高中生數學思維的培養

聶靖翔+康淑瑰+田果萍

摘要：數學思維是數學地思考問題和解決問題的思維活動形式。要從問題出發，進行問題的設計、解題時的思維引導、解題后的反思與總結等一系列過程來培養高中生的數學思維。

關鍵詞：數學；思維；高中生；問題

中圖分類號：G632.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）20-0224-02

一、核心概念闡述

現代認知心理學認為思維是人的信息加工過程。信息加工的基本過程包括問題解決、模式識別和學習（即信息的獲取和存儲）[1]。數學思維是人腦和數學對象（空間形式、數學關系、結構關系）交互作用并按一般思維規律認識數學內容的內在理性活動，具有概括性、問題性和相似性等特征。[2]

二、數學思維的培養策略

教育的對象是學生，教師既要關注高中生的心理發展特點，又要適應高中生思維發展特征，還得兼顧數學思維的規律去設計高中生數學思維的培養策略。

學習方式是指每個人在學習時所具有的或偏愛的方式。[3]田果萍老師曾對高中生的數學學習方式做過調查研究，研究表明：68.0%的學生注重聽課；73.3%的學生大量做題；57.9%的學生進行總結。[4]這反映出聽課與練習成為高中生學習數學的雙主渠道，而且練習與聽課相比較而言顯得更加重要，高中生在構建自己的認知結構時十分重視知識的系統化，自主學習的意識與技能必有待提高。如果把數學問題比作修一條路的話，已知條件是材料，問題是設計圖，數學思維能力是建造過程，基礎能力就是地基。不管我們是領悟到還是學習到新的知識，都要有舊知識作為鋪墊，才能使全體學生進步，來培養數學思維能力。中國學生發展的核心素養，是以科學性、時代性和民族性為基本原則，以培養“全面發展的人”為核心，分為文化基礎、自主發展、社會參與三個方面。綜合表現為人文底蘊、科學精神、學會學習、健康生活、責任擔當、實踐創新六大素養，具體細化為國家認同等十八個基本要點。[5]

不同階段的學生因年齡特點在各學段的具體表現不同。“大眾數學”作為新課標基本理念的第一條，其理想結果是給所有學生“一雙能用數學視角觀察世間的眼睛，一個能用數學思維思考世間的頭腦”。[6]本文結合自己的學習經歷、實習經驗、大學期間在培訓機構擔任高中教師的經歷，從問題出發，進行設計、思維引導、解題后的反思與總結等一系列過程來培養學生的數學思維。

三、案例及其討論

案例1：從問題出發并進行問題的設計。

在課堂教學中教師應重視問題情境，盡可能的把數學問題與實際生活中的問題相關聯，與學生水平較為符合，來激發學生的興趣，從而調動學生的思維，培養學生的思維能力。例如：（1）賣一送一（即買一只茶壺送一只茶杯）；（2）打9折（即按購買總價的90%付款）。其中還有一個前提條件是：購買茶壺3個以上（茶壺20元/個，茶杯5元/個）。[7]由此，不禁想到：這兩種優惠辦法有區別嗎？到底哪種更便宜呢？這種與生活息息相關的數學問題，更加容易吸引到學生的注意力，激發學生的興趣，更深入的思考從而鍛煉學生的數學思維。

案例2：解題時的思維引導。

首先：根據題意可以采用方程的思想去思考如下：

設茶壺X個，茶杯Y個，一共用去Z元。

第一種優惠方式：當Y3，Y≥0時

20X=Z（Y3，Y≥0）

當Y≥X，X>3，Y≥0時

20X+5（Y-X）=Z（Y≥X，X>3，Y≥0）

15X+5Y=Z（Y≥X，X>3，Y≥0）

第二種優惠方式：（20X+5Y）×0.9=Z（X>3，Y≥0）

18X+4.5Y=Z（X>3，Y≥0）

其次：從問題出發進行求解。題目問兩種優惠方式哪一個更便宜，商家既然給了多種優惠方式，就說明在合理的情況下使用合理的優惠方式最省錢，那么就要找在什么時候兩種方式花得錢一樣多，即Z相等。

當Y3，Y≥0時

20X=18X+4.5Y（Y3，Y≥0）

2X=4.5Y 即Y=4/9X

當Y≥X，X>3，Y≥0時

15X+5Y=18X+4.5Y（Y≥X，X>3，Y≥0）

0.5Y=3X，即Y=6X

解得當【0≤Y≤4/9X、Y≥6X、X>3】時，第二種優惠方式比較劃算；當【4/9X≤Y≤6X】時，第一種優惠方式比較劃算。

案例3：解決問題后的反思與總結。

題不在多，反思就好。從元認知理論的角度來看，反思與總結是數學思維培養的關鍵所在。問題解決之后，要反思解題的過程。學習反而是一個深化（包含優化）知識[8]與方法、監控思維的起航。學生深刻地體會到定義域是函數整體中不可分割的一部分（彌補了初次學習時的不全面性與不深刻性），加深了對分段函數的理解，領教了分類討論的必要性；在對解題步驟的審核驗證過程中，鍛煉了思維的縝密性；及時發現錯誤并及時糾正。這就是元認知體驗，使得思路暢通，解題速度加快，思維更加開闊，提高了數學和核心素養。

問題解決之后，還要反思題目特征。提高解決問題的能力，思維品質不僅是一種思維特征，而且也是一種認知方式，解題之后要舉一反三。數學思維的價值在于培養良好的思維品質：觸類旁通可以培養思維的廣闊性；想一想如果題目中的某個條件改變一下，會是什么結論，這種嘗試可培養思維的靈活性；揣摩解題規律可培養思維的深刻性；對解題速度進行評價可培養思維的批判性；能提出自己的觀點或方法可培養思維的獨立性。數學思維源于問題、成于問題，因此我們要抓住解題教學這一數學教育教學上的永恒主題，培養數學思維。

參考文獻：

[1][美]司馬賀.人類的認知[M].荊其誠，等，譯.北京：科學出版社，1986.

[2]任樟輝.數學思維論[M].桂林：廣西教育出版，1996.

[3]陳奇，劉儒.當代教育心理學[M].北京師范大學出版社，2006.

[4]田果萍，張生平，趙霞.高中生數學學習方式的調查與分析[J].教學與管理，2010，（9）：52-53.

[5]中國學生發展的核心素養[EB/OL].[2016-12-10].http：//edu.sina.com.cn/zl/edu/2016-09-18/11143922.shtml.

[6]劉兼，孫曉天.全日制義務教育數學課程標準解讀[M].北京師范大學出版，2003.

[7]吳水龍.高中數學教學中培養學生數學思維能力的嘗試[J].學周刊（B版），2014，（7）期：180-181.

[8]秦芳.高中學生數學思維能力的培養[J].渭南師范學院學報，2005，（20）（s2）：117-118.