高考新亮點
——幾何概型

湖北省襄陽市襄州區古驛鎮二中(441122) 吳春菊●

?

高考新亮點
——幾何概型

湖北省襄陽市襄州區古驛鎮二中(441122)
吳春菊●

縱觀近年高考試題及高考模擬試題，幾何概型問題頻頻出現，這類問題新穎別致，構思精妙，極富思考性和挑戰性.幾何概型的概率求解一般分三步：1.判斷試驗是否為幾何概型；2.將試驗構成的區域和所求事件構成的區域轉化為幾何圖形，并加以度量(如長度、面積、體積或角度)；3.應用幾何概型的概率公式求概率.下面結合實例分類解析，旨在探索題型規律，揭示解題方法.

一、與長度有關的幾何概型

解析 先利用對數函數的單調性解出不等式，再根據幾何概型的概率計算公式求出概率.

點評 本題考查對數函數性質的應用和幾何概型.求解對數不等式考查了運算求解能力，幾何概型概率的求解考查了創新應用意識.

解析 先根據方程有兩個負根求得p的取值范圍，然后利用幾何概型的概率計算公式求出概率.

∵方程x2+2px+3p-2=0有兩個負根x1,x2，

點評 本題考查一元二次方程根的分布和幾何概型.根據一元二次方程根的分布情況建立不等式組求p的取值范圍，考查了邏輯思維能力與運算求解能力.將一元二次方程根的分布與概率相結合，體現了化歸意識在解題中的應用.

例3 (2015·長沙市模擬題)平面上畫了一組彼此平行且相距2a的平行線.把一枚半徑r

解析 設“硬幣不與任一平行線相碰”為事件A.

如圖1，在兩相鄰平行線間畫出與平行線間距為r的兩平行虛線，則當硬幣中心落在兩虛線間時，與平行線不相碰.

點評 本題中把硬幣不與平行線相碰轉化為硬幣中心到平行線的距離是關鍵，可方便地確定事件A的區域長度和所有可能結果的區域長度.將概率問題轉化為幾何問題來計算是幾何概型的精華所在.

二、與面積有關的幾何概型

解析 先求C點的坐標，再求D點與A點的坐標，進而求得矩形的面積與陰影部分圖形的面積，代入幾何概型的概率計算公式求解即可.

故選B.

點評 本題主要考查幾何概型、分段函數圖象的識圖與應用等基礎知識，意在考查考生的轉化與化歸能力、運算求解能力，同時考查數形結合思想.

解析 根據復數的模構造出基本事件空間和隨機事件對應的幾何圖形，轉化為面積的比值.

點評 本題主要考查復數的模、幾何概型以及直線與圓的位置關系等.通過將復數的模的關系式轉化為圓面考查抽象概括能力，利用面積求幾何概型的概率考查轉化與化歸思想、數形結合思想、運算求解能力及創新應用意識.

點評 本題考查約束條件表示的平面區域及幾何概型.把問題抽象概括為幾何概型問題求解，考查了轉化與化歸思想的應用.在比較概率大小時，考查了數形結合思想的應用.

例7 (2013·四川省高考題)節日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈.這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，且都在通電后的4秒內任一時刻等可能發生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮.那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是( ).

解析 結合線性規劃，利用幾何概型求解.

由幾何概型的概率計算公式得

點評 本題考查簡單的線性規劃和幾何概型的應用.將實際問題轉化為線性規劃和幾何概型問題求解，考查了轉化與化歸思想、創新應用意識以及運算求解能力.

三、與體積有關的幾何概型

例8 (2015·武漢市調考題)如圖6，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E,H分別是棱A1B1,D1C1上的點(點E與B1不重合)，且EH∥A1D1，過EH的平面與棱BB1,CC1相交，交點分別為F,G.設AB=2AA1=2a.在長方體ABCD-A1B1C1D1內隨機選取一點，記該點取自于幾何體A1ABFE-D1DCGH內的概率為p，當點E,F分別在棱A1B1,BB1上運動且滿足EF=a時，則p的最小值為( ).

點評 本題由2010年福建省高考題改編而成，考查立體幾何的有關知識、幾何概型、基本不等式的應用等.考查空間想象能力、運算求解能力及“正難則反”的思想方法.

點評 如果試驗的全部結果所構成的區域可用體積來度量，那么就要結合問題的背景，選擇好觀察角度，準確找出構成事件A的區域體積及試驗的全部結果構成的區域體積，再根據幾何概型的概率計算公式計算即可.

四、與角度有關的幾何概型

例10 (2015·南昌市調考題)在圓心角為90°的扇形中，以圓心O為起點作射線OC，則使得∠AOC和∠BOC都大于30°的概率為____.

點評 當涉及射線的運動，扇形中有關落點區域問題時，常以角的大小作為區域度量來計算概率，切不可用線段代替，這是兩種不同的度量手段.作射線OD,OE，使∠AOD=30°,∠AOE=60°是求解本題的關鍵.

例11(2015·襄陽市模擬題)在等腰Rt△ABC中，過直角頂點C在∠ACB的內部任意作一條射線CM交AB邊于點M，則AM小于AC的概率為____.

分析 在∠ACB內的射線CM是均勻分布的，所以射線CM在∠ACB內的任何位置都是等可能的.因為AM的大小與點M在AB上的位置有關，為了確保AM

解析 如圖9所示，在AB上截取AC′=AC，連接CC′，則∠ACC′=∠AC′C.在△CAC′中，∵∠A=45°,∴∠ACC′=67.5°.

點評 解答本題時，要特別注意“在∠ACB的內部任意作一條射線CM交AB邊于點M”這句話，由此確定“測度”是角度.如果把這句話改為“在線段AB上找一點M”，則問題的情境立刻發生改變，相應的“測度”應改為線段的長度.

G632

B

1008-0333(2017)10-0025-03