2010—2016年江蘇高考數學分段函數問題大盤點

朱德存

摘 要：分段函數題型多樣，綜合性強，能有效考查函數的圖象和性質，可以有效考查數學中函數方程思想、數形結合思想、化歸轉化思想和分類討論思想，因此分段函數倍受命題人青睞，是歷年江蘇高考中的熱點題型。為增強高考復習的針對性和有效性，本文對2010—2016年江蘇高考數學中出現(xiàn)的分段函數問題進行歸類分析。

關鍵詞：高考數學卷；分段函數題；盤點

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）23-121-1

一、分段函數求值問題

例 （2016江蘇高考第11題）設f（x）是定義在R上且周期為2的函數，在區(qū)間[-1，1）上，f（x）=x+a，-1≤x<0|25-x|，0≤x<1 其中a∈R。若f（-52）=f（92），則f（5a）的值是 。

答案：-25。

解析：f（-52）=f（-12）=f（92）=f（12）-12+a=12-25a=35，

因此f（5a）=f（3）=f（1）=f（-1）=-1+35=-25。

點評：（1）分段函數的考查方向注重對稱性、周期性，即必須明確不同的自變量所對應的函數解析式是什么，函數周期性質可以將未知區(qū)間上的自變量轉化到已知區(qū)間上。（2）解決分段函數求值問題要注意：分段函數是一個函數，不是幾個函數；分段函數要分段研究。關鍵在于“對號入座”：即看清待求函數值的自變量所在區(qū)域，再用分段函數的定義即可解決。另外要注意區(qū)間端點是否取到其所對應的函數值，尤其是分段函數結合點處的函數值。

二、分段函數根與零點問題

例 （2015江蘇高考第13題）已知函數f（x）=|lnx|，g（x）=0，01，則方程|f（x）+g（x）|=1的實根個數為 。

答案：4。

解析：由f（x）=-lnx，01，g（x）=0，02 得到：f（x）+g（x）=-lnx，02，由于

x∈（0，1]時，f（x）+g（x）單調遞減，且取值范圍在[0，+∞），故在該區(qū)域有1根；

x∈（1，2]時，f（x）+g（x）單調遞減，且取值范圍在[ln2-2，1），故該區(qū)域有1根；

x∈（2，+∞）時，f（x）+g（x）單調遞增，且取值范圍在（ln2-2，+∞），故該區(qū)域有2根。

綜上，|f（x）+g（x）|=1的實根個數為4。

點評：（1）考查由分段函數構成的方程根的存在性和根的個數。……