推斷待測阻值范圍的新方法

郎 軍 董洪瓊

(重慶市第十一中學校 重慶 400061)

推斷待測阻值范圍的新方法

郎 軍 董洪瓊

(重慶市第十一中學校 重慶 400061)

提出了僅由兩組試觸數據推斷侍測阻值范圍的創新方法，應用該方法分析了困惑中學師生的一個典型實例，揭示了傳統試觸法的適用條件．

試觸法 內接法 外接法 示數 阻值范圍 創新方法

1 提出問題

試觸法是在不改變控制電路中滑動變阻器阻值的條件下，只將測量電路由電流表內接法換成外接法，測得兩次電表的示數(U內，I內)、(U外，I外),根據兩次示數變化情況做出判斷．具體方法是：

2 理論推導

不論控制電路是限流式還是分壓式，根據等效電壓源定理，可以將兩次的電路簡化為圖1和圖2，圖中E′和r′分別為等效電源的電動勢和內阻．

圖1 內接法簡化電路

圖2 外接法簡化電路

對圖1，測量值

(1)

對圖2，測量值

(2)

容易證明，從圖1變到圖2，外電阻的阻值增大(參見參考文獻1)，從而總電流減小，外電壓增大．因此有

得

(3)

U內

得

(4)

由(1)、(4)兩式可得

(5)

由(2)、(3)兩式可得

(6)

于是就得到了Rx更為精確的取值范圍

(7)

由式(1)、(2)還可以得到RV和RA的制約關系

(8)

由閉合電路歐姆定律可進一步解出等效電源的內阻r′和電動勢E′

(9)

E′=U外+I外(RA+r′)

(10)

由式(8)可知

當RA增大時，RV單調增大．

由式(3)、(4)、(8)可得RA和RV應滿足的條件為

(11)

(12)

在U內,U外,I內,I外為已知條件的情況下，式(7)給出了Rx更精確的取值范圍，式(11)、(12)給出了RA和RV的取值范圍．值得注意的是：RA,RV,E′,r′是互相制約著的，不能各自隨意取值．由式(8)、(9)、(10)可知，RV,E′,r′都是RA的函數，不難證明，當等效內阻r′趨近于零時，RA趨近于下限值，RV趨近于下限值，Rx趨近于上限值；而當r′趨近于∞時，RA趨近于上限值，RV趨近于上限值，Rx趨近于下限值．但是RA不一定能取到式(11)中的所有值，因為由RA的值結合式(9)、(10)解出的r′和E′要符合實際．同理，RV和Rx也不一定能取到式(12)及式(7)范圍內的所有值．

3 實例分析

(例：U內=2.5 V,I內=4.6 mA,U外=2.3 V,I外=5.0 mA)

將各值代入式(1)、(2)、(7)、(11)、(12)求得

R內=543.49 Ω

R外=460 Ω

Rx∈(496.55 Ω，503.48 Ω)

RA∈(40 Ω，46.9 325 Ω)

RV∈5 326.8 Ω， 6 250.0 Ω)

表1是電流表的電阻取不同值得到的結果．

表1 不同電阻取得的結果

從表中可以清楚地看出，兩種接法測量誤差的大小與電流表電阻RA的阻值有關，在符合實際的情況中，有時內接法誤差較小，有時外接法誤差較小，在這種情況下，試觸法已經失效，再爭論分母該取哪一次的值也就沒有意義了．

在分析這個例子的時候，有人同時假定了RV=5 000 Ω和r′=100 Ω兩個條件，這是不合理的，根據本文的分析，本例中的RV∈(5 326.8 Ω，6 250.0 Ω)，不可能取RV=5 000 Ω；同時，當RV取了某個合理的值后，r′的值也就確定了，不能隨意賦值．

同時可以看出，由于Rx∈(496.55 Ω，503.48 Ω)，不論取R內=543 Ω還是取R外=460 Ω為測量值都有較大誤差．本文的方法更能準確地確定Rx的測量值(如可取500 Ω)．

(例：U內=2.5 V,I內=3.0 mA,U外=1.3 V,I外=6.0 mA)

由這4個測量數據可得：R內=833 Ω，R外=217 Ω，Rx∈(293 Ω，633 Ω)，RA∈(200 Ω，540.5 Ω);RV∈(329 Ω，833 Ω)

表2是電流表的電阻取不同值得到的結果．

表2 不同電阻取得的結果

( 例：U內=2.5 V,I內=4.6 mA,U外=1.5 V,I外=5.0 mA)

計算得R內=543 Ω，R外=300 Ω，Rx∈(315 Ω，343 Ω)，顯然這種情況下試觸法適用．

(例：U內=2.5 V,I內=3.0 mA,U外=2.4 V,I外=5.0 mA )

計算得R內=833 Ω，R外=480 Ω，Rx∈(779 Ω，813 Ω)．這種情況下試觸法也適用．

4 幾點結論

(4)不論哪種情況，如果知道電路的等效內阻遠小于等效外阻(如控制電路采用分壓式電路)，可取本文方法中Rx的上限值作為測量值，即

值得一提的是，本文方法的可靠性還可以這樣檢驗：先設定E′，r′，RV，RA及Rx的值，用電腦算出U內，I內，U外及I外的值，然后由這4個值用本文的方法算出Rx，RA，RV等的可能取值范圍，再與真實值比較．限于篇幅不再贅述．

1 何崇榮.用試觸法判斷電流表內接和外接的依據.中學物理，2011(07)

2 郭保忠.淺談試觸法之偽.中學物理，2012(05)

3 張天為,付佳,李豐果.試觸法電表偏轉變化規律的實驗測試與分析.物理教學探討,2014(07)

4 譚一偉.電流表內接還是外接——“試觸法”釋疑.物理通報,2015(08)：38～39

2016-11-21)