非平穩隨機地震響應約束下的桁架結構形狀與拓撲優化

李雪平， 李棟泓， 魏 鵬， 蘇 成

(華南理工大學 土木與交通學院 亞熱帶建筑科學國家重點實驗室，廣州 510640)

非平穩隨機地震響應約束下的桁架結構形狀與拓撲優化

李雪平， 李棟泓， 魏 鵬， 蘇 成

(華南理工大學 土木與交通學院 亞熱帶建筑科學國家重點實驗室，廣州 510640)

基于時域顯式方法，針對桁架結構在非平穩隨機地震作用下的動力優化問題推導了非平穩隨機響應對設計參數的靈敏度，并結合移動漸進線法對桁架結構的截面積及節點坐標進行優化。建立了以體積為目標函數，以水平向及豎向地震作用下位移方差為約束條件的優化模型。通過數值算例說明桁架在非平穩隨機地震作用下進行動力優化的可行性以及該方法的有效性。

桁架；非平穩；拓撲優化；時域顯式法

建筑結構常常受到隨機荷載的作用，如地震、風和海浪等。結構在受到隨機荷載作用時，大體上有兩類方法可以抑制或減少結構的振動。一是傳統的振動控制方法，包括主動控制、被動控制、半主動控制等。二是通過對結構的尺寸、形狀和拓撲進行優化以改善結構動力特性的方法[1]。為了避免結構動力響應過大導致的結構失穩或疲勞損壞，以結構某些關鍵部位的動力響應為約束條件或目標函數進行的動力特性優化近年來引起了越來越多的關注[2]。

結構的動力響應一般是結構設計參數的隱式函數，具有高非線性與復雜性等特征，這就導致動力響應求解、靈敏度分析比較困難。對此問題，很多學者已經開展了大量的研究工作，Rong等采用模態疊加法和序列二次規劃法(Sequential Quadratic Programming，SQP)對結構受白噪聲激勵下的動力響應進行優化，以使結構的質量達到最輕的目標。Zhang等[3]考慮靜荷載對結構剛度的影響，采用模態疊加法對結構受平穩激勵下的多種材料布局進行了拓撲優化。Li等[4]采用移動漸近線法(Method of Moving Asymptotes，MMA)對區間參數結構的動力可靠度進行優化，其動力響應及靈敏度求解采用等效靜力法( Equivalent Static Load，ESL)進行處理。潘晉等[5]采用遺傳算法對桁架結構受脈沖激勵下的響應進行拓撲優化，計算效率相對較低。Jog[6]針對結構受周期性荷載作用的問題，分別以響應和動力柔順度最小化為目標函數對連續體結構進行拓撲優化。Hajirasouliha等[7]針對類桁架結構在確定性地震荷載作用下的響應，考慮了桁架結構的非線性與受壓桿件的屈曲效應，對桁架結構的截面進行了拓撲優化。Rong[8]采用模態疊加法求解結構在白噪聲激勵下的響應并推導其動力響應的靈敏度，結合進化優化算法(Evolutionary Structure Optimization，ESO)研究了連續體的動力拓撲優化。Gomes[9]采用粒子群優化算法(Particle Swarm Optimization，PSO)對桁架結構在頻率約束下的節點坐標以及桿件截面積進行了優化。Ma等[10]以結構的動力可靠度為約束條件，體積為目標函數，對桁架結構在平穩激勵作用下的截面積以及節點位置進行了優化。Miguel等[11]采用改進的智能優化算法對桁架結構在頻率約束下的節點及桿件截面積進行拓撲優化。房占鵬等[12]針對指定頻帶簡諧激勵下對約束阻尼結構進行拓撲優化。通過查閱國內外文獻可以發現基于響應的動力拓撲優化主要集中在確定性荷載或平穩激勵作用下，而對于結構受非平穩隨機激勵下的動力拓撲優化文獻還相對較少，而且非平穩響應及靈敏度求解相對平穩問題求解更為復雜。

近年來由蘇成等[13-14]提出的時域顯式法可顯式表達出結構的動力響應，進而可以高效求解結構在非平穩激勵下的動力響應。陳太聰等[15]基于精細積分格式提出了非平穩隨機響應靈敏度的時域顯式法。本文基于Newmark-β的積分格式推導了非平穩隨機響應靈敏度的時域顯式法，通過對比發現，當結構主頻率處于荷載主頻率范圍時，在同等精度條件下，基于精細積分的時域顯式法效率更高。而通常情況下，為了減少外載荷產生的振動，一般結構主頻率會設計的偏離荷載主頻范圍，這樣基于Newmark-β的積分格式的時域顯式法效率更高。因此本文采用基于Newmark-β的積分格式的時域顯式法求解響應對設計參數的靈敏度并結合全局收斂的移動漸進線法(Globally Convergent Method of Moving Asymptotes，GCMMA)[16]研究了非平穩隨機地震作用下桁架結構的形狀與拓撲優化問題，通過兩個算例來說明非平穩隨機響應動力優化的可行性以及該方法的有效性。

1 非平穩隨機動力響應及靈敏度分析

考慮某n個自由度的線性系統，其在地震作用下的動力學方程為

(1)

(i=1,2,…,l)

(2)

(3)

式中：I為單位矩陣；積分參數γ和β可分別取0.5和0.25，以保證數值積分的穩定性。當系統的初始狀態V0等于零向量時，并且記N=TQ2+Q1，由遞推關系式可以推導出響應Vi的時域顯式表達式

(4)

其中，

(5)

式中，Ai,Ai-1,…,A1只與結構參數有關，反映結構參數對動力響應的影響。式(4)可以進一步表示為

(6)

其中，

(7)

最后響應可以表示為與結構參數有關的系數向量和與荷載有關的向量相乘的顯式表達式，有利于結構響應統計特性的求解。由于在結構隨機振動分析中，通常只對結構某些關鍵部位響應感興趣，所以并不需要求解所有的響應向量，從而可以節省大量的計算量。由式(6)可知，在時刻ti某一關鍵部位的響應vi可寫為

(8)

式中，φ為關鍵部位結構響應的定位行向量，其元素由0和1組成。

基于以上動力響應時域顯式表達的基本思路，可推導出動力響應靈敏度的時域顯式求解列式。設θ代表結構的某個設計參數，則對動力學方程式(1)兩端求偏導，可得

(9)

其中，

(10)

對比觀察式(1)和式(9)可見，兩方程僅荷載項不同，因此也可采用Newmark-β積分格式推導其關于靈敏度的時域表達式

(11)

其中，

(12)

根據隨機響應的方差靈敏度的一般計算公式[19]

(13)

將式(6)和式(11)代入，最終整理可得第i時刻結構響應vi的方差對設計參數θ的靈敏度的計算表達式為

(14)

其中，

(15)

以平面桁架結構的M、C、K為例，對截面積及節點坐標的靈敏度可表示如下。

單元剛度對截面積(θ=A)的導數

(16)

其中，

(17)

單元質量對截面積(θ=A)的導數

(18)

單元剛度對節點x坐標(θ=x1)的導數

(19)

其中，

n=Δx*(3*Δx2-2*l2)

m=3*Δx*Δy2

k=Δy*(3*Δx2-l2)

(20)

單元質量對節點x坐標(θ=x1)的導數

(21)

單元剛度對節點y坐標(θ=y1)的導數

(22)

其中，

p=3*Δy*Δx2

q=Δy*(3*Δy2-2*l2)

r=Δx*(3*Δy2-l2)

(23)

單元質量對節點y坐標(θ=y1)的導數

(24)

單元阻尼對設計變量的導數

(25)

通過以上分析可得單元剛度矩陣、質量矩陣以及阻尼矩陣對設計參數的靈敏度，然后再組裝成總剛度矩陣、質量矩陣以及阻尼矩陣，最后由式(14)即可求得平面桁架位移方差對各設計參數的靈敏度。該推導過程可以直接推廣到空間桁架結構的靈敏度分析，由于篇幅原因，不在此贅述。

2 桁架結構在非平穩地震激勵下的形狀與拓撲優化

A0≤Aj≤A(j=1,2,…,m)

xk≥0,yk≥0 (k=1,2,…,p)

(26)

圖1 優化流程圖

3 數值算例

算例1 36桿平面桁架優化

考慮如圖2所示平面桁架結構，同時受水平和豎向隨機地震加速度F1(t) m/s2，F2(t) m/s2的作用，單元各桿件的彈性模量E=210×109Pa，桿件尺寸如圖中所示。桿件的密度為ρ=7 800 kg/m3,桿件質量堆積到桿兩端。此外，A、B、C、D節點處另有附加質量MA=MB=MC=MD=25 000 kg。阻尼采用Rayleigh阻尼，其中的阻尼系數α=0.2、β=0.001。Fi(t)(i=1,2)取為均勻調制非平穩隨機過程，即Fi(t)=g(t)fi(t)。其中，調制函數g(t)選取三段式包絡函數如下

圖2 36桿平面桁架結構初始模型

(27)

式中：t1=3 s；t2=6 s；t3=15 s；c=0.157 2。f(t) 為0均值高斯平穩隨機過程，其功率譜密度函數取為Kanai-Tajimi過濾白噪聲譜，即

(28)

式中：ωg=14 rad/s(地基土的卓越頻率)；ζg=0.6(地基土的阻尼比)；S0=0.07 m2/s3(譜強度因子，豎向地震取為水平地震強度因子的1/2)。

該算例以結構體積最小化為目標，計算時間步長Δt=0.02 s，考慮以下三種情況：

優化后的結構如圖3所示；優化目標和約束條件的迭代曲線如圖4所示；優化前后約束點處水平位移方差最大值、豎向位移方差最大值及總體積見表1。

圖3 桁架結構截面優化結果

(a) 總體積收斂曲線

(b) A點水平位移方差最大值收斂曲線

(c) A點豎向位移方差最大值收斂曲線

Fig.4 Convergence curve of structure’s total volume and the maximum horizontal and vertical displacement variance of pointAin the process of optimization

優化后的結構如圖5所示，優化目標和約束條件的迭代曲線如圖6所示，優化前后約束點處水平位移方差最大值、豎向位移方差最大值及結構總體積見表2。

表1 優化前后約束點處水平位移方差最大值、豎向位移方差最大值及結構總體積

Fig.1 Maximum horizontal and vertical displacement variance at constraint point before and after optimization and structure’s total volume

σ2AVmaxσ2AHmax總體積優化前9.5×10-84.6×10-1040優化后1.0×10-81.5×10-1035.52

圖5 桁架結構截面積與節點x坐標優化結果

(a) 總體積收斂曲線

(b) 水平位移方差最大值收斂曲線

(c) 豎向位移方差最大值收斂曲線

Fig.6 Convergence curve of structure’s total volume and the maximum horizontal and vertical displacement variance of pointAin the process of optimization

表2 優化前后約束點處水平位移方差最大值、豎向位移方差最大值及結構總體積

Fig.2 Maximum horizontal and vertical displacement variance at constraint point before and after optimization and structure’s total volume

σ2AVmaxσ2AHmax總體積優化前9.5×10-84.6×10-1040優化后3.8×10-97.0×10-1115.44

優化后的結構如圖7所示,優化目標和約束條件的迭代曲線如圖8所示,優化前后約束點處水平位移方差最大值、豎向位移方差最大值及結構總體積見表3。

圖7 桁架結構截面與節點坐標優化結果

算例2 平面輸電塔優化

優化后的結構如圖10所示，優化目標和約束條件的收斂曲線，如圖11所示，優化前后約束點處水平位移方差最大值、豎向位移方差最大值及結構總體積見表4。

以上優化過程中對桿件截面積小于某一閥值時進行桿件刪除，同時對節點優化中出現重疊的桿件和節點進行合并處理。

(a) 總體積收斂曲線

(b) 水平位移方差最大值收斂曲線

(c) 豎向位移方差最大值收斂曲線

Fig.8 Convergence curve of structure’s total volume and the maximum displacement variance at pointAin the process of optimization

表3 優化前后約束點處水平位移方差最大值、豎向位移方差最大值及結構總體積

Fig.3 Maximum horizontal and vertical displacement variance at constraint point before and after optimization and structure’s total volume

σ2AVmaxσ2AHmax總體積優化前9.5×10-84.6×10-1040優化后3.0×10-95.9×10-1112.37

表4 化前后A、C點處水平位移方差最大值、豎向位移方差最大值及結構總體積

Fig.4 Maximum horizontal and vertical displacement variance at pointAand pointCbefore and after optimization and structure’s total volume

從整個優化過程來看，優化初期為了滿足位移約束條件，結構總體積增加，節點坐標變化較緩慢，當約束條件滿足后結構總體積快速下降，節點坐標變化較大。從設計變量來看，同時考慮桿件截面積及節點坐標的優化結果最為合理。而優化效率及精度與所選取的積分步長有一定關系，這些需要在優化過程中進行權衡處理。

圖9 優化前結構Fig.9 Initialdesign圖10 優化后結構Fig.10 Theoptimizedstructure

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

4 結 論

本文首先應用基于Newmark-β積分格式的時域顯式法求解隨機響應對設計參數靈敏度，再利用GCMMA算法求解非平穩地震荷載作用下桁架結構的形狀與拓撲優化問題。考慮桁架結構同時受水平和豎向地震作用，建立以體積為目標，節點的水平和豎向位移方差的最大值為約束，優化桁架結構的截面積及節點坐標。優化結果表明使用該方法既減小了結構的位移響應又降低了結構用料的目的。總體來看，基于Newmark-β積分格式的時域顯式法求解隨機響應對設計參數靈敏度方面高效精確，從而可以有效結合GCMMA算法對桁架結構進行合理的形狀和拓撲優化。最后，通過36桿平面桁架結構和平面輸電塔的優化算例驗證該方法切實可行。

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Shape and topology optimization of truss structures under non-stationary stochastic seismic excitations

LI Xueping, LI Donghong, WEI Peng, SU Cheng

(State Key Laboratory of Subtropical Building Science, School of Civil Engineering and Transportation, South China University of Technology, Guangzhou 510640, China)

Aiming at the dynamic optimization problems of truss structures under non stationary random seismic actions, the sensitivities of non stationary random responses of a truss structure to design parameters were derived based on the time-domain explicit method. The cross-section areas and nodal coordinates of the truss structure were optimized combined with the method of moving asymptotes. The volume of the truss was taken as the objective function and the displacement variances under actions of horizontal and vertical earthquakes were taken as the constraints to establish an optimization model. Two numerical examples illustrated the feasibility and effectiveness of the proposed method for dynamic shape and topology optimization of truss structures under non-stationary stochastic seismic excitations.

truss; non-stationary; topology optimization; time-domain explicit method

國家自然科學基金項目(11002056；11372004)；中央高校基本科研業務費項目(2014ZZ0071)

2015-10-22 修改稿收到日期：2016-03-02

李雪平 男，博士,副研究員，1978年生

蘇成 男，博士，教授，1968年生 E-mail: cvchsu@scut.edu.cn

TU311；O324

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.09.021