獨立水準網中常用抗差估計方法的抗差性分析

姜佃高　許珊娜

摘要：抗差估計方法是一種很好的抵抗粗差的方法。但是，不同的抗差估計方法具有不同的抗差特性。文章以三種不同網形、不同觀測值數量和粗差數量、不同粗差數值的不等權水準網為例，采用仿真實驗的方法比較了常用13種抗差估計方法的抗差特性。研究結果表明，抗差特性更優的估計方法為L1法、Danish法、German-McClure法和IGGIII方案。

關鍵詞：水準網；不等權；粗差；抗差估計

水準網是高程控制網中常見布網方式，水準網平差中的未知參數可以通過傳統的最小二乘法求得。在生產實踐中粗差的出現是不可避免的，此時通常采用抗差估計方法來進行數據處理。當觀測值受到粗差影響時，抗差估計方法能夠給出最為合理的估計結果。

但是，不同的抗差估計方法具有不同的抗差特性。Mitra等認為，當觀測噪聲來源于重尾分布時，Huber法和Andrews法好于L1法。Pennacchi研究表明，在具體算例中，Cauchv法比German-McClure法、Welsch法和Tukey法效果好。那么，當水準網中高差觀測值相互獨立且不等權時，各種常用抗差估計方法的抗差效果如何呢？

本文以三種不同網形、不同觀測值數量和粗差數量、不同粗差數值的獨立不等權水準網為例，采用仿真實驗的方法比較了常用13種抗差估計方法的抗差特性，最終確定了若干抗差特性更優的估計方法。

1抗差估計方法及評價指標

常用的13種抗差估計方法的權函數式及其抗差特性的比較指標參見文獻。

2水準網仿真實驗

2.1仿真實驗方案

采用Monte Carlo法構造包含粗差的獨立不等權隨機誤差。S為仿真實驗次數，S=1000；n為觀測值的數量；p_j為觀測值的權，在[p_a，p_b]上服從均勻分布。δ_ij為隨機誤差，服從正態分布N（0，σ²₀），σ²₀=1.0，|δ_ij|≤2.5σ₀；ε表示粗差，取值為5.0σ₀和10.0σ₀。包含若干粗差的隨機誤差△_ij如下：

（1）

用觀測值的真值三減去對應的隨機誤差得到模擬觀測值L_ij：

（2）

對于模擬觀測值，用各種抗差估計方法和最小二乘法計算相應的觀測值改正數v_ij和殘余真誤差均方誤差，從而計算各種抗差估計方法相對于最小二乘法的相對增益。

2.2獨立不等權模擬水準網

本文采用了如下圖1所示三個不同網形的模擬水準網。網中，A是已知高程水準點，其他為未知水準點。圖1a中，觀測值總數n=9，必要觀測值個數t--4，多余觀測值個數r=-5；圖1b中，觀測值總數n=15，必要觀測值個數t=6，多余觀測值個數r=9；圖1c中，觀測值總數n=22，必要觀測值個數t=8，多余觀測值個數r=14。網中高差觀測值獨立不等權，觀測值的權在[0.4，1.6]上服從均勻分布。

3結果與討論

對于圖1所示的三個模擬水準網，粗差ε=-5.0σ₀和ε=10.0σ₀時，13種不同抗差估計方法相對于最小二乘法的平均相對增益如圖2所示。

當觀測值中包含粗差時，各種抗差估計方法具有不同的平均相對增益。由圖2可知，當粗差ε=5.0σ₀時，除Hampel法外，各種抗差估計方法的平均相對增益均大于等于9%。其中，L1法的平均相對增益最大（20%）。當粗差ε=10.0σ₀時，各種抗差估計方法的平均相對增益均大于等于11%。其中，L1法（50%）、Danish法（54%）、German-McClure法（49%）和IGGIII方案（53%）的平均相對增益較大。

4結語

本文以三種不同網形、不同觀測值數量和粗差數量、不同粗差數值的不等權水準網為例，采用仿真實驗的方法比較了常用13種抗差估計方法的抗差特性。

研究結果表明，當觀測值中包含粗差時，抗差特性更優的估計方法是L1法、Danish法、German-McClure法和IGGIII方案。當粗差為5.0σ₀時，這四種估計方法的平均相對增益大于等于15%；當粗差為10.0σ₀時，它們的平均相對增益大于等于49%。L1法、Danish法、German-McClure法和IGGIII方案是獨立不等權觀測值水準網中相對更為有效的抗差估計方法。