抽樣分布理論的模擬分析

潘傳快 熊巍

摘 要：抽樣分布理論是統(tǒng)計(jì)學(xué)的核心理論，也是統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)模擬分析，可以形象生動(dòng)地將該理論的核心思想展現(xiàn)給學(xué)生，使學(xué)生能更簡(jiǎn)單深入地理解該理論。

關(guān)鍵詞：抽樣分布；大數(shù)定律；中心極限定理；統(tǒng)計(jì)模擬

中圖分類號(hào)：O17 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-000X（2017）08-0192-03

Abstract： Sampling distribution theory is the core theory of statistics， and it is also the key and difficult point in the teaching of statistics. Through carrying out statistical simulation analysis with the aid of the computer， the core idea of the theory can be vividly displayed to students， and they can understand the theory more easily and deeply.

Keywords： sampling distribution； law of large numbers； central limit theorem； statistical simulation

一、問題的提出

以均值為例，抽樣分布理論主要是討論樣本均值的性質(zhì)。這部分理論的主要內(nèi)容有：樣本均值的位置與尺度、樣本均值和總體均值的關(guān)系以及樣本均值的分布形態(tài)。主要涉及到兩個(gè)定理：大數(shù)定律和中心極限定理。抽樣分布理論是基礎(chǔ)理論，區(qū)間估計(jì)理論和假設(shè)檢驗(yàn)理論都建立在抽樣分布理論的基礎(chǔ)上，因此這部分內(nèi)容極為重要。但是由于該理論涉及兩個(gè)定理，這兩個(gè)定理如果用文字表達(dá)比較簡(jiǎn)單，也容易理解但缺乏說(shuō)服力，如果用數(shù)學(xué)推導(dǎo)則難度較大而且很抽象。

如果引入統(tǒng)計(jì)模擬方法，可以很好地解決這個(gè)問題。統(tǒng)計(jì)模擬需要借助計(jì)算機(jī)的龐大計(jì)算能力，但思路簡(jiǎn)單易懂。因?yàn)槌闃臃植祭碚撝饕懻摌颖揪档男再|(zhì)，我們可以事先模擬一個(gè)龐大的總體，然后按照設(shè)定的規(guī)則大量地從總體中抽取樣本，再觀測(cè)樣本的性質(zhì)以及與總體均值的關(guān)系。由于是模擬，所以所有的總體參數(shù)是事先設(shè)定的，我們就可以很好地比較樣本均值和總體均值。本文接下來(lái)的第二部分模擬樣本均值的位置和尺度；第三部分對(duì)大數(shù)定律進(jìn)行模擬；第四部分模擬樣本均值的分布；第五部分進(jìn)行總結(jié)。本文所使用的統(tǒng)計(jì)模擬軟件為R語(yǔ)言。

二、位置和尺度模擬

（一）總體的模擬

模擬總體來(lái)自一個(gè)均值為100，標(biāo)準(zhǔn)差為10的正態(tài)（高斯）分布，即：X～N（100，10），讓總體容量為100000000。容量太大，模擬結(jié)果無(wú)法一一展示，其直方圖如圖1。

很顯然，該總體來(lái)自正態(tài)（高斯）分布。進(jìn)一步，總體數(shù)據(jù)的描述統(tǒng)計(jì)量如表1）。

均值和標(biāo)準(zhǔn)差跟事先設(shè)定的100和10幾乎無(wú)差異，偏度和峰度都接近0，幾乎完全服從正態(tài)（高斯）分布。

（二）位置

在有放回的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣下，可以得到一個(gè)獨(dú)立同分布的樣本，因此容易推導(dǎo)出樣本均值的期望：

即所有的樣本均值的期望值為總體均值。對(duì)于一個(gè)龐大的總體，其樣本接近無(wú)數(shù)個(gè)，因此也就有接近無(wú)數(shù)個(gè)樣本均值，我們一次抽樣只得到其中的一個(gè)樣本均值。我們可以借助計(jì)算機(jī)產(chǎn)生大量的樣本，然后計(jì)算他們的均值，看是否跟總體均值接近。

先產(chǎn)生8個(gè)容量為100的樣本，箱線圖如圖2。

發(fā)現(xiàn)8個(gè)樣本中位數(shù)（跟均值差異不大）圍繞著100變動(dòng)，那是否其均值就等于？滋呢？我們把樣本數(shù)擴(kuò)大，為了反映隨著樣本數(shù)擴(kuò)大X無(wú)限接近？滋的過(guò)程，我們分別模擬10個(gè)、100個(gè)、1000個(gè)、10000個(gè)、100000個(gè)樣本的情況，然后分別計(jì)算均值如表2。

發(fā)現(xiàn)只需抽10次X的均值已經(jīng)很接近？滋了，當(dāng)然隨著樣本個(gè)數(shù)增加X的均值會(huì)更接近？滋，但當(dāng)樣本個(gè)數(shù)增加到10000以后，偏差改變就很小了。

（三）尺度

在有放回的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣下，因此容易推導(dǎo)出樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)誤）：

在模擬的情況下，總體標(biāo)準(zhǔn)差？滓事先已知，即可以實(shí)現(xiàn)算出：

這樣就可以利用大量的樣本來(lái)檢驗(yàn)X的標(biāo)準(zhǔn)差。我們?nèi)园褬颖緮?shù)擴(kuò)大，觀察隨著樣本數(shù)擴(kuò)大X的標(biāo)準(zhǔn)差無(wú)限接近S（X） 的過(guò)程，計(jì)算結(jié)果如表3。

發(fā)現(xiàn)抽取10個(gè)樣本時(shí)，X的標(biāo)準(zhǔn)差跟理論值已經(jīng)差別很小了，當(dāng)樣本數(shù)擴(kuò)大到100000時(shí)，X的標(biāo)準(zhǔn)差和理論值已經(jīng)幾乎沒有差異了。

三、大數(shù)定律的模擬

（一）大數(shù)定律

大數(shù)定律是指隨著樣本觀測(cè)數(shù)的增加，均值和頻率會(huì)不斷穩(wěn)定，在抽樣分布理論中主要指切比雪夫定理。對(duì)于任意？著>0，有：

這個(gè)定理證明有點(diǎn)復(fù)雜，但意思卻很簡(jiǎn)單，即隨著樣本容量的無(wú)限增加，樣本均值無(wú)限接近總體均值。

（二）模擬

下面我們模擬隨著樣本容量增加，樣本均值接近總體均值的過(guò)程。讓樣本容量逐次取10、100、1000、10000、100000、1000000，獲取樣本計(jì)算均值，表4記錄了它們的結(jié)果。

我們發(fā)現(xiàn)，樣本容量為10的時(shí)候樣本均值和總體均值（100）的差距還是較大的，但隨著樣本容量增加差距變小，當(dāng)樣本容量為1000000時(shí)，這個(gè)差距已經(jīng)小到可以忽略。為了更形象地說(shuō)明樣本均值隨著容量的增加無(wú)限漸進(jìn)總體均值的過(guò)程，我們把實(shí)驗(yàn)次數(shù)增加到10000次（k=1，2，…10000），讓樣本容量為：

k+100×k

根據(jù)這10000個(gè)樣本計(jì)算的均值按照先后順序繪制的線圖如圖3。

圖3很形象地描繪除了樣本容量不斷增加，樣本均值無(wú)限接近總體均值的過(guò)程。

四、中心極限定理的模擬

（一）中心極限定理

中心極限定理主要是證明了樣本均值的分布形態(tài)。中心極限定理有幾個(gè)表達(dá)，我們列出最常用的一個(gè)。設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn 獨(dú)：立同分布（分布形態(tài)不限），其均值為：

這個(gè)定理看起來(lái)復(fù)雜也不容易證明，但意思很簡(jiǎn)單。那就是無(wú)論總體成何種分布，在樣本容量足夠大以后，樣本均值服從以？滋為均值，？滓/■為標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布。

（二）正態(tài)總體時(shí)的模擬

我們先模擬當(dāng)總體是正態(tài)時(shí)的情形，為了清晰地看出中心極限定理，把樣本容量從5慢慢增加到10、20，然后再增加到100、1000，然后在每個(gè)容量下抽取300個(gè)樣本計(jì)算均值，繪出直方圖如圖4所示。

從圖4中發(fā)現(xiàn)，在正態(tài)總體下，哪怕樣本容量為5，樣本均值的分布也接近正態(tài)，當(dāng)然隨著樣本容量增大樣本均值越來(lái)越接近正態(tài)分布，而且抽樣誤差也越來(lái)越小。

（三）指數(shù)總體時(shí)的模擬

直觀的理解我們也會(huì)相信在正態(tài)總體下中心極限定理是顯而易見的，但是在其它非正態(tài)的總體下，中心極限定理是不是也成立呢？我們模擬總體來(lái)自一個(gè)均值和標(biāo)準(zhǔn)差為100的指數(shù)總體，即X～EXP（0.01）。

仍然將樣本容量從5慢慢增加到10、20、100、1000，然后在每個(gè)容量下抽取300個(gè)樣本計(jì)算均值，繪出直方圖如圖5所示。

由于指數(shù)分布是個(gè)右偏的反J型曲線，因此其樣本均值的分布也會(huì)受總體分布影響，呈右偏，這在樣本容量小的時(shí)候尤為明顯。圖5中我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)樣本容量為5時(shí)，樣本均值分布極為明顯，但隨著容量增加偏度下降，容量為1000時(shí)已經(jīng)看不到偏態(tài)了，足以證明中心極限定理跟總體分布無(wú)關(guān)，只要樣本容量足夠大樣本均值都會(huì)趨于正態(tài)分布。

五、結(jié)束語(yǔ)

鑒于計(jì)算機(jī)的強(qiáng)大計(jì)算能力，將模擬技術(shù)用于統(tǒng)計(jì)研究有極高的價(jià)值。在統(tǒng)計(jì)教學(xué)種應(yīng)用模擬技術(shù)也有很好的效果，譬如用模擬來(lái)介紹抽樣分布理論。在模擬的情況下，所有理論的假設(shè)條件都可以滿足，而且事先知道總體，因此可以輕松而又深入地理解抽樣分布理論，如大數(shù)定律、中心極限定理，而不用拘謹(jǐn)于繁雜的數(shù)學(xué)證明。

但是也需要指出，統(tǒng)計(jì)模擬都是隨機(jī)的，因此每次模擬的結(jié)果不同，效果不同，在教學(xué)中需要注意到這個(gè)問題。本文利用R語(yǔ)言，將結(jié)果用設(shè)定的隨機(jī)數(shù)種子固定，但是不同的實(shí)驗(yàn)，結(jié)果將不一樣。

參考文獻(xiàn)

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