纖維螺旋纏繞管的纏繞角優化

耿 沛， 邢靜忠， 陳曉霞

(1. 北京航空航天大學 航空科學與工程學院， 北京 100191； 2. 天津工業大學 機械工程學院， 天津 300387； 3. 天津市現代機電裝備技術重點實驗室, 天津 300387)

纖維螺旋纏繞管的纏繞角優化

耿 沛1，2， 邢靜忠2,3， 陳曉霞2

(1. 北京航空航天大學 航空科學與工程學院， 北京 100191； 2. 天津工業大學 機械工程學院， 天津 300387； 3. 天津市現代機電裝備技術重點實驗室, 天津 300387)

為提高材料強度的利用效率,實現纖維纏繞管強度比沿壁厚的均勻分布，在內壓和軸向力作用下，基于Tsai-Wu準則，以沿壁厚方向的最小強度比最大化為目標，建立變纏繞角纖維纏繞管的最優化模型。提出將復合形法和梯度法相結合的改進優化算法，通過優化逐層變化的纏繞角使最小強度比最大化，實現強度比沿壁厚更均勻分布。以玻璃纖維管為例，在純環向應力、環向應力與軸向應力之比為2∶1和1∶1的3種工況下，研究不同壁厚條件下最優纏繞角分布及其強度比提升效果和均勻程度。結果表明：優化后結構的材料利用率明顯提升，不同工況、壁厚對最優纏繞角的分布規律影響很大；最優纏繞角可以實現沿壁厚等強度。

纖維纏繞管； 纏繞角； 失效準則； 纖維向應力

高性能的纖維纏繞壓力容器和管道在諸多領域得到廣泛應用[1-2]。文獻[3-6]通過施加內壓和軸向力，研究變纏繞角纖維纏繞結構在不同的應力比下抵抗破壞的能力。結果表明，與單一纏繞角結構相比，變纏繞角結構表現出更優異的抵抗破壞能力。理論分析和實驗研究[7-9]表明，單一纏繞角的纖維纏繞薄壁管道在施加內壓或經受環向應力與軸向應力之比為2∶1的荷載下，最優纏繞角在55°左右。文獻[10]比較研究了薄壁筒理論和厚壁筒理論對應的強度隨壁厚和纏繞角的分布規律，發現55°纏繞角容器的內外側強度比差別很大。變化纏繞角有可能提高材料利用率，提高結構的承載能力。三維分析發現鋪層順序對結構承壓性能有很大影響[11-13]。文獻[14]利用正交各向異性本構關系和軸對稱理論，在內外壓及軸向力作用下，給出變纏繞角纏繞厚壁筒任意纏繞層的應力和變形。

基于三維正交彈性理論的結構分析提出過許多纏繞結構的優化方法，如何通過變化纏繞角以提高纖維纏繞結構的材料利用率還有待研究。1988年，Tsai首次對變纏繞角纖維纏繞厚壁柱形容器纏繞角的優化進行研究[1]。但是直到2006年，Tabakov才利用Tsai-Wu失效準則和遺傳算法，通過變化纏繞角對纖維纏繞厚壁柱形容器進行纏繞角優化分析[15]。這些研究只是提高了最小強度比，并沒有找到實現沿壁厚等強度的最優纏繞角分布。

本文按照文獻[14]變纏繞角纖維纏繞厚壁管道在內壓和軸向力作用下的應力變形和纖維向應力，基于Tsai-Wu失效準則，建立多種應力狀態下變纏繞角纖維纏繞管的纏繞角最優化模型。比較分析傳統復合形法和梯度法的計算效率和結果差異，提出將2種傳統優化算法相結合的改進優化算法。以壁厚方向的最小強度比最大化和實現強度比更均勻分布為目標，尋找最優纏繞角變化規律。以玻璃纖維管道模型為例，在純環向應力、環向應力與軸向應力之比為2∶1和1∶1這3種工況下，研究不同壁厚條件下最優纏繞角分布及其強度比提升效果和均勻程度。

1 纖維層應力

采用對稱均衡纏繞工藝纏繞形成外半徑為rn，內半徑為r0的厚壁管道。每2個均衡對稱層看成1個正交各向異性層，n個外徑為ri(i=1, 2, …,n)的纏繞層，構成變纏繞角纖維纏繞管。

多層具有正交各向異性材料構成的厚壁管道，在內壓qa和外壓qb以及沿z軸方向軸向力Tz的作用下產生半徑r方向和軸線z方向的變形(見圖1)。

圖1 軸對稱纖維纏繞厚壁柱形容器力學模型Fig.1 Axisymmetric hybrid filament wound cylinder

1.1 偏軸應力應變關系

由文獻[14]可得偏軸剛度系數與正軸剛度系數之間的關系，得到偏軸坐標系下纖維層的應力-應變關系：

(1)

1.2 平衡方程和應力分量

根據文獻[16]可得纖維層的位移場：

(2)

其中

(3)

其中

當si=1時，rq方向各向同性，式(2)化為

(4)

其中

(5)

式(4)變為

(6)

其中

1.3 邊界條件

由內外壁邊界條件、層間位移連續應力連續條件及z向平衡方程[16]，可以確定積分常數和軸向應變的方程組[14]：

[K]{δ}={qi}

(7)

[K]為剛度矩陣[14]，求解式(7)，可得每層的位移、應變和應力。

1.4 三維纖維向應力公式

由文獻[14]可得纖維向應力公式，見式(8)。當si=1時，纖維向應力公式變為式(9)。

(8)

(9)

2 優化模型和優化方法

獲得纖維向應力后，可基于失效準則判定危險點的安全度。這里選用三維Tsai-Wu準則計算危險點的強度比。

2.1 強度比計算

基于三維Tsai-Wu 準則[10]定義強度比，如式(10)所示。

(10)

式中：

ξ=Fr(σ2+σ3)+Fzσ1。

2.2 工況和纏繞角初值計算

取玻璃纖維/樹脂基作為纏繞材料，材料參數[17]為E1=43.4 GPa,E2=15.2 GPa,G12=6.14 GPa,n21=0.29,n32=0.38,Xt=1 062 MPa,Xc=610 MPa,Yt=31 MPa,Yc=118 MPa,S=72 MPa。在管內壁施加內壓qa=0.111 111 MPa，管道端部施加內壓引起軸向力πr02qa。它們在管壁分別形成環向應力與軸向應力比2∶1，1∶1和純環向應力的3種工況。

取纏繞層數n=1、3、5、10、15、20，在內外半徑比r0/rn為0.95、0.90、0.85、0.80、0.75、0.70、0.65的條件下，優化計算纖維纏繞管道的纏繞角，以及各組最優纏繞角對應的強度比分布規律。對于單一纏繞角的薄壁管，最優纏繞角為55°[5-9]，取f=55°作為初始纏繞角。

2.3 復合形-梯度法的提出

分別使用復合形法和梯度法對纏繞角進行優化計算。研究發現：對于不同內外半徑比和不同纏繞層數的纏繞管道，復合形法得到的最優纏繞角波動非常大，分布不平滑，對應的強度比分布上下波動，不夠均勻；梯度法給出的纏繞角變化比較平滑，但最小強度比并沒有達到復合形法的結果，未能實現最小強度最大化。

為此，本文提出一個新的優化算法：復合形-梯度法。其優化過程如下：首先使用復合形法得到各纏繞層的纏繞角，然后將其進行函數擬合，得到纏繞角的分布函數，再使用梯度法繼續對其優化。

優化計算結果顯示：對于不同壁厚和不同纏繞層數的模型，當層數n達到20層后纏繞角趨于穩定，其強度比變化非常平坦。

3 優化結果分析

對不同內外半徑比的玻璃纖維管，使用復合形-梯度法對前述3種工況分別進行計算。圖2～4分別示出n為300時，內外半徑比r0/rn為0.95、0.80和0.65這3種情況下，初始纏繞角和最優纏繞角及其相應的強度比沿著壁厚的分布。

圖2 內外半徑比為0.95時玻璃纖維管的纏繞角分布與強度比分布Fig.2 Original and aptimized winding angles and strength radtio distributions of Eglass/epoxy pipe at r0/rn=0.95

圖3 內外半徑比為0.80時玻璃纖維管的纏繞角分布與強度比分布Fig.3 Original and aptimized winding angles and strength radtio distributions of Eglass/epoxy pipe at r0/rn=0.80

圖4 不同內外半徑比下玻璃纖維管的纏繞角及強度比沿壁厚的分布Fig.4 Original and optimized winding angles and strength ratio distributions of E-glass/epoxy pipe at ro/rn=0.65

從圖2看出，對于較薄(r0/rn=0.95)的玻璃纖維管，最優纏繞角從內向外逐漸增大，優化后的強度比沿壁厚分布均勻。從圖3看出，對于中等厚度(r0/rn=0.80)的玻璃纖維管，優化纏繞角呈現內低外高的拋物線分布，其強度比沿壁厚分布均勻；從圖4看出，對于很厚(r0/rn=0.65)的玻璃纖維管，優化纏繞角呈現內高外低，中間最低的拋物線分布，其強度比沿壁厚分布均勻。玻璃纖維纏繞角的分布規律表明，當層數n很大時，纏繞角的變化趨于穩定，強度比呈近似直線分布。3種工況下各層的強度比達到最大值并且沿壁厚均勻分布。

表1示出強度比差值率。可看出：初始方案的強度比最大值和最小值的差值率分別為4.37%、8.05%和26.17%；而優化后方案n=20的差值率為0.33%、1.66%和2.49%；n=300的差值率為0.086%、0.160%和0.850%。這表明對于厚壁玻璃纖維管易實現最小強度比最大化及強度比沿壁厚均勻分布。

表1 玻璃纖維管初始纏繞角和最優纏繞角的強度比差值率Tab.1 Comparison of strength ratio of original and optimized winding angles of E-glass/epoxy pipes

4 結 論

1) 不同的優化方法對計算效率和結果的平滑性有很大影響，本文提出的復合形-梯度法明顯提升了計算效率，且使最優纏繞角分布更平滑。

2) 不同壁厚的玻璃纖維管的最優纏繞角相差很大；對于很厚的玻璃纖維管，最優纏繞角可提升強度比，并實現強度比沿壁厚的均勻分布。FZXB

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Winding angle optimization of filament spiral wound pipe

GENG Pei1，2, XING Jingzhong2,3, CHEN Xiaoxia2

(1.SchoolofAeronauticScience&Engineering,BeihangUniversity,Beijing100191,China; 2.SchoolofMechanicalandElectronicEngineering,TianjinPolytechnicUniversity,Tianjin300387,China; 3.TianjinKeyLaboratoryofAdvancedMechatronicsEquipmentTechnology,Tianjin300387,China)

More uniform strength for all layers can be achieved by variation of winding angle to improve the utilization efficiency of filament wound (FW) pipe. An optimization model of FW pipe under uniform internal pressure and axial force is built based on Tsai-Wu failure criterion to maximize the lowest strength ratio along the thickness direction. An improved optimization algorithm derived from two conventional methods (complex method and steepest descent method) is proposed by optimizing the winding angle of the layer by layer, and the minimum strength ratio is maximized. In three cases of pure hoop stress and the ratios of hoop stress to axial stress of 2∶1 and 1∶1, an optimization model of pipes made of E-glass/epoxy is illustrated to evaluate the improvement of the minimum strength ratio and the uniformity of the optimized winding angle distributionunder different ratio of thickness to radius, respectively. The research shows that the material utilization can be increased by proper winding angle variation. A quite uniform distribution of strength ratio along thickness can be realized easily by the optimization of the winding angle.

filament wound pipe; winding angle; failure criterion; fiber stresses

10.13475/j.fzxb.20160105306

2016-01-26

2016-06-15

國家自然科學基金資助項目(51575390); 天津市應用基礎與前沿技術研究計劃一般項目(14JCYBJC19200)

耿沛(1989—)，男，碩士生。研究方向為復合材料結構力學。邢靜忠，通信作者，E-mail：hsingjzh@tjpu.edu.cn。

TB 332； O 343

A