函數解析式的求法

安徽省廬江中學(231500) 王能華●

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函數解析式的求法

安徽省廬江中學(231500)
王能華●

函數解析式是用來表示兩個變量之間對應關系的數學表達式.它具有簡明、全面地概括變量間關系的特點，并且通過它能夠求出定義域內任意一個自變量所對應的函數值等優點.限于篇幅，本文僅討論非應用題型函數解析式的幾種求法.

一、待定系數法求解析式

分析 本例中已經明確告訴我們f(x)是一個一次函數，根據一次函數的定義，它一定是形如f(x)=kx+b(k≠0)的函數，所以只要能根據條件求系數k,b即可(解略)

從本例可以看出待定系數法主要應用于條件中已確定需要求解的函數的類型，如一次函數、二次函數、反比例函數等.這時可根據條件設出函數的解析式，再根據條件將相關系數求出即可.

二、根據所給條件構造方程組求解

分析 條件中給了一個等式含有f(x)、g(x)兩個函數解析式，設想如果能夠再構造一個含有f(x)、g(x)的等式即可解出f(x)、g(x)．(解略)

三、利用換元法求解析式

分析 條件中已經給了f(x2-3)的表達式，而要求f(x)的解析式，只需要把x2-3作為一個整體替換為一個字母t，而等式右邊也化成t的表達式即可.(解略)

四、配湊法

配湊法與換元法相比較主要運用于當采用換元法令f[g(x)]中t=g(x)不方便求出x，但等式右邊容易配成g(x)的表達式時采用配湊法較簡單；求出函數解析式要注意根據原始條件求出函數定義域.

五、賦值法

例6 已知定義在實數集R上的函數f(x)對于任意實數x,y滿足：f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，且f(0)=1，求f(x)的解析式．

分析 由于條件中已經出現了f(x)，而且x,y可以取一切實數，完全可以根據需要給它們任意賦值，如令y=x即可.(解略)

從上面的例子可以看出，賦值法通常用于抽象函數中通過對某個字母進行賦值減少變量后能求出需要的函數解析式時，如例6的條件中已有f(x)，但還多了字母y，這時只要對字母x,y進行適當的賦值就可以求出函數解析式.

六、遞推法

例7 設f(x)是定義在N+上的函數，滿足f(1)=1，對于任意a,b∈N+，f(a)+f(b)=f(a+b)-ab恒成立，求f(x)解析式．

分析 在本例的條件中給出了a,b∈N+時，f(a)+f(b)=f(a+b)-ab總是成立，如果令a,b中一個為x另一個為1，這樣就多出了一個f(x+1)，只要我們反復運用這個等式最終肯定可以得到f(1)的等式進行求解即可.(解略)

分析 在本例的條件中已經給了f(x)與f(x-1)之間的關系式，可以逐次用x-1替代x，并且每相鄰f(x)與f(x-1)的比值是可以表示的，這樣一直遞推下去，總可以得到f(2)與f(1)的關系式，最終利用條件中f(1)的值達到求f(x)解析式的目的.(解略)

從上面兩例可以看出遞推法用在自變量在自然數集范圍內取值時，通過對自變量進行逐次減小直到條件中給出的初始值(如上面兩例中的f(1))，再把所得等式兩邊進行相加或相乘.所以遞推法主要運用于定義在自然數集或其子集上的函數解析式的求解.

七、奇、偶函數解析式求法

例9 已知f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，f(x)=x2+1，求f(x)解析式．

分析 條件中給出了f(x)是奇函數并且給出了它定義域一部分的解析式，而要求定義域中其他部分的解析式，可以利用奇函數的定義來求解.(解略)

例10 已知f(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數，當x>0時，f(x)=x2+2x，求f(x)解析式．

分析 利用類似于奇函數時的過程來求定義域中剩余部分的解析式.(解略)

對于已知函數的奇偶性和其定義域內一部分解析式而要求定義域內另一部分解析式時均可按照上述兩例方法求解，應特別注意若奇函數的定義域中含有“0”時，f(0)=0的情況不要丟了.

八、圖象關于點對稱及關于垂直于x軸的直線對稱時函數解析式求法

例11 已知f(x)定義域為R，f(x)的圖象關于點(3,10)對稱，且當x≥3時，f(x)=x2+1，求f(x)解析式．

分析 已知f(x)的一部分解析式求另一部分解析式就是求這部分圖象上任意一點(x,y)的橫坐標x與縱坐標y之間的關系式，而整個圖象關于點(3,10)對稱，所以(x,y)關于(3,10)的對稱點(x1,y1)一定在所給解析式對應圖象上.根據中心對稱的定義可知點(x,y)與(x1,y1)的中點為(3,10)，為此只要用x,y分別表示x1,y1代入原解析式變形即可求得.(解略)

例12 已知f(x)的定義域為R，且f(x)的圖象關于直線x=1對稱，當x≥1時，f(x)=x2-4x，求f(x)解析式．

分析 根據條件中關于直線x=1對稱，可知f(1+x)=f(1-x)也即f(x)=f(2-x)對x∈R時都成立，這時只要將需要求解析式的那部分自變量的范圍通過關系式2-x轉化到已給的范圍內即可求解.(解略)

奇、偶函數解析式求法是圖象關于點和直線對稱的特殊情況，即當對稱點和對稱軸分別是(0,0)和x=0的情況.類似過程也可用于兩個不同的函數圖象關于點或直線對稱時解析式的求解(也可用于兩個不同的曲線關于點或直線對稱時曲線方程的求解).

九、周期函數解析式求法

分析 因為f(x)是周期為4的函數，而且也已經正好給了一個周期內的函數解析式，而要求的是當x∈[2n,2n+4)(n∈Z)時的解析式，在本例中還需注意自然數n可能是奇數也可能是偶數，所以還需要對其進行分類討論，將要求范圍內的部分通過減去周期的整數倍轉化到已給范圍內就可以運用條件中解析式進行解題.(解略)

利用函數的周期性求解析式時，把自變量不在所給范圍內的那部分通過加或減周期的整數倍轉化到條件所給的范圍內再利用周期函數定義進行求解.

不管用上述哪一種方法求函數解析式，都有一個共同的問題大家需要注意，也就是函數的定義域要以原始條件為依據，不能擴大也不能縮小.在學習這部分內容時只要能夠理解每一種方法的適用情況，遇到相關問題時基本就可以快速選擇出正確方法了！

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