哥德巴赫和孿生素數猜想

摘要：根據自然數因子循環分布規律推導出奇質數個數計算公式，然后根據這個公式計算奇數正逆依序組合中奇質數組合任意偶數個數，以此證明哥德巴赫猜想。

關鍵詞：奇數；奇質數；因子循環分布；奇數正逆組合；哥德巴赫猜想

背景：德國教師哥德巴赫于1742年6月7日提出。

1 自然數組成

自然數：大于0的整數如1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11……n，它是由奇數（單數）和偶數（雙數）組成。奇數和偶數各占自然數集合的二分之一。

偶數：能被2整除的數，如2、4、6、8……也叫雙數。

奇數：不能被2整除的數，如1、3、5、7、9、11……也叫單數。

質數：在大于1的整數中，只能被1和自身整除的數，如2、3、5、7、11、13……也叫素數。

奇質數：只能被1和自身整除，不能被其它數整除的奇數叫奇質數，如3、5、7、11、13、17、19、23……奇質數和2構成質數集合。2是偶數中唯一的素數。5是特殊的奇質數，除5外，尾數含5的奇數都是合數。

合數：在大于1的整數中，除了能被1和自身整除外，還能被其它正整數整除的數。如4、6、8、9、10、12、14、15、21……

1是奇數中的特例，是所有整數組成的基礎。

2 奇數中合數因子的分布

在連續自然數中，每兩個連續自然數中就有一個可以被2整除，另一個則不能被2整除，一偶一奇無限循環下去，構成整個自然數集合。設自然數為N個，偶數個數和奇數個數各占1/2×N個。

連續的奇數也遵從這個規律。如在連續奇數1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27、29、31……中，每連續3個奇數就有一個能被3整除，即能被3整除的自然數占整個自然數奇數集合的1/3；

每連續5個奇數就有一個能被5整除，即能被5整除的自然數占整個自然數奇數集合的1/5；

每連續7個奇數就有一個能被7整除，即能被7整除的自然數占整個自然數奇數集合的1/7；

每連續9個奇數就有一個能被9整除，即能被9整除的自然數占整個自然數奇數集合的1/9，因為9是合數，是能被3整除的奇數，所以，凡能被9整除的奇數，也能被3整除。

每連續11個奇數就有一個能被11整除，即能被11整除的自然數占整個自然數奇數集合的1/11；

……

每連續n個奇數就有一個能被n整除，即能被n整除的自然數占整個自然數奇數集合的1/n（n為任意奇數因子）。

3 奇數中奇質數與合數的分離和排除

數的分離與排除：把不同類別的數分開，排除不需要的數，或計算各自所占的比例。如把奇數集合中的奇質數和合數分開，把合數排除出去，只保留奇質數。

根據合數因子的分布規律，可以建立自然數的分離與排除計算公式，把任意一段連續或所有連續奇數集合中的所有奇質數個數與合數個數分別計算出來。

設奇數個數為M個，如果只有一個奇質數因子a（a≥3）時，能被a整除的奇數個數占1/a，剩下的是不能被a整除的數個數為M×（1-1/a）+（k-1）=M×（a-1）/a+（k-1）；如果只有兩個奇質數因子a和b（a≠b≥3，a、b互質），能被a和b整除的奇數個數占1/a+1/b-1/ab，剩下的是不能被a和b整除的數個數為M×（1-1/a-1/b+1/ab）+（k-1）=M×（ab-a-b+1）/ab+（k-1）=M×（a-1）（b-1）/ab+（k-1）=M×（a-1）/a×（b-1）/b+（k-1）；如果只有三個奇質數因子a、b和c（a≠b≠c≥3， a、b、c互質），能被a、b和c整除的奇數個數占1/a+1/b+1/c-1/ab-1/ac-1/bc+1/abc， 剩下的是不能被a、b和c整除的數個數為M×【1-（1/a+1/b+1/c-1/ab-1/ac-1/bc+1/abc）】+（k-1）=M×（1-1/a-1/b-1/c+1/ab+1/ac+1/bc-1/abc）+（k-1）=M×（abc-bc-ac-ab+a+b+c-1）/abc+（k-1）=M×（a-1）（b-1）（c-1）/abc+（k-1）=M×（a-1）/a×（b-1）/b×（c-1）/c+（k-1）；如果只有四個奇質數因子a、b、c和d（a≠b≠c≠d≥3， a、b、c、d互質），能被a、b、c和d整除的奇數個數占1/a+1/b+1/c+1/d-1/ab-1/ac―1/ad―1/bc-1/bd-1/cd+1/abc+1/abd+1/acd+1/bcd-1/abcd， 剩下的是不能被a、b、c和d整除的數個數為M×【1-（1/a+1/b+1/c+1/d-1/ab-1/ac―1/ad―1/bc-1/bd-1/cd+1/abc+1/abd+1/acd+1/bcd-1/abcd）】+（k-1）= M×（abcd-abc-abd-acd-bcd+ab+ac+ad+bc+bd+cd-a-b-c-d+1）/abcd+（k-1）=M×（a-1）（b-1）（c-1）（d-1）/abcd+（k-1）=M×（a-1）/a×（b-1）/b×（c-1）/c×（d-1）/d+（k-1）；……同理，如果有無數個奇質數因子時，必將遵循相同的規律。當因子有無限個時（因子都是奇質數，各因子互質不相等），則剩下的是不能被所有奇質數因子整除的數的個數，即所有奇質數個數為M×（a-1）/a×（b-1）/b×（c-1）/c×（d-1）/d……×（n-1）/n+（k-1），上面所說的因子a、b、c、d……n（n為無窮大奇質數因子），因子必須都是奇質數，合數不能作因子，因為當因子為合數時，所有的合數因子都已經被奇質數因子給分離排除了，合數因子不可能進行多余的分離與排除。上面的k為參加分離排除的奇質數個數，k-1中的1代表剩余奇質數中的1。

依照以上原則，因為自然數奇數集合是從1開始到無窮大的連續奇數，所以，因子要從小到大的順序進行計算。設奇數總個數為M個，則奇質數個數為Y=M×2/3×4/5×6/7×10/11×12/13×16/17×18/19×22/23×28/29×30/31×36/37……（n-1）/n+（k-1）。n為無窮大奇質數因子，k為參加分離與排除的奇質數因子的個數。本計算公式可以計算從3開始到無窮大范圍內的奇質數個數，也可以計算奇數集合中任意一段連續奇數中的奇質數個數。在計算過程中，最大奇質數因子的平方數一定要小于或等于所求奇數范圍的最大奇數，如果大于這個范圍，由這個因子構成的合數早已被小的奇質數因子分離排除了，這個大的奇質數因子并不參與排除。例如，1、3、5、7、9、11……49這個范圍內，分離排除因子只有3、5、7，而大于7的 奇質數不能排除，如33已經被3排除了，11不可能有新的排除合數存在，在119范圍內都是如此，只有到了121=112時，11才能加入分離與排除。例如100范圍內有幾個奇質數？奇數個數為100÷2=50，因為72=49為100以內最大奇質數因子平方數，所以，100以內的奇質數個數為50×2/3×4/5×6/7+（3-1）=22.86+2=24.86（個），實際24個；再如50以內奇質數個數為25×2/3×4/5×6/7+（3-1）=11.43+2=13.43（個），實際14個；200以內奇質數個數為100×2/3×4/5×6/7×10/11×12/13+（5-1）=38.36+4=42.36（個），實際45個。在實際計算過程中，總會有些誤差，一是因為奇質數節奏和步調不一致，二是分離排除周期內總會有其它因子存在，因此形成奇質數分布的疏密度不均勻現象，但因誤差很小，不影響正常計算和分析判斷。

分離排除周期：3的分離排除周期是3個連續奇數；3和5的分離排除周期是3×5=15個連續奇數；3、5和7的分離排除周期是3×5×7=105個連續奇數……如有105個連續奇數，因子3、5和7的分離排除所占比例是固定不變的，但必會有其它因子含在其中進行分離與排除，如210以內有105個奇數，除3、5和7外，還有11和13加入其中進行分離排除，由此導致奇質數疏密不均。隨著自然數不斷增大，分離排除區間不斷增大，則加入的其它奇質數因子會更多，這種情況會更加明顯。

奇質數個數計算分析

根據以上公式可知，在相同范圍內，2/3×4/5×6/7×10/11×12/13×16/17×……×（n-1）/n>2/3×4/5×6/7×8/9×10/11×12/13×14/15×……×（m-1）/m，n為范圍內最大奇質數因子，m為范圍內最大奇數因子，n≤m，n2和m2小于或等于范圍內最大奇數。在2/3×4/5×6/7×8/9×10/11×12/13……×（m-1）/m中，當m→∞時，其值會越來越小，減少變化越來越平穩，但M×2/3×4/5×6/7×8/9×10/11×12/13……×（m-1）/m（M為范圍內奇數個數）值會越來越大，所以，當n→∞，M×2/3×4/5×6/7×10/11×12/13×16/17×18/19×22/23×28/29×30/31×36/37……×（n-1）/n=Y之值越來越大，表明奇質數個數Y有∞多個。

以上是一種公式推導方式，還有一種推導方式，其結果是一樣的。單數（奇數）集合1、3、5、7、9、11……中，不計1，從3開始即為3、5、7、9、11……因子分離排除過程，順序是從小到大依序進行。因3為奇質數，所以，對奇數集合逐個進行整除，把凡能整除的拿走，即每隔3-1=2個奇數，就有一個可以被3整除，即能被3整除的自然數奇數占自然數奇數總量的？，剩下的不能被3整除的自然數奇數占自然數奇數集合的？；因5是奇質數，用5對剩下的自然數奇數進行整除，能被5整除的自然數奇數占剩下的自然數奇數占1/5，不能被5整除的自然數奇數占剩下的自然數奇數4/5；因7是奇質數，用7對剩下的自然數奇數進行整除，能被7整除的自然數奇數占剩下的自然數奇數1/7，不能被7整除的自然數奇數占剩下的自然數奇數6/7；因9是合數，已經被3分離排除了，則不能多分離排除剩下的自然數奇數，而后是11，因11是奇質數，用11對剩下的自然數奇數進行整除，能被11整除的自然數奇數占剩下的自然數奇數1/11，不能被11整除的自然數奇數占剩下的自然數奇數10/11，此后依序是13、17、19、23……，其分離排除過程與前面相同，而合數15、21、25、27、33、35……同9一樣不能進行分離排除。根據這個原理推導出來的奇質數個數計算公式與前面所推導出來的計算公式是一樣的。

分離排除區間： 指兩個連續奇數因子平方數之差，如32至52之間，25-9=16；52至72之間，49-25=24；72至92之間，81-49=32；92-112之間，121-81=40……隨著自然數的不斷增大，分離排除區間也將不斷增大。因子平方數為界限點。如92-112，數值靠近92時為下限（9為合數不參加分離排除），數值靠近112為上限，因各分離排除區間內的奇質數分布密度不同，一般可以用分離排除區間內的奇質數分布密度來了解奇質數密度變化規律。

素數分布規律分析：根據素數個數計算公式及各種數的分離與排除原理來看，素數的出現與分布并非是無規律和雜亂無章的，而是有規律和井井有條的，隨著自然數和分離排除奇質數因子的→∞，這種有序分布和密度會越來越穩定。一方面這是因為奇質數因子在分離與排除的過程中，相互間互不干擾保持自己的獨立節奏但又有公共交叉點，形成獨特的網狀結構，隨著自然數和分離排除奇質數因子的→∞，這種有序的網狀結構的規律性會越來越明顯，但了解范圍越來越大。另一方面形成這種獨特的網狀結構是因為連續自然數是等差數列，而分離排除是以等比數列進行的，形成密閉結構是不可能的。

4 用連續奇數正逆依序組合偶數進行分離與排除計算奇質數組合個數，證明哥德巴赫猜想第一定理

4.1 奇數正逆依序組合偶數結構圖如下

B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 …… n

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 …… n

n n-2 n-4 n-6 n-8 n-10 n-12 n-14 n-16 n-18 n-20 n-22 n-24….. 1

上式可以得出1+n=3+（n-2）=5+（n-4）=7+（n-6）=……=n+1=x（偶數），即B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 …… n之縱向相加之值均等于x偶數值，下面舉例說明；如偶數30的奇數正逆依序組合結構圖。

B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1

其中縱向各數相加均為30，即1+29=3+27=5+25=7+23=

9+21=11+19=13+17=15+15=17+13=19+11=21+9=23+7=25+5=27+3=29+1=30，其中以15+15=30為中間值。其它所有偶數都可以表示成上述這種形式。

4.2 連續奇數正逆依序組合偶數的上下層均為奇質數組合的分離排除計算法

由于不同奇質數因子的分離排除節奏步調不同，則互相都不干擾，以健康有序的節奏進行。因都是從同一個始點0出發進行分離排除，則不存在密不透風形式的密閉分離排除，必然始終有漏點存在。當自然數→∞，奇質數密度變得越來越稀少，但卻越來越趨于恒定形式，但始終存在奇質數，同理，奇數正逆依序組合的上下層均為奇質數組合偶數的形式也遵從這一規律。

根據前面的奇質數與合數分離排除原理，頂層由左向右（由小到大）之順序進行分離排除，底層則是由右向左（由小到大）的順序進行分離排除，則最后剩下的必然都是由上下兩層均為奇質數組合的偶數個數，分離排除掉的是：一是兩個都是合數組合；二是一個是合數和另一個是奇質數的組合。

在上下兩層組合中，一方面存在著共同因子組合（如上例3+27=30中，3是30的因子，而后形成的9+21和15+15等存在著共同因子3），3因子是30的基本因子；另一方面存在著非共同因子組合，如7+23，7不是23的因子，則永遠不會出現7為共同因子現象。在分離排除計算過程中，有共同因子的組合，上下兩層僅能分離排除1次（左右分離排除重合）；上下兩層沒有共同因子的組合，則上下兩層分離排除2次（左右分離排除不重合）。所以，連續奇數正逆組合分離排除的計算公式為：L（奇質數組合的任意偶數個數）=（M-2）（M為奇數個數）×（3-a）/3×（5-b）/5 ×（7-c）/7 ×（11-d）/11 ×……×（n-m）/n ÷2+k， k為因分離排除掉的一方為因子，另一層也為奇質數的組合個數。因為2M-1為最大奇數，所以，n2≤2M-1，上式中的a、b、c、d….m均為1或2的數，n為最大奇質數因子，1為共同因子組合差，2為非共同因子組合差。舉例說明：例一68的奇質數組合個數，奇數個數為68÷2=34（個），68=4×17，沒有共同因子，所以，68的奇質數組合個數為L=（34-2）×1/3×3/5×5/7÷2+1=17×1/7+1=2.29+1=3.29（個），實際2個；128的奇質數組合個數，因128=27，所以沒有共同因子，則奇質數組合個數L=（128÷2-2）×1/3×3/5×5/7×9/11÷2+0=3.62=3.62（個），實際3個；60的奇質數組合個數，因60=4×3×5，3和5是共同因子，7不是共同因子，所以60的奇質數因子組合個數L=（60÷2-2）×2/3×4/5×5/7÷2+1=6.33（個），實際6個。

4.3 連續奇數正逆組合偶數分離排除計算分析

完全都是由共同因子的組合是不存在的，而完全都是非共同因子的組合也是不存在的。

在相同范圍內，（2/3）×（4/5） ×（6/7） ×（10/11） ×……（n-1）/n>（3-a）/3×（5-b）/5 ×（7-c）/7 ×（11-d）/11 ×……×（n-m）/n>（1/3）×（3/5） ×（5/7） ×（9/11） ×……×（n-2）/n>（1/3）×（3/5） ×（5/7） ×（7/9）×（9/11） ×……×（p-2）/p，式中a、b、c、d……m為1或2的差值數，n為范圍內最大分離排除奇質數因子，p為范圍內最大分離排除奇數因子，并且n≤p。上式中，假定用（1/3）×（3/5） ×（5/7） ×（7/9）×（9/11） ×……×（p-2）/p計算奇數正逆依序組合中的奇質數組合任意偶數個數，即L（奇質數組合任意偶數的個數）=（M-2）（奇數個數）×（1/3）×（3/5） ×（5/7） ×（7/9）×（9/11） ×……×（p-2）/p÷2+k，作為奇數正逆依序組合中的奇質數組合任意偶數個數的最低值來計算，當p→∞，L值由最初的1以很緩慢的波浪形式漸漸遞增至∞，它只是無窮小量變化，由此可見，當L≥6時，任意偶數都存在奇質數組合。又因L（奇數組合中的奇質數組合任意偶數的個數）=（M-2）（奇數個數）×（3-a）/3×（5-b）/5 ×（7-c）/7 ×（11-d）/11 ×……×（n-m）/n÷2+k>（M-2）（奇數個數）×（1/3）×（3/5） ×（5/7） ×（7/9）×（9/11） ×……×（p-2）/p÷2+k，從計算結果來看，如6、8、12的奇質數組合個數都是1個，68的奇質數組合個數為2個，128的奇質數組合個數為3個……在這之后不會再出現1個，只能是越來越多，即奇數正逆組合偶數個數的取值范圍是1≤L≤∞，計算值始終處在真值左右擺動。所以，哥德巴赫猜想第一定理成立。即任何大于6的偶數，都可以表示成兩個奇質數相加形式。

若在正逆組合向減少方向變化，即還有一組為2，單一的2+2=4，即不小于4的偶數都可以表示成兩個素數之和的形式。

在實際計算過程中，和計算奇質數個數一樣，總會有些誤差，是上下兩層因為奇質數節奏步調和分離排除周期不一致引起，因誤差很小，不影響正常計算和分析判斷。目前，我也沒有辦法糾正誤差。

5 哥德巴赫猜想第二定理的計算證明

根據哥德巴赫猜想①成立的原則，在各組合分別加上3，即形成4+3=7、6+3=9、8+3=11、10+3=13……，形成7、9、11、13、15、17、19、21……的所有奇數集合，因此哥德巴赫猜想②定理也成立。

6 孿生素數個數計算

根據奇質數個數計算公式推導原理，很容易推導出孿生素數個數計算公式：F（孿生素數個數）=M（奇數個數）×【1/3×3/5×5/7×9/11×11/13×……（n-2）/n】+k，式中n為范圍內最大奇質數，k為參加分離排除奇質數因子個數，M（奇數個數）×1/3=D可以認為是孿生奇數個數，所以，上式可以寫成F（孿生素數個數）=D×【3/5×5/7×9/11×11/13×……（n-2）/n】+k。

檢測計算如下：50以內孿生素數個數F=25×（1/3×3/5×5/7）=3.57+1=4.57，實際5個；100以內孿生素數個數F=50×（1/3×3/5×5/7）+1=8.14，實際7個；110以內孿生素數個數F=55×（1/3×3/5×5/7）+1=8.85個，實際9個；130以內孿生素數個數F=65×（1/3×3/5×5/7×9/11）+2=9.59個，實際9個；計算誤差在所難免，原因和前面相同。如果用F=M×1/3×3/5×5/7×7/9×9/11×11/13×13/15×……（m-2）/m=M/m來計算，m為奇數，其F值隨著m→∞而不斷增大→∞，在范圍相同時，F（孿生素數個數）=M（奇數個數）×1/3×3/5×5/7×9/11×11/13×……（n-2）/n+k>M×（1/3×3/5×5/7×7/9×9/11×11/13×13/15×……（m-2）/m，m為奇數，n≤m，這種計算可以證明，隨著自然數值的不斷增大，可以推斷，孿生素數有無數個。在計算過程中，隨著自然數不斷增大，計算值圍繞實際數值波動，但證明孿生素數個數沒有問題。

以上公式或解題原理有可能對于解決黎曼猜想和白之與斯溫那頓戴爾膩測有幫助。

7 其它一些素數個數計算

四胞胎素數個數：例如11、13和17、19就是一對。F（四胞胎素數個數）=【M（奇數個數）-6】×1/3×1/5×3/7×7/11×……n-4/n（n為最大奇質數因子）。四胞胎素數有無窮多個。

表兄弟素數：例如7和11就是一對。F（表兄弟素數個數）= 【M（奇數個數）-3】×1/3×3/5×5/7×9/11×……n-2/n+k（n為最大奇質數因子）。表兄弟素數有無窮多個。

六素數：例如5和11就是一對。F（六素數個數）=【M（奇數個數）-4】×2/3×3/5×5/7×9/11×……n-2/n+k（n為最大奇質數因子）。六素數有無窮多個。

三胞胎素數：例如5、7和11就是一對。F（三胞胎素數個數）= 【M（奇數個數）-4】×2/3×2/5×4/7×8/11×……n-3/n+k（n為最大奇質數因子）。三胞胎素數有無窮多個。

作者姓名：段貴軍，（1966.11-），工作單位：林業局，營林工程師，中專學歷。