構的概率地震需求分析中，綜合考慮地震動及結構參數的不確定性。

表1 結構參數不確定性及其分布

2.2.2 構件地震需求

以往的震害表明，對于中小跨徑橋梁，支座及橋墩是最薄弱的環節[21]。以橋墩縱、橫橋向位移延性比(μL、μT)以及支座縱、橫橋向位移(bL、bT)作為結構的地震需求參數，可有效地描述橋梁的破壞狀態及損傷程度。為了得到橋梁在地震作用下的整個破壞狀態，采用增量動力分析方法(IDA)，將每條地震動記錄的峰值加速度調整為0.1～1.5g，增量水平為0.1g，通過對每組地震動-橋梁樣本進行IDA分析，得到構件的地震需求樣本值，對其進行統計分析得到構件地震需求的中位值，如圖3所示。

(a) 橋墩

(b) 支座

2.3 構件易損性曲線

2.3.1 極限狀態性能指標

橋梁在地震作用下的破壞一般可分為輕微、中等、嚴重和完全四種狀態。為了對各破壞狀態下的易損性進行評估，需要定義構件在各破壞狀態下的性能指標。對于橋墩，四種破壞狀態分別對應于縱向鋼筋首次屈服、保護層混凝土壓碎、核心區混凝土開裂破壞及縱向鋼筋屈曲。各破壞狀態下橋墩的位移延性比μi定義為

(14)

式中：Δi為各破壞狀態下墩頂極限位移；Δy為縱向鋼筋首次屈服時的墩頂位移。對截面進行彎矩-曲率分析，即可得到各破壞狀態下橋墩的位移延性指標，如表2所示。

支座的四種破壞狀態可以采用位移進行定義，對于活動支座，根據支座的幾何尺寸及物理參數，分別取設計位移、1.5倍的設計位移、2.0倍的設計位移及1/2球面滑板直徑作為輕微破壞、中等破壞、嚴重破壞及完全破壞的性能指標；固定支座的容許位移較小，分別取10 mm、15 mm、20 mm及50 mm作為四種破壞狀態的性能指標，如表2所示。

由于結構參數不確定性的影響，構件的性能指標存在一定的變異性，可采用Nielson[22]提出的變異系數(Coefficient of Variation，COV)進行描述。輕微和中等破壞下，變異性較小，變異系數取0.25；嚴重和完全破壞下，變異性較大，變異系數取0.5，如表2所示。

表2 構件性能指標

2.3.2 構件易損性

為了避免構件地震需求概率分布形式假定引起的誤差，本文基于式(4)，直接對構件的功能函數進行概率統計，計算構件的易損性。

構件的功能函數是指構件的地震需求與和構件的性能指標之差，主要用來判斷構件是否失效。當構件的功能函數值>0，表示構件地震需求超過某一破壞狀態下的性能指標，構件失效。基于IDA分析結果和構件的性能指標，對每級增量水平下構件的功能函數進行統計分析，即可得到各破壞狀態下構件的易損性。限于篇幅，僅給出橋墩、支座在輕微破壞狀態下的易損性曲線，如圖4所示。

(a) 橋墩

(b) 支座

2.4 多元Copula函數的參數估計及模型選擇

2.4.1 構件邊緣分布函數估計

基于IDA分析結果，采用核光滑方法[23]對構件的邊緣分布函數進行估計，核光滑法是用來估計分布函數或密度函數一種非參數估計方法。即基于樣本觀測數據本身來確定總體的概率分布，而不需要事先對構件邊緣分布的形式進行假定。通過選擇合適的核函數及窗寬，即可得到構件的邊緣分布函數。由于不需要事先對構件的邊緣分布函數形式進行假定，得到的邊緣分布函數更加符合實際。限于篇幅，僅給出橋墩、支座在輕微破壞狀態下的邊緣分布函數，如圖5所示。

2.4.2 多元Copula函數參數估計

極大似然估計是最為常用的參數估計方法，然而由于多元Copula函數的概率密度函數求解涉及到多元函數微分，采用極大似然估計方法進行參數估計存在一定的困難。因此，本文提出基于離差平方和最小準則，對多元Copula函數進行參數估計，避免了對多元Copula函數進行微分運算。

(a) 橋墩

(b) 支座

(15)

式中：u1,u2,…,um∈[0,1]；I[·]為示性函數，當Fn(xmi)≤um時，I[Fn(xmi)≤um]=1，否則I[Fn(xmi)≤um]=0。基于離差平方和最小準則，得到多元Copula函數的參數估計式為

OLS=

(16)

將各構件的邊緣分布函數及多元經驗Copula函數代入式(16)，采用非線性優化技術進行求解，得到多元Copula函數相關參數的估計值，如表3所示。

2.4.3 多元Copula函數的模型選擇

采用基于平方歐式距離的最小距離法對多元Copula函數的擬合度進行檢驗，選擇最優Copula函數，描述構件地震需求之間相關結構。平方歐式距離d2定義為

(17)

基于式(17)計算各備選Copula函數與經驗Copula函數的平方歐式距離，如表3所示。對比可知，在各破壞狀態下，多元Frank Copula函數的平方歐式距離均最小。因此，多元Frank Copula函數是描述橋墩、支座等構件地震需求之間相關結構的最優Copula函數。

表3 多元Copula函數的參數

2.5 體系易損性曲線

2.5.1 基于多元Copula函數的體系易損性

將表3中多元Frank Copula函數的參數估計值代入式(13)，即可得到構件地震需求之間的相關結構；結合“2.3.2”節得到的單個構件易損性和構件之間的相關結構，由式(9)得到多個構件同時失效的易損性；在此基礎上，將單個構件的易損性及多個構件同時失效的易損性代入式(10)，即可得到考慮構件地震需求之間相關性影響的橋梁體系易損性曲線，如圖6所示。

2.5.2 基于Monte Carlo方法的體系易損性

為了對多元Copula函數方法進行驗證，采用Monte Carlo方法對橋梁體系的易損性進行分析。Monte Carlo方法是目前學者分析結構體系易損性主要采用的一種數值抽樣方法，其結果位于一階界限法的上、下界之間，當抽樣數量較大時，可將其作為近似精確值。在每級增量水平下，基于橋墩、支座等構件地震需求樣本值，計算構件地震需求之間的相關系數并擬合各構件地震需求的概率分布函數；在此基礎上，對多個構件地震需求同時進行隨機抽樣以考慮構件地震需求之間相關性的影響，抽樣次數取N=105次；將構件地震需求的抽樣值和構件的性能指標相減，得到構件的功能函數；對構件功能函數的樣本值進行統計分析，得到橋梁體系的失效樣本數，將其除以橋梁體系的樣本總數，即可得到橋梁體系的失效概率。對不同破壞狀態各增量水平下的失效概率依次進行分析，即可得到橋梁體系的易損性曲線，為便于對比，將其列于圖6。

2.5.3 結果驗證

對比多元Copula函數方法和Monte Carlo方法得到的橋梁體系易損性，由圖6可知：縱橋向，四種破壞狀態下二者的偏差最大分別為5.02%、7.83%、6.25%及6.90%；橫橋向，四種破壞狀態下二者的偏差最大分別為7.43%、6.82%、7.62%及5.29%。由此可見，兩種方法得到的橋梁體系易損性吻合良好，表明多元Copula函數方法的精度較高，結果穩定可靠。此外，多元Copula函數能夠避免大量的數值抽樣，使橋梁體系易損性計算的效率顯著提高。

(a) 縱橋向

(b) 橫橋向

3 構件需求相關性對橋梁體系易損性的影響

為分析橋墩、支座等構件地震需求之間的相關性對橋梁體系易損性的影響，計算構件完全相關和完全不相關情況下的橋梁體系易損性。由可靠性理論可知，當構件地震需求完全相關時，橋梁體系易損性等于單個構件易損性的最大值，即

(18)

當構件地震需求完全不相關時，各構件地震需求為相互獨立的變量，橋梁體系易損性為

(19)

式中：Pfs為橋梁體系的易損性；Pi為構件i的易損性；m為構件數量。將橋墩、支座等單個構件的易損性代入式(18)、式(19)，即可得到構件完全相關和完全不相關情況下橋梁體系的易損性，并與Frank Copula函數對比，如圖7所示。

由圖7可知，假設橋墩、支座等構件地震需求之間完全相關，得到的體系易損性偏小。在縱橋向，四種破壞狀態下最大偏差分別為-6.5%、-9.9%、-14.7%、-2.7%；在橫橋向，四種破壞狀態下最大偏差分別為-3.2%、-6.1%、-8.0%、-12.0%。假設橋墩、支座等構件地震需求之間完全不相關，得到的體系易損性明顯偏大。在縱橋向，四種破壞狀態下最大偏差分別為33.9%、34.1%、38.1%、34.8%；在橫橋向，四種破壞狀態下最大偏差分別為20.6%、15.2%、23.0%、35.0%。由此可見，橋墩、支座等構件地震需求之間的相關性對橋梁體系易損性影響顯著；準確描述橋墩、支座等構件地震需求之間的相關性十分必要。

4 結 論

基于離差平方和最小準則和最小距離法，構造了描述橋墩、支座等構件地震需求相關性的多元Copula函數，提出了橋梁體系易損性分析的新方法，研究了構件地震需相關性對橋梁體系易損性的影響，結果表明：

(1) 對于連續梁橋，多元Frank Copula函數能夠準確地描述橋墩、支座等構件地震需求之間的相關結構，簡化了多個構件同時破壞易損性的求解，從而保證在橋梁體系易損性分析中準確考慮構件地震需求之間相關性的影響。

(2) 采用離差平方和最小準則對多元Copula函數進行參數估計，避免了極大似然估計中多元函數微分運算，有效降低了多元Copula函數的構造難度。

(3) 橋墩、支座等構件地震需求之間的相關性對橋梁體系易損性影響顯著；準確描述橋墩、支座等構件地震需求之間的相關性十分必要。

(4) 作為處理構件地震需求之間相關性的一種重要手段，多元Copula函數應用范圍并不局限于連續梁橋，對于其他的工程結構同樣適用，在實際應用中，應針對具體的結構形式，選擇合適的Copula函數模型對構件之間的相關結構進行準確描述。

本文采用多元Copula函數描述了橋墩、支座等多個構件地震需求之間的相關性。然而，隨著齡期的增長，橋梁性能的不斷退化，橋墩、支座等構件之間的相關性也隨之發生變化，如何考慮構件之間相關性的時變特性，進而建立更為精確的橋梁體系時變易損性曲線還需深入研究。

(a) 輕微破壞

(b) 中等破壞

(c) 嚴重破壞

[1] TASKARI O, SEXTOS A. Multi-angle, multi-damage fragility curves for seismic assessment of bridges[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2015, 44(7): 2281-2301.

[2] GODA K, TESFAMARIAM S. Multi-variate seismic demand modelling using copulas: application to non-ductile reinforced concrete frame in Victoria, Canada[J]. Structural Safety, 2015, 56:39-51.

[3] 李吉濤,楊慶山,劉陽冰. 多點地震激勵下大跨連續鋼構橋易損性分析[J]. 振動與沖擊, 2013, 32(5): 75-80.

LI Jitao, YANG Qingshan, LIU Yangbing. Fragility analysis of long span continuous rigid frame bridge under multi-support excitations[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(5): 75-80.

[4] 李超,李宏男. 考慮氯離子腐蝕作用的近海橋梁結構全壽命抗震性能評價[J]. 振動與沖擊, 2014, 33(11): 70-77.

LI Chao，LI Hongnan． Life-cycle seismic performance evaluation of offshore bridge structures considering chloride ions corrosion effect[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(11): 70-77.

[5] YANG C S W, WERNER S D, DESROCHES R. Seismic fragility analysis of skewed bridges in the central southeastern United States[J]. Engineering Structures, 2015, 83(1): 116-128.

[6] BILLAH A M M, ALAM M S. Seismic fragility assessment of highway bridges: a state-of-the-art review[J]. Structure and Infrastructure Engineering, 2015, 11(6): 804-832.

[7] TAVARES D H, SUESCUN J R, PAULTRE P, et al. Seismic fragility of a highway bridge in Quebec[J]. Journal of Bridge Engineering-ASCE, 2013, 18(15): 1131-1139.

[8] 李立峰, 吳文朋, 黃佳梅, 等. 地震作用下中等跨徑 RC 連續梁橋系統易損性研究[J]. 土木工程學報, 2012, 45(14): 152-160.

LI Lifeng, WU Wenpeng, HUANG Jiamei, et al. Study on system vulnerability of medium span reinforced concrete continuous girder bridge under earthquake excitation[J]. China Civil Engineering Journal, 2012, 45(14): 152-160.

[9] RAMANATHAN K, PADGETT J E, DESROCHES R. Temporal evolution of seismic fragility curves for concrete box-girder bridges in California[J]. Engineering Structures, 2015, 97: 29-46.

[10] NIELSON B G, DESROCHES R. Seismic fragility methodology for highway bridges using a component level approach[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2007, 36(6): 823-839.

[11] 董俊,單德山,張二華, 等. 非規則連續剛構橋地震易損性分析[J]. 西南交通大學學報, 2015, 50(5):845-851.

DONG Jun, SHAN Deshan, ZHANG Erhua, et al. Seismic fragility of irregular continuous rigid frame bridge[J]. Journal of Southwest Jiaotong University, 2015, 50(5): 845-851.

[12] HONG H P, ZHOU W, ZHANG S, et al. Optimal condition-based maintenance decisions for systems with dependent stochastic degradation of components[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2014, 121(1): 276-288.

[13] GHOSH S. Modelling bivariate rainfall distribution and generating bivariate correlated rainfall data in neighbouring meteorological subdivisions using copula[J]. Hydrological Processes, 2010, 24(24): 3558-3567.

[14] NELSEN R B. An introduction to Copulas[M]. New York: Springer Science & Business Media, 2013.

[15] 張云, 譚平, 鄭建勛, 等. 柱式柔性墩隔震梁橋結構地震易損性分析[J]. 振動與沖擊, 2015, 34(16): 48-54.

ZHANG Yun, TAN Ping, ZHENG Jianxun, et al. Seismic fragility analysis on isolated bridges with flexible column piers[J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(16): 48-54.

[16] PAROOL N, RAI D. Seismic fragility of multispan simply supported bridge with drop spans and steel bearings[J]. Journal of Bridge Engineering-ASCE, 2015, 20(7):04015021.

[17] RAMADAN M O, MEHANNY S F, ELHOWARY H A. Seismic vulnerability of box girder continuous bridges under spatially variable ground motions[J]. Bulletin of Earthquake Engineering, 2015, 13(6): 1727-1748.

[18] MACKIE K R, CRONIN K J, NIELSON B G. Response sensitivity of highway bridges to randomly oriented multi-component earthquake excitation[J]. Journal of Earthquake Engineering, 2011, 15(6): 850-876.

[19] PAN Y, AGRAWAL A K, GHOSN M, et al. Seismic fragility of multi-span simply supported steel highway bridges in New York State. I: bridge modeling, parametric analysis, and retrofit design[J]. Journal of Bridge Engineering-ASCE, 2010, 15(5):448-461.

[21] 莊衛林,劉振宇,蔣勁松. 汶川大地震公路橋梁震害分析及對策[J]. 巖石力學與工程學報, 2009, 28(7): 1377-1387.

ZHUANG Weilin, LIU Zhenyu, JIANG Jinsong. Earthquake induced damage analysis of highway bridges in Wenchuan earthquake and countermeasures[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2009, 28(7): 1377-1387.

[22] NIELSON B G. Analytical fragility curves for highway bridges in moderate seismic zones[D]. Atlanta: Georgia Institute of Technology, 2005.

[23] NOH H Y, LALLEMANT D, KIREMIDJIAN A S. Development of empirical and analytical fragility functions using kernel smoothing methods[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2015, 44(12): 1163-1180.

Seismic fragility analysis of a bridge system based on multivariate Copula function

SONG Shuai1, QIAN Yongjiu1, WU Gang2

(1. School of Civil Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China; 2. School of Transportation, Southeast University, Nanjing 210096, China)

In order to consider the dependence of piers, bearings and other components’ seismic demands, the multivariate Copula function was adopted to describe the dependence structure of components’ seismic demands and a new method for the seismic fragility analysis of a bridge system was proposed. Based on the results of incremental dynamic analysis, the marginal distribution function of each component was calculated by using the kernel smoothing method. Parameters of the multivariate Copula function were estimated based on the minimum deviation square sum and the optimal Copula function was selected by using the minimum distance method. Combining the component fragility with the multivariate Copula function, the fragility curve of the bridge system was developed and the effects of dependence of components’ seismic demands on the system fragility were analyzed. The results indicated that the dependence of piers, bearings and other components’ seismic demands has an important influence on the seismic fragility of the bridge system; the multivariate Copula function constructed with the minimum deviation square sum can describe the dependence structure of components’ seismic demands accurately and reduce the difficulty level of the bridge system fragility analysis effectively.

bridge system; seismic fragility; multivariate Copula function; dependence of seismic demands; minimum deviation square sum; kernel smoothing method

國家自然科學基金(51178395)

2016-02-02 修改稿收到日期：2016-05-06

宋帥 男，博士生,1987年生

錢永久 男，博士，教授，博士生導師，1963年生

U442.5+5

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.09.019