替代定理的研究與應用

代廣珍，王冠凌

替代定理的研究與應用

代廣珍，王冠凌

（安徽工程大學電氣工程學院，安徽蕪湖241000）

替代定理是建立在已知電路中某二端子電路的端口電壓和電流的基礎之上，通過等效替代的方式來簡化電路分析，為優化電路設計提供方便.現有電路分析教材中對替代定理的描述不足，導致存在爭議.因此，對替代定理重新進行了描述，給出其各種形式及證明，并對爭議進行了解釋.最后，通過實例說明靈活運用替代定理進行電路分析，可以起到事半功倍的作用，從而有益于實際電路分析和電路理論教學.

替代定理；等效；電路

電路分析中關于等效替代的運用非常普遍，因而引起了廣泛的關注與探討.但是，仁者見仁智者見智，對某一方面的探討難以覆蓋全部，容易引起異議［1-2］.教材的編著者們一般都是基于各自的工程背景及應用需求，結合他們對電路分析課程的認識來編著教材的，因而必然存在著詳略差異.目前，國內外高校使用的經典電路分析教材中對替代定理的闡述一般都比較簡單［3-5］，甚至干脆沒有［6］.然而，替代定理應用非常廣泛，不僅可以對線性電路適用，還可以對非線性電路使用.由于在運用替代定理之前，必須要知道電路中被替代支路上的電壓和電流，使得該定理應用受到限制.因此，對于替代定理的應用通常受到了人們的忽視.當前，我國高等教育在全面推進創新創業教育和自主創業工作的前提下，電路分析課程的課時被大幅壓縮，教學大綱中對替代定理的要求也僅限于了解.然而，替代定理可以用來簡化電路，使電路分析更為簡單.尤其是對電路設計者而言，可運用替代定理優化電路設計.

本文針對關于替代定理存在的爭議，在替代定理描述與電路表現形式及證明的基礎上，給出了合理的解釋，說明通用電路分析教材中對替代定理描述的不足，并對其應用進行了舉例說明.

1存在的異議

文獻［1］指出等效與替代是兩個不同的概念，等效在任何情況下都可以和被替換的電路一樣正常工作，然而替代則只能在特定情況下才能和被替換電路一樣工作.從伏安特性曲線上比較等效和替代的關系，可以看出只有等效才能保證在任何情況下與原電路重合.最后文獻［1］還指出密勒定理屬于替代的范疇，并推廣了密勒定理的形式.對此，文獻［2］指出其否定了替代定理的內涵，并說明密勒變換改變電路拓撲結構，因而無從談起密勒定理是替代的范疇.文獻［6］也認為文獻［1］中描述替代是只在一點滿足被替代電路工作要求的等效，簡單的說即替代是等效，這一說法不妥.

上述說法都具有一定的合理性，但也不能說哪一個就是完全正確的.為了便于闡明觀點，結合文獻［3-4］，首先給出了替代定理的描述、表現形式及證明.然后，對替代定理的本質進行了闡述.最后，通過對兩個電路黑箱問題的求解，說明了替代定理的應用價值.

2替代定理的描述、表現形式及證明

2.1替代定理的描述

替代定理描述：圖1（a）所示電路中，任意一端口連接的部分NB，都可以運用與該端口具有相同的電壓u和電流i的電路元件或元件組合來替代.

文獻［1］把替代與等效完全區分開來，因而與上述定理描述必然存在差異.的確，等效并不需要考慮被替換部分端口的電壓和電流，即端口電壓和電流必須為唯一解的情況，如運用戴維寧定理對含源線性網絡進行的等效，不論外接負載如何變化，等效對含源線性網絡都滿足.而替代必須要使得端口電壓和電流具有唯一解，否則就不能滿足.但是過分的區分概念，會使得概念過于繁多，而糾結于過多的概念術語又會增加教學過程中學生學習的負擔.從伏安特性曲線上不難看出，等效與被替換電路兩者完全重合，替代與被替換電路相較于一點.為此，把兩者結合在一起統稱為等效替代，把替代作為其中的特例，不僅使得概念簡潔，也可以減輕教學負擔.此外該描述更貼合實際應用，可以有多種選擇.

圖1原電路及替代定理的表現形式

2.2替代定理的表現形式

針對上述定理的描述，給出了下列關于定理的表現形式，如圖1（b）至（f）所示.圖1（b）中運用電壓源us替代NB，且us=u，該替代形式主要是利用了電壓源上流過的電流受外電路確定，也即電壓源上的電流受NA確定.圖1（c）中運用電流源is替代NB，且is=i，該替代形式主要是利用了電流源上流過的電壓受外電路確定，也即電流源上的電壓受NA確定.圖1（d）中運用電阻R替代NB，R的大小為，也即R上的電壓和電流都是由NA確定.圖1（e）和（f）中分別運用了電壓源和電流源與電阻的組合替代NB，（e）中R分得的電壓大小為u-u，故i=有；（f）中的R分得的電流大小為i-i，故有u=.

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2.3替代定理的證明

對于定理的證明，文獻［3］已經對圖1中（b）和（c）兩種形式的證明進行了闡述（.d）形式中，由于，用替代后不改變端口特性，故自動獲證（.e）和（f）兩種形式的證明也可以采用文獻［1］中對（b）和（c）的證明方法，本文用圖2給出了（e）的證明過程.

在NB的端子d與a之間串接兩個極性相反的電壓源us和電阻R組合，由于極性相反，不影響原電路的特性.顯然，串接的兩個電阻R上的電壓也相互抵消，不防設結點c左邊的電阻R上分得的電壓為u-us，則結點c右邊的電阻R分得的電壓為us-u.這樣結點c與b的電壓為0，于是可以用一條導線將c、b短接，如圖2中虛線所示，從而將NB替代為電壓源us和電阻R組合.因為（f）是（e）的對偶結構，因此（f）也成立，可以用類似的方法證明.

圖2替代定理的證明

2.4替代定理的本質

替代定理的本質直觀地理解，就是用電路中一個端口所具有的電量大小的元件或元件組合替代該端口連接的部分，替代后不改變端口的拓撲結構，因而也就不改變KCL和KVL方程.這就相當于對于給定的一組線性（或非線性）代數方程，只要存在唯一解，則如果用解去替代其中任何一個未知量，方程兩邊相等，即替代后不會引起其它變量解的改變.

需要注意的是，替代前后必須保持電路解的唯一性，至于被替代部分是否有源，抑或是否包含受控源或是其控制量，都無關緊要［7］.考慮到電路分析教材中對替代定理的描述過于簡單，文獻［8］對含受控源電路如何應用替代定理做了補充，文獻［9］也提出了運用轉移控制量的方法來運用替代定理.

3替代定理的應用

替代定理在簡化電路分析、方便電路計算、優化集成電路設計方面，作用尤為明顯.為說明這一點，以電路黑箱問題為例來說明其應用.

例1圖3的（a）和(b)中，NR為互易網絡，試求：圖3（b）中的電流I1［6］.

為計算方便，將圖3（a）中的1 A電流源用2 A電流源和1 Ω電阻并聯替代，如圖4所示.此時應確保圖3（a）中端口1-1’上的電壓和電流不變，即仍有1 A電流流入且電壓為U1=2 V，而文獻［6］中將替代后電路與原題圖（b）中的端口1-1’上的電壓都標為UR，造成與后面的分析產生誤解.比較替代后電路和圖3（b），發現將2 Ω電阻和NR組合在一起依然是一個線性互易網絡，采用互易定理的第二種形式，可以寫出式：2 A×UR=1 A×U2，得UR=0.5 V，于是得到I1=UR/2 Ω=0.25 A.圖5中l2是替換后電路端口1-1’上的電壓與電流之間的關系曲線，與原電路曲線l1相較于Q點.

圖3例1電路

圖4替代后電路

圖5端口1-1’伏安特性

顯然，圖5伏安特性曲線不重合，屬于文獻［1］中嚴格意義上的替代.然而，教材［3］中只是將替代定理描述為圖1中的（b）、（c）和（d）三種形式，因而存在描述上的不足.替代是在交點處等效，其實是完全一致.因此，對于教學來講，將替代單獨劃分開來沒有必要，反而使得教學負擔加重.例1說明了將電流源替換為電流源與電阻的組合，并將電阻包含在黑箱當中，可以方便電路的分析和求解.

例2線性時不變電阻網絡如圖6（a），已知us=5cosωt V，RL=10 Ω時，uL=2+2cosωt V；us=2 V，RL=5 Ω時，uL=2%V，則us=5 V，RL=20 Ω，負載電壓uL是多少？

根據例2電路和已知條件，直接運用電路知識難以求解.不妨將電阻RL用電流大小為iL=uL/RL的電流源替代，如圖6（b）.根據疊加原理，可以將RL上的電壓uL用電壓源us、網絡N和電流源iL三者單獨作用再疊加來表示.設A、B、C分別表示三者對uL貢獻權值，則可得：uL=Aus+Bus+CiL.由于網絡N不變，對uL的貢獻也不變，不妨設uN=1.根據題目的已知條件可列出下列方程組：

圖6例2電路

求解得到：A=0.5、B=2、C=-2.5，代入式5A+B+CuL/20=uL，即可求出uL=4 V.

在例2的分析求解過程中，通過合理的替代，使的原本難以求解的題目，變得簡單易于求解.此外，可以運用替代定理將非線性電路轉化為線性電路，將非線性量轉化為線性電路中的變量，從而建立響應與變量之間的關系［10］.

4結語

電路分析教材中關于替代定理的描述，因存在不足而引起爭議.在對替代定理重新描述后，給出了各種表現形式以及相應的證明，并對存在的爭議作出了合理的解釋.通過舉例說明了沒必要過分細化替代與等效，且靈活運用替代定理對于電路黑箱問題進行分析求解，可以起到事半功倍的作用，有利于提高教學效果.

［1］沈傳墉.替代、等效及密勒定理的進一步探討[J].電工教學，1996，18(3):78-83.

［2］盧容德.關于替代定理的內涵與外延[J].電子電氣教學學報，2000，22(4):115-117.

［3］邱關源，羅先覺.電路[M].5版.北京:高等教育出版社，2006.

［4］Matthew N O Sadik，Sarhan MMusa,Charles K Alexander.Applied Circuit Analysis[M].New Your:Mcgraw Hill Education，2012.

［5］Thomas L Floyd，David M Abchla.DC/AC Fundamentals:A Systems Approach[M].Kom ton:Pearson Schweiz Ag，2012.

［6］劉惠，白鳳仙，董維杰，等.電路課程中替代定理教學的探討[J].電子電子教學學報，2010，32(3):27-29.

［7］張柏順，劉泉.再談替代定理[J].電氣電子教學學報，2003，25(3):101-103.

［8］張美玉，楊揚，齊家國，等.含受控源電路替代定理的研究[J].浙江工業大學學報，2001，29(2):171-175.

［9］周蕾.替代定理在含受控源電路中的應用[J].電氣電子教學學報，2011，33(4):49-51.

［10］盧容德.疊加定理在非線性電阻電路中的應用[J].長江大學學報，2006，3(2):42-45.

Research and Application of Substitution Theorem

DAI Guang-zhen，WANG Guan-ling
（College of Electrical Engineering，Anhui Polytechnic University，Wuhu 241000，Anhui，China）

The Substitution Theorem is based on the voltage and current of a two terminal circuit in a known circuit, which simplifies the circuit analysis by means of equivalent substitution and facilitates the optimization of the circuit design.In the existing circuit analysis textbook,there is controversy for the lack of description.Therefore,the Substitution Theorem is re-described,given its various forms and proof,and explains the disputes.Finally,through examples of flexible use of Substitution Theorem for circuit analysis,it can play a multiplier role,which is beneficial to the actual circuit analysis and circuit theory teaching.

substitution theorem;equivalent;circuit

TM131；TM133%

A%%%

1007-5348（2017）03-0043-04

（責任編輯：邵曉軍）

2016-11-08

安徽省教育廳重大教研項目（2015zdjy082）；安徽工程大學校級教學團隊（2016jxtd03）.

代廣珍（1974-），男，安徽無為人，安徽工程大學電氣工程學院副教授，博士；研究方向：新型存儲器及材料.