角接觸球軸承剛度研究

張振強，王東峰，周海波

（1.洛陽軸研科技股份有限公司，河南 洛陽 471039；2.河南省高性能軸承技術重點實驗室，河南 洛陽 471039；3.滾動軸承產業技術創新戰略聯盟，河南 洛陽 471039）

角接觸球軸承剛度研究

張振強1,2,3，王東峰1,2,3，周海波1,2,3

（1.洛陽軸研科技股份有限公司，河南 洛陽 471039；2.河南省高性能軸承技術重點實驗室，河南 洛陽 471039；3.滾動軸承產業技術創新戰略聯盟，河南 洛陽 471039）

針對角接觸球軸承的接觸角、軸向力以及軸承剛度之間的關系問題，通過對軸承建立靜力平衡方程，對具有不同接觸角(其它參數相同)的軸承進行剛度研究。研究表明：在相同軸向力作用下，軸承自由接觸角越大，其軸向剛度越大，但軸向位移、徑向剛度以及剛度比值(徑向剛度/軸向剛度)都越來越小；在相同接觸角情況下，軸向力越大，其軸向位移、軸向剛度和徑向剛度都越來越大，但其剛度比值會越來越小。

角接觸球軸承；接觸角；軸向力；剛度

1 前言

角接觸球軸承的剛度計算是一個典型的非線性問題，其剛度值隨軸承實際受力情況的不同而呈非線性變化的趨勢；即使在相同受力情況下，軸承內部參數的不同也將引起剛度結果產生差異。雖然文獻[1,2]等都對軸承剛度進行過研究，但研究對象均為某特定參數軸承，沒有進行過不同軸承之間的對比，基于此，本文通過對軸承建立靜力平衡方程，對具有不同接觸角(其它參數相同)的軸承進行剛度研究，以期能夠揭示軸承剛度的基本規律。

2 符號說明

A—— 溝道溝曲率中心之間的距離，

S—— 內、外滾道溝曲率中心軌跡之間的距離，

R—— 滾道溝曲率中心軌跡半徑，

Q—— 球-滾道法向載荷，

δ—— 位移或接觸變形，

δa—— 相對軸向位移，

δr—— 相對徑向位移，

ri—— 內溝曲率半徑，

ro—— 外溝曲率半徑，

dm—— 軸承節圓直徑，

Z—— 滾動體數量，

θ—— 相對角位移，

Dw—— 滾動體直徑，

αo—— 自由接觸角，

α—— 安裝接觸角，

φ—— 方位角，

Fa—— 軸向力，

Fr—— 徑向力，

M—— 力矩。

3 球軸承剛度計算

如圖 1 所示，單個球在外部載荷Q作用下，內、外滾道溝曲率中心之間的距離s將隨著滾道之間的法向趨近量而變化，具體如式（1）、（2）所示[3]。

圖1 球-滾道接觸

圖2 載荷作用后溝曲率中心軌跡

對于球軸承而言，當其受到外部的軸向力Fa、徑向力Fr以及傾覆力矩M后，軸承內、外滾道將產生相對軸向位移δa、相對徑向位移δr以及相對角位移θ，如圖 2 所示，如果認為軸承外圈在空間上是固定的，那么在任意滾動體位置處，內外圈溝曲率中心之前的距離s表達式如下[3]：

將式（3）代入式（2）可得：

圖3 內溝曲率中心軌跡半徑示意圖

式中，Ri為內滾道溝曲率中心軌跡半徑，具體如圖（3）所示，由圖可得其計算表達式如式（5）所示：

結合滾動體-滾道接觸的載荷與位移關系（6），即可得到單個滾動體作用于滾道上法向載荷的計算方程。

在具有多個滾動體的球軸承內，可列靜力平衡方程如下[3,4]：

其中α為工作接觸角，可由式（10）確定。

聯立（7）、（8）、（9）式求解并對位移進行求導，即可求得內、外滾道間的相對位移和各方向的剛度，可通過Newton-Raphson法進行求解，剛度矩陣解析表達式如式(11)所示。

4 結果分析

以7005角接觸球軸承為例進行計算分析，軸承參數如表 1 所示，下文從四個方面對具有不同接觸角的軸承(其余參數均相同)進行了對比分析，分別為軸向力與軸向位移、軸向力與軸向剛度、軸向力與徑向剛度、剛度比(徑向剛度/軸向剛度）。

4.1 軸向力—軸向位移

圖4 為角接觸球軸承軸向力與軸向位移關系圖，從圖中可以看出：

（1）在相同軸向力作用下，軸承自由接觸角越大，其軸向位移越小；以軸向力為160N為例，15°、18°、25°、30°、35°、40°、45°接觸角軸承的軸向位移分別為：10.3μm、8.1μm、5.1μm、3.9μm、3.2μm、2.6μm、2.2μm；

（2）在相同接觸角情況下，軸向力越大，其軸向位移越大；在軸向力由0升至640N過程中，15°、18°、25°、30°、35°、40°、45°接觸角軸承的軸向位移分別由0增至22.1μm、18.2μm、12μm、9.5μm、7.8μm、6.5μm、5.6μm。

4.2 軸向力—軸向剛度

圖5 為角接觸球軸承軸向力與軸向剛度關系圖，從圖中可以看出：

表1 7005軸承參數

圖4 軸向力 — 軸向位移

圖5 軸向力 — 軸向剛度

（1）在相同軸向力作用下，軸承自由接觸角越大，其軸向剛度越大；以軸向力為160N為例，15°、18°、25°、30°、35°、40°、45°接觸角軸承的軸向剛度分別為：26.8N/ μm、32.6 N/μm、49.1 N/μm、62.8 N/μm、77.4 N/μm、92.4 N/μm、107 N/μm；

（2）在相同接觸角情況下，軸向力越大，其軸向剛度越大；以15°角接觸球軸承為例，當軸向力為10N、20N、40N、80N、160N、320N、640N時，其軸向剛度分別為：8.3 N/μm、10.9 N/ μm、14.4 N/μm、19.4 N/μm、26.8 N/μm、38 N/μm、55.5 N/μm。

4.3 軸向力—徑向剛度

圖6 為角接觸球軸承軸向力與徑向剛度關系圖，從圖中可以看出：

（1）在相同軸向力作用下，軸承自由接觸角越大，其徑向剛度越小；如在160N軸向力作用下，15°、18°、25°、30°、35°、40°、45°接觸角軸承的徑向剛度分別為：130 N/ μm、121 N/μm、101 N/μm、87.6 N/μm、75.1 N/μm、63.4 N/μm、52.4 N/μm；

（2）在相同接觸角情況下，軸向力越大，其徑向剛度越大；如在15°接觸角情況下，當軸向力為10N、20N、40N、80N、160N、320N、640N時，其軸向剛度分別為：53.9 N/μm、67.7 N/μm、84.6 N/μm、105 N/μm、130 N/μm、158 N/μm、192 N/μm。

圖6 軸向力 — 徑向剛度

4.4 剛度比值

圖7 為角接觸球軸承徑向剛度與軸向剛度比值關系圖，從圖中可以看出：

圖7 剛度比(軸向剛度/徑向剛度）

（1）在相同軸向力作用下，軸承自由接觸角越大，其剛度比值越小；如在160N軸向力作用下，15°、18°、25°、30°、35°、40°、45°接觸角軸承的剛度比值分別為：4.8、3.7、2.1、1.4、1.0、0.7、0.5；

（2）在相同接觸角情況下，軸向力越大，其比值越小；如在15°接觸角情況下，當軸向力為10N、20N、40N、80N、160N、320N、640N時，其剛度比值分別為：6.5、6.2、5.9、5.4、 4.8、4.2、3.5；

（3）接觸角越小，剛度比值變化范圍越大，在軸向力由10N升至640N過程中，15°接觸角軸承的剛度比值由6.5降至3.5，18°接觸角軸承的剛度比值由4.5降至2.9，25°接觸角軸承的剛度比值由2.3降至1.8，30°、35°、40°和45°接觸角軸承的剛度比值相對穩定，分別為1.4、1.0、0.7和0.5，變化較小。

5 結束語

角接觸球軸承的剛度與其所受軸向力呈非線性的對應關系，并且與軸承內部參數密切相關，故在討論軸承的剛度問題時，必須明確指出其所受軸向力的大小，而對于其內部參數，則需要通過軸承廠商進行獲取。

研究表明，對于僅接觸角不同(其它參數完全相同)的角接觸球軸承而言，在相同軸向力作用下，軸承自由接觸角越大，其軸向剛度越大，但軸向位移、徑向剛度以及剛度比值(徑向剛度/軸向剛度)都越來越小；在相同接觸角情況下，軸向力越大，其軸向位移、軸向剛度和徑向剛度都越來越大，但其剛度比值(徑向剛度/軸向剛度)會越來越小。

本文的研究對軸承預緊力的選擇也有重要的指導意義，用戶可根據所需的軸承剛度，對軸承的預緊力進行調節。目前，各大軸承廠商會在其發行的軸承樣本中指出各自軸承所需的預緊力及對應剛度，這為常規軸承的恰當使用提供了方便，但對于非常規軸承的研究和使用，本文提供了有效的研究方法。

[1] 陳時錦,張春玉. 軸承剛度矩陣的解析推導與計算機求解[J]. 軸承,2006(2)：1-4.

[2] 李忠杰,王樹宗. 角接觸球軸承剛度矩陣的理論推導與計算[J].軸承,2007(9)：1-3.

[3] Harris T A, Kotzala M N. 滾動軸承分析［M］．羅繼偉，馬偉，楊咸啟，等譯．北京：機械工業出版社，2010.

[4] 萬長森．滾動軸承的分析方法［M］．北京：機械工業出版社，1987.

（編輯：王立新）

Study on stiffness of angular contact ball bearing

Aiming at the relationship among contact angle, axial force and stiffness of angular contact ball bearing, the paper studies the stiffness of the bearings with different contact angles (the other parameters are same) by establishing the static equilibrium equation. Research shows that, under the same axial force, the bigger the free contact angle is, the bigger the axial rigidity is, but the axial displacement, radial stiffness and stiffness ratio (radial stiffness / axial stiffness) are getting smaller. Under the same contact angle, when the axial force is bigger, the axial displacement, the axial stiffness and the radial rigidity will be greater, but the stiffness ratio will be smaller..

angular contact ball bearing; contact angle; axial force; stiffness

TH133.33+1

A

1672-4852（2017）01-0008-04

2017-03-03.

張振強（1987- ），男，工程師.

河南省重大科技專項《機器人專用軸承關鍵技術研究及產業化》(161100210800 ).

Zhang Zhenqiang1,2,3, Wang Dongfeng1,2,3, Zhou Haibo1,2,3

(1.Luoyang Bearing Science & Technology Co.,Ltd.,Luoyang 471039, China; 2.Henan Key Laboratory of High Performance Bearing Technology,Luoyang 471039,China; 3. Strategic Alliance for Technology Innovation in Rolling Bearing Industry,Luoyang 471039,China )