HPM視角下《高等數學》課程的教學探索

秦婧

摘要：作為一名從事大學數學教學工作的教師，很清楚學生對《高等數學》課程所持的消極態度。造成這種態度的原因是多方面的，但有一點可以確定，那就是我們所呈現給學生的數學太深奧、太枯燥。我們總是向學生灌輸各種公式、定義、定理和證明，卻很少提及這些內容的歷史背景和發展過程。HPM為我們解決相關問題提供了一個理想的解決途徑。

關鍵詞：HPM；數學史；復利

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）20-0185-02

在數學教學過程中，我們一直在思考“到底如何激發學生學習數學的興趣，還給學生一個真實美麗的數學”，我覺得這本書中處處體現出的HPM視角為上述問題提供了一個有效的解決途徑。

所謂HPM，是指數學史與數學教育之間的關系，它作為一個學術研究領域出現于1972年。這一年，在英國Exeter召開的第二屆國際數學教育大會上，成立了數學史與數學教學關系國際研究小組（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，簡稱HPM），1976年開始隸屬于國際數學教育委員會。自此，數學史與數學教育關系（通常我們也稱之為HPM）成了數學教育的重要學術研究領域之一。[1]近年來，隨著HPM研究的深入，越來越多的研究開始關注數學史在課堂教學中的實際應用，這也是第一線的廣大數學教師比較關心的問題。目前在我國，華東師范大學數學系HPM研究團隊在這一方面無疑走在了最前沿，但他們的研究工作更側重于中小學的HPM問題，我希望從HPM視角出發，在大學數學教學領域做一些有益的探索。

一、我們需要明確為何要在《高等數學》這門課程中融入數學史

1.《高等數學》課程的絕大部分知識內容在19世紀以前就已經建立起來，因此它的歷史文化內涵是極為豐富的。而我們的教材，往往比較重視知識的邏輯結構，很少呈現出知識的形成過程和文化背景，這使得學生在考試、考研的壓力之下，雖然對《高等數學》非常重視，但學習興趣低下，學習動機單一，學習過程比較痛苦。數學史的融入，可以讓學生感受到數學豐富的文化內涵，改變學生對數學固有的偏見，提高對數學學習的興趣。

2.《高等數學》課程是工科院校大一新生的必修課，同時它也是其他大學數學課程的基礎，比如《概率論與數理統計》、《復變函數》、《積分變換》等課程都與它密切相關。如果我們在大一基礎階段將HPM的思想方法融入數學課堂教學，幫助學生樹立起正確的數學觀，多元的數學學習目標，讓他們意識到數學史中蘊藏著豐富的文化養料，不但可以提升他們的文化修養，也可以解決自己在數學學習過程中的理解和認知障礙，必將對其今后的數學學習產生積極的影響，將有助于改善我們整個大學階段數學教學的效果。

二、我們要著重考慮如何在《高等數學》中融入數學史

一方面要選擇適合融入數學史的教學內容，另一方面要根據不同的內容，采取恰當合理的融入方法。《高等數學》課程的內容是比較多的，我們不可能也沒有必要對所有的內容都考慮其背后所蘊含的數學史，畢竟我們的主要目的不是讓學生學習數學史，而是讓數學史服務于數學教學，因此我們要在教材內容中加以選擇。我們選擇的主要依據是：（1）有豐富歷史背景的重要概念、定理；（2）學生在學習和理解上容易產生困難的重要知識點；（3）蘊含重要數學思想方法的內容。

針對不同的教學內容，我們應該采取怎樣的方式融入數學史呢？對此，我們查閱了一些文獻資料，發現華東師范大學HPM研究團隊將國內外各種分類方法進行了整合，結合我國教學特點加以改進，得到了四種形式：附加式——展示數學家的圖片，講述數學家的故事，介紹數學概念、數學術語、數學符號等的來源；復制式——直接采用歷史上的數學問題、問題解決方法或定理證明方法等；順應式——對歷史上的數學問題進行改編或根據歷史資料編制數學問題；重構式——借鑒或重構知識的發生、發展歷史，采用發生法進行教學。[2]

這些理論成果對教學實踐具有很大的啟發和指導作用。我們在講“微分中值定理”一節課時，里面涉及到一個費馬引理，三個中值定理（分別是羅爾、拉格朗日和柯西中值定理），它們在邏輯上一環套一環，但內容比較枯燥，所以以前上這堂課的時候，講課的教師神采奕奕，聽課的學生哈欠連天。在HPM的視角下重新準備這堂課時，我們搜集了相關的背景資料后，做了如下的設計：在講每個引理、定理之前先講一個這位數學家的小故事，要求短小精悍、有亮點，調動一下學生的積極性，活躍一下課堂氣氛，然后教師扮演數學家，將定理的提出和證明想法向學生娓娓道來。通過這種方式，提高了學生學習的興趣和效率，也加深了其對中值定理的理解。

在具體教學的過程中，我們感覺附加式和復制式屬于提供直接的歷史信息，雖然運用起來比較靈活方便，但是也要注意“度”的把握，過分使用反而會適得其反。順應式和重構式難度要更大一些，需要授課教師對教學內容及其背后的數學史料有更深入的理解和把握，也需要花費更多的時間精力去設計教學過程。但是這些融入方式，往往針對的是學生學習過程中的重點和難點，使用得當，將會對學生的數學學習提供更大的支持和幫助。

首先，我們從現存于羅浮宮的一張約公元前1700年的美索不達米亞泥板上描述的一個問題“要多久才能使年復利為20%的本金翻倍呢？”[3]入手，解釋一下“復利”的含義，就是本金獲得的利息也會產生利息，因此叫做“復合型利息”，簡稱“復利”。這個問題中復利的周期為一年，若假設本金為1，則每年的本息之和依次是1.2，1.22，1.23，…。將此題延伸，提出新問題：“假設現在你有1元錢，年利率100%，也就是1，一年結束時你有多少錢？”如果現在復利周期變成半年，每半年結一次利息，一年結束時你有多少錢？如果復利周期依次為一個季度、一月、一周、一天呢？結果有什么規律嗎？在學生充分討論后，教師和學生一起將上述問題用表列出，如下。

從上表中，學生可以發現年率一定，分期復利，復利周期越短，復利期數越多，本息和越高。但是這種增加是一種緩慢增加，而且隨著期數越來越大，增加的速度越來越慢。如果期數無限增大下去，這個問題就是我們本節所要討論的重要極限■1+■■。歷史上，直到1683年，瑞士著名的數學家雅各布·伯努利在研究連續復利時，才意識到這個問題應該歸結為上述極限加以解決，但當時他只估計這個極限在2和3之間。后來歐拉利用無窮級數計算了這個極限小數點之后18位的近似值。之后歐拉還證明了這個極限是一個無理數，至于為什么用“e”來表示，目前還沒有定論。

新的設計，將數學史經過加工融入教學內容中，學生們似乎真正經歷了一次數學發現的過程，這不但提高了他們的學習興趣，加強了對知識的理解，更使學生了解到數學家和他們一樣也會犯錯、也會困惑，今天書本上呈現出來的如此嚴謹的數學都是經過數學家們一次次不懈的努力才變得如此“美麗”。

在HPM視角下，我們的《高等數學》課程不再是一個抽象的、枯燥的、高冷的“存在”，它與我們豐富的數學史寶庫有了千絲萬縷的聯系，變得生動、有趣、直觀、有血有肉。這使得高等數學的教學在提高學生學習興趣、提升教學質量的同時，更有了人文教育的價值。最后需要指出的是，數學的歷史是一個巨大的寶藏，從事數學教育研究的人們總是可以從中汲取有益的文化養料，希望有更多的大學數學教師參與進來，做進一步的思考和實踐。

參考文獻：

[1]汪曉勤.HPM視角下的高等數學教學[J].高等理科教育，2003，（5）：10-12.

[2]彭剛，汪曉勤，程靖.數學史融入數學教學：意義與方式[J].成都師范學院學報，2016，（1）：115-119.

[3]Eli Maor.（周昌智，毛兆榮譯）e的故事——一個常數的傳奇[M].北京：人民郵電出版社，2010.