以退為進，直逼數學本質

張婧

摘 要：在數學教學中，“退”就是“退”到簡單，“退”到學生能夠理解或可以順利解決問題的地方，認真探究、對比、思考，而后“進”。從某種意義上說是一種“進”與“退”的藝術。通過適當的“退”和必要的“進”，能使得學習過程成為學生潛移默化地掌握知識和技能的過程。

關鍵詞：退；進；起點；認知結構

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）23-102-2

在日常的教學過程中總會有這樣的感覺，某一個單元里面的一個章節孩子學得很吃力，有時筆者在反思，為什么就偏偏這個章節孩子覺得難，究竟是什么原因呢，小學階段的內容沒有理由讓孩子學得吃力，帶著這些疑問在教學中我不斷地反思與實踐。華羅庚指出：善于“退”，足夠的“退”，“退”到最原始而不失重要的地方，是學好數學的一個訣竅。筆者這里所說的“退”不是固執己見，停滯不前，而是通過深刻把握，尋找“進”與“退”的契合點，從而達到解決數學問題的目的。

【片段一：比30米少23——引發的反思】

一次區里面的調研考試，這道題的得分率不高，當時心里耿耿于懷，這題并不難啊，原因何在？很多的孩子只計算了30×23就萬事大吉了，于是筆者就懷疑可能沒講清楚，也可能對比練習做的不夠，帶著這樣的疑問在日常的練習中又增加了對比練習。算一算（1）30的23是多少？（2）比30米少23是多少？（3）比30米多23是多少？（4）比30米多23米是多少？學生測驗結果如下：

不斷地對比，然后組織孩子討論，加以區分，沒想到班上總是有那么一些同學的答案讓人吃驚。筆者也沒轍了，正常的教學繼續進行，這塊心頭病總感覺沒解決，不禁產生疑問，真的是比了就能區分了，也有一種可能比了更分不清了。直到教學《列方程解決稍復雜的百分數實際問題》，這個時候心里不禁更害怕，比30米少23是多少，學生都學得這么吃力，再學習比30米少20%，學生豈不是覺得更難？

【片斷二：新知識探究】

例題：實際栽樹240棵，實際比原計劃多種植20%，原計劃栽樹多少棵？

說說你是怎么想的？很多孩子在完成這個表格的時候出現了狀況，不少學生設原計劃栽樹x棵，比原計劃多的樹木棵數不會表示，直接寫成20%，果然難上難。學生上次的問題還沒有徹底解決，又來了新的問題，對于后進生來說，接下來做題寸步難行，繼續尋找適合孩子理解的教學方式。究竟孩子的思維起點、已有知識經驗的起點在哪里？我所預設教學起點的和孩子之間還有多少差距？也許差距就那么一點點，只需稍稍轉化一個思路。

【片段三：難點再嘗試】

部分孩子學得如此吃力，攻克這個問題迫在眉睫，若找到解決這個問題的方法，那么之前的分數知識也一并理解，否則一團一團的謎團纏繞在孩子腦中，為了新知識的再次進行下去，此時不得不退下來，退到哪里合適？退到學生已有的經驗中去，退到學生一看就明白的道理中去。

學生在一年級已經接觸過這樣的線段，為什么到了六年級還害怕？其實和例題比，只不過多了個20%，教師將題目退到一年級的水平，A是5，B比A多2同學們都會計算，在這里采用的是加法5+2，如果A是5，B比A多15，還能直接用5加15嗎，學生立刻搖頭，這里多出的部分是表示分率，要算出具體的量，然后就和一年級的題目類似，才能把兩個量加起來。同理B比A多20%能直接加嗎？這里的20%也表示分率，所以題目中要填上（20%x）。這一退，把其中的道理“退”的清清楚楚、明明白白，所有的學生都點頭大悟，原來六年級學習的題目和一年級之間就這么點差距啊。

【片段四：嘗試后的喜悅】

大教育家奧蘇伯爾曾說過，假如把一切教育心理學定理總結為一條定理的話，就是影響學習最重要的因素就是學習者已經知道了什么。學生理通了，怎么變化都不成問題。原來通過簡單的對比讓學生去記住方法沒有用的，一時記住了，事后又拋之腦后。這個時候教師沒有滿足于學生現有水平，而是再次給出這樣的線段，現在你可以出題考考大家嗎？學生思維活躍，涌現出各種各樣的答案：

生1：B比A多16，A是30，求B是多少？

生2：第一天修路100米，第二天比第一天多修20%，第二天修多少米“？

生3：B是360，比A多20%，A是多少？

生4：B比A多14，給A 8個，則A、B相等，算一算A、B分別是多少？

生5：第二條線段比第一條線段多多少？

……

師追問：你覺得你出的題目適合幾年級學生做，一到六都能做嗎？你們太厲害了，從當初的不會，到現在都會出題了，真了不起！此時此刻你想對初學者提醒點什么？

生1：把題目改成以前學過的知識，就容易多了。

生2：把分率化成具體的數量，就可以像以前那樣加加減減了。

反思：是啊，構建簡單模型，沒有任何分數與百分數的干擾，只有兩條線段，學生一眼就能看出誰比誰多，以前的學習中遇到多幾個就直接加幾，而現在不能直接相加，先要加工處理一下信息，才可以相加。留下主干，便于學生對比，只看這樣的圖你能說說怎樣的數量關系，又能出哪些題目。教師帶領學生回憶以往的知識經驗，學生對比今天知識與以往舊知的區別，利于學生更好地建構知識之間的聯系。解決這樣的分數與百分數問題其實就是讓學生經歷并主動建構模型，讓學生覺得似曾相識，實際上讓學生感覺到困難的知識，很大因素是因為學生沒有見過這樣的形式，而這恰恰是構成他們思考的最大障礙。教師教學時足夠的退，退到最簡單又不失關鍵的地方。那么，學生很快就能找到解決問題的精髓了。

【案例的啟示】

一、“退”到學生數學學習的起點

《數學課程標準》指出：數學教學活動必須建立在學生認知發展和已有的知識經驗基礎之上，學生的數學學習活動是在教師組織、引導下的自我建構、自我生成的過程。低起點，高落點，訓練思維于無形之中。當教師刪減掉一切數據，留下兩條線段，學生很容易根據線段說出數量關系式，第二條線段比第一條線段多，第一條線段加上比第二條線段少的部分就是第二條線段，這樣的思路學生最熟悉了，而以前的學習經歷中多余部分的數量是可以和第一條線段的數量相加的，只要一步計算就可以了，現在的學習較以往略有不同，要把多余的部分線段代表具體的數量計算出來，即可轉換成以往的算式。理通了，學生從整體上建構知識，接下來學生面對兩條長度不一的線段出題時，思路大大打開，可以出第一條線段是已知的，去求其他部分的量，也可以是第二條線段是已知或者是多余部分的是已知，去求其余的量。只有退到學生數學學習的起點，有效地加以利用，才能引導學生進行有效的數學思維活動，才能使得學生的數學學習循序漸進，才能把孩子們引領到我們真正想讓他們去的地方。

二、“進”到學生的認知結構

建構主義理論認為：學習并不是由教師單方向學生傳遞知識，而是學生根據自身已有知識和經驗主動建構自己知識的過程。學生的認知結構只有在經歷學習活動的過程中主動才能完成。只有學生本人的積極思考、主動探索，才能有所發現、有所創新。新的知識學習不能僅僅靠學生獨立思考、合作、交流就能很好地植入大腦，而是教師調動學生的一切感官和經驗，讓新知在每個學生的大腦中重生。有時候教師表面上做了很多工作，進行了一些易混淆的題比較，但對于學生來講都是表面的，學生經過一段時間的對比訓練確實能夠區分開，但對問題的本質并沒有理解，教師還沉浸于自己的教學設計有多精心和巧妙，那只是教師自己的進，學生本身并沒有進。新的課程標準引導下的理念應為，課堂教學中固然離不開教師的進，但更需要學生的同進。進退有度，該退則退，該進則進，真正做到以學生為主體，使學生真正經歷知識的建構與重組的過程。讓學生真正經歷了思考的過程，學生參與到了認知的自主構建中來，不僅學到了數學知識，接觸到了一些研究數學的方法，而且還獲得了成功的體驗。

三、“進”到學生的思維深處

學習任何知識的最佳途徑是由學生自己去發現，因為這種發現理解最深，也最容易掌握其中的規律與聯系。教師在本案例中通過簡單的線段為學生的思維搭建一座思考的橋梁，巧妙地引導學生走向思維深處。當教學發生了一點小小變化后，學生的臉上流露出了成功的喜悅，那是領悟透徹的喜悅，學生不僅會做題，也會變著花樣出題了，教師在這個時候再出對比練習題，學生都能做出來，此時的學生已經能區分出數學本質，這樣的問題實質就是加法問題，量與量之間的相加。教師教學時足夠的退，退到最簡單又不失關鍵的地方。那么，學生很快就能找到解決問題的精髓了。進到學生的思維深處，揭示數學的本質，讓學生在成長進程中永遠留下數學思想的痕跡。