關于愛因斯坦、伯格曼和第五維度的注記

摘 要 在1938年的論文中，愛因斯坦和伯格曼證明了，在遠距情況下，與愛因斯坦-麥克斯韋理論相容的四維理論其實是一個五維理論的推論，而且這個五維理論關于每個維度都是對稱的。他們因此而成為以此為基礎的現代觀點的先驅。但過了不久，他們卻將論點撤回了，還用一種對現代讀者來說相當不自然的方式修改了這理論，破壞了它關于五個維度的對稱性。這是為什么？筆者從彼得·伯格曼的回信中得知，原來這是因為，那個更對稱的五維理論會導致存在一個新的遠距作用場（一個無質量的標量場）。而在1938年，愛因斯坦和伯格曼并不想讓這種作用場出現。

關鍵詞 電磁力和引力統一理論 五維理論 遠距作用場

本文主要討論愛因斯坦和伯格曼1938年關于五維時空中電磁力和引力統一理論的論文[4]的一個歷史細節。三十多年前，當我第一次讀到這篇文章時，就立即對其中一點感到好奇。馬上我就會說到，愛因斯坦和伯格曼在文章的開頭就引入了一個十分現代化的觀點，即可能存在第五個維度。但他們隨即又收回了這一說法，并破壞了在現代讀者看來這一理論所蘊含的一種自然之美。這是為什么呢？

我猜想，這大概是因為在1938年，愛因斯坦和伯格曼還不想由此導致一個新的遠距作用場（一個無質量的標量場）的存在性。我曾寫信給彼得·伯格曼詢問此事（圖1），根據我對他回信（圖2）的理解，我的猜測是對的。這篇文章里，我會解釋這一問題，并說明我是如何理解伯格曼的回信的。

導致愛因斯坦想要統一電磁力和引力的一個重要因素，是提奧多·卡魯扎（Theodor Kaluza）[6]在1921年的一個提議。奧斯卡·克萊因（Oskar Klein）[7]后來也獨立發現并推廣了這理論，因此現在通常被稱作卡魯扎—克萊因理論。這個提議指出，除了傳統相對論中的四個維度（三個空間維度和一個時間維度）外，還有第五個維度；而電磁力是由第五個維度中的引力場發生偏振而產生的①。

雖然按照愛因斯坦的預想，這還遠遠不是理論的全部，但這個觀點看上去已經十分現代，并且很有可能是正確的。卡魯扎最初的提議其實忽略了一個對現代讀者來說十分重要的因素。雖然卡魯扎引入了第五維，從而把電磁力和引力結合起來，但他并沒有將五維的場方程以一種對稱的方式表達出來。因此，對于現代讀者來說，卡魯扎并沒有在電磁力和引力之間構成對稱性，而他所完成的，與其說是一個統一的理論，不如說只是一套統一的符號②。

愛因斯坦和伯格曼的主要創造，在于把第五個維度作為物理實體來嚴肅對待，而不是單純為了將度規張量和電磁勢整合到一個5階矩陣之中。在引言中，他們寫道：“我們此處的理論與卡魯扎的理論有一個關鍵不同：我們賦予了第五維以實際的物理意義，而卡魯扎引入第五維只是為了得到電磁場度規張量的一個新分量。卡魯扎在選擇合適的坐標系時，假設了場變量僅依賴于四個坐標x1，x2，x3，x4，而不依賴于第五個坐標x0。很明顯，這是因為經驗告訴我們，物理連續統是四維的。但我們想要指出，在不違反物理連續統的四維特征的情況下，也可以賦予第五個坐標一些（物理）意義。”

為了解釋為什么宇宙即便有第五個維度而看起來依然是四維的，愛因斯坦和伯格曼用一條細長的管子①打了比方（圖3）。這意思是說，如果一個人近距離觀察管子，那么它看上去是二維的，因為可以看到它的長度和寬度（如果再近一點，看到了材料的厚度，那么管子就是三維的），而如果從極遠的地方觀察，那就會以為管子是一維的，因為從這么遠的距離只能看出管子的長度。

以前的學者有時要么“規定”了我們不能觀察第五維，要么假設第五維只在方程中出現而沒有物理意義。不管前者還是后者，都導致該理論在現代科學家眼中不盡如人意，而且無法由它來給出有效的預測。相反，愛因斯坦和伯格曼幾乎已經表明，雖然大自然的方程式中所有五個維度的地位是平等的，但在我們的世界中第五維要小得多，因此更難觀察。這是一個很超前的想法，大概也是愛因斯坦離“統一場論”這一現代重要課題最為接近之處了。大約四十年后，歐詹·克雷梅（Eugène Cremmer）和朱愛爾·謝爾克（Joel Scherk）[3]用了大量篇幅來介紹此觀點，還用“自發對稱性破缺”等一套十分現代化的術語來稱呼它②。從那時起，卡魯扎-克萊因理論就成了自然力統一理論的一個關鍵成分。

然而，就在同一篇論文的最后部分，愛因斯坦立刻撤回了這一論點，并且我相信在之后的論文中，愛因斯坦再也沒有研究它。取而代之，愛因斯坦和伯格曼加了一個約束條件（存在指定長度的閉測地線），這導致他們陷入了在今天的讀者看來極其繁復的計算之中。愛因斯坦、伯格曼和瓦倫坦·巴格曼（Valentine Bargmann）隨后專門發表了一篇論文來討論這些計算[5]。

愛因斯坦和伯格曼沒有明確解釋他們為什么引入這一約束，破壞了（用現代話說）第五維度和前四維之間的對稱性。這一約束看上去十分“人為”而不自然，他們引入必有其原因。我立刻想到了一個理由。如果他們沒有引入這個約束，那么第五維上的長度波動就會在四維中產生一個無質量的標量場①。從宏觀的角度來看，撇開電磁力而就引力部分來說，這不是純粹的廣義相對論，而是廣義相對論和諾德斯特姆引力理論的結合。而這理論是愛因斯坦所反對的，也是被他所推翻了的。這種混合理論現在常常被稱為標量—張量理論②。

早在三十年前，我就閱讀了愛因斯坦和伯格曼的文章以及其他一些早期關于卡魯扎-克萊因理論的論文，因為我對克雷梅—謝爾克的自發緊化觀點之源頭究竟能追溯到多早感到非常好奇。顯然，愛因斯坦和伯格曼已經接近這一理論了，但他們引入約束的決定破壞了理論的簡潔和優美，這就急需一個解釋。不過最明顯的解釋是，在1938年，愛因斯坦根本就不想把廣義相對論變成一個標量—張量理論。

我相信我與伯格曼的通信（圖1和圖2）證實了這一點。他寫道：“限制度規張量分量g5k形式的原因在我相對論教科書的275頁有詳細的解釋。簡單地說，原因就在于這個理論并不是標量—張量理論（布蘭斯-迪克類型）但在宏觀上仍使g55=1。”其正文在參考文獻[5]中可以找到。伯格曼說這個理論“不是”一個標量—張量理論，我認為他的意思是指它“并不需要”是一個標量—張量理論。緊接著他繼續說道，所加的約束是一個導致它不能成為統一理論的一個“瑕疵”（我的注釋在方括號中）：“……在最初的K—K理論中，五維對稱不是“自發”被破壞的，而是在一開始被一個基靈（向量）場的假設所摧毀。在EBB[愛因斯坦—伯格曼—巴格曼]的修改中，它則是被一個拓撲學假設[假設第五維度是一個圓] 和愛因斯坦測地線假設[消除標量約束]所破壞。無論是哪種，分解為四維對稱加上一個R或S1的規范群，在討論動力學定律之前就已經建立在理論當中了。”這也很可能被認為是這些理論的缺陷，因為它們不是真正“相容”的（即統一的），這就違背了其創始人的期望。依我的理解，在伯格曼最后一個注解中，他承認消除這個不想要的無質量標量場的代價就是破壞了理論的優美性。

也許，如果愛因斯坦再年輕一些，他就會遵循在今天看來合乎邏輯的卡魯扎-克萊因理論，并由此預知廣義相對論需要做一個標量—張量的修訂。這絕對會是一個大膽的預想，但愛因斯坦并沒有選擇那條路。正如我們現在知識所證明的，如果按照這個預測，那么理論和后來的實驗結果并不相符。但這仍然會是一個至關重要的進步，因為它不僅說明了如果要統一自然力就會存在一個新的場，還會引出今天研究自然力統一理論的物理學家仍然為之奮斗的許多問題。例如，弦理論的模量問題就是一個。

據托馬斯·阿普爾基斯特（Thomas Appelquist）、阿蘭·喬多斯（Alan Chodos）和彼得·喬治奧利弗·弗雷德（Peter George Oliver Freund）①的歷史綜述，等到十年之后，帕斯卡·約爾當（Pascal Jordan）和蒂埃里·拉塞爾（Thierry Lasserre）才再一次討論在沒有約束條件的情況下，從五維卡魯扎-克萊因理論如何來引出這個標量—張量理論②。后來，卡爾·布蘭斯（Carl Brans）和羅伯特·迪克（Robert Dicke）系統地研究了標量—張量理論，這為迪克改進廣義相對論的某些經典實驗注入了一些動力。

愛因斯坦和伯格曼用一句可以啟發當今物理學家的話總結了他們的文章：“不僅要從形式上引入第五維度，而且要賦予其一定的物理意義，這才能讓人滿意。畢竟，這和我們在物理世界經驗的四維空間的特征并沒有矛盾。”這一點他們解釋得很好。但他們也寫道：“毫無疑問，卡魯扎的目的就是通過引入一個統一的場結構來獲得關于引力和電磁力的一些新的物理視角。但這一目標并未實現。”在這里不得不說的是，愛因斯坦和伯格曼顯然并不喜歡由他們的理論所引出的那個物理視角。

我感謝保羅·斯坦哈特（Paul Steinhardt），他在討論時給了我各種啟發。

附錄 兩封信件譯文

1981年1月19日

彼得 · G · 伯格曼教授

雪城大學（Syracuse University）物理系

紐約，雪城，13210

親愛的伯格曼教授：

我寫這封信給您，是因為最近我對引力規范場統一理論的卡魯扎-克萊因方法有了興趣。我產生了一些關于該理論歷史發展的疑問，同時也很想知道在“古典”時期人們是怎樣理解這個理論的。

在您與愛因斯坦合作的那篇論文中（《數學年刊》1938年第39卷，第683），您清楚地解釋了，在場的變化的特征范圍比第五維的半徑大得多的情況下，第五維緊的五維時空，是如何表現得只有四維的（即便場非平凡地依賴于全部五個坐標）。作為其基礎，您指出，度規的gij分量 （i，j=1，L4） 可以是全部五個坐標的任何函數。正如您在論文中所注明的，這就向同等對待所有五個維度邁出了一大步。但在此之后，您并沒有允許gi5 和g55成為坐標的任意函數。這是什么原因？

我所找到的最早提議度規應當以任意方式依賴于所有五個坐標的（緊或非緊），是克雷梅（Cremmer）和謝爾克（Scherk）的工作（《核物理》1976年B103第393頁；B108第409頁）。有比他們更早提出這一觀點的嗎？如果沒有的話，為什么呢？是因為想要消除由g55引出的無質量的標量粒子嗎？

我另寄了一份我最近寫的一篇關于卡魯扎-克萊因理論的文章，以及一篇我用狄拉克方程證明正能量定理的文章①。

致禮

愛德華·威滕

1981年1月23日

愛德華·威滕博士

物理系

賈德文大樓

普林斯頓大學

新澤西州，普林斯頓，08540

親愛的威滕博士：

限制度規分量的函數表達形式的原因在我寫的相對論教科書②的275頁已有指出。

簡單地說，其中的原因就是這個理論并非（布蘭斯-迪克型的）標量-張量理論，但在宏觀上保持了g55=1。當然，在這種EBB理論中，你必須把你的基本假設寫成有理可循的不依賴坐標的（內蘊）形式。愛因斯坦的提議指出了經過流形上的每一點都有一條由該點回到自身的（閉）測地線，并且這測地線沒有尖頂和棱角。由此可以直接推出，在整個流形上這樣的閉測地線的長度是個常數，從而進一步得出可以引入一個具有您所說的性質的坐標系。

如果丟掉這個測地線假設，你就得到了與一個標量-張量理論十分相似的理論。可能也存在一個更好的（非測地的）曲線族（參見再版的泡利的《百科全書》文章后面的評論），但據我所知，這個猜想沒人證明也沒人證偽。不管考不考慮測地線假設，這個理論在宏觀上是四維的，引入第五維本來就是出于微觀上的考慮。

我剛剛收到您的那篇論文《尋找…》①。到現在我還只讀了引言部分，以后我再寫信給你討論這篇文章。無論如何，在最初的K—K理論中，五維對稱不是“自發”被破壞的，而是在一開始被一個基靈（向量）場的假設所摧毀。在EBB的修訂中，它則是被一個拓撲學假設和愛因斯坦測地線假設所破壞。無論是哪種方式，分解為四維對稱加上一個R或S1的規范群，在討論動力學定律之前就已經建立在理論中了。這也很可能被認為是這些理論的缺陷，因為它們不是真正“相容”的（即統一的），這就違背了它們創始人的期望。

致禮，

彼得·伯格曼

致 謝 感謝清華大學高等研究院的楊振寧教授和西北農林科技大學的林開亮博士提供的諸多幫助！

參考文獻

[1] Chodos， A.， Freund， P.. Modern Kaluza-Klein Theories[M]. Addison-Wesley. 1987.

[2] Bergmann， P.. An Introduction To The Theory Of Relativity[M]. Prentice-Hall. 1942.

[3] Cremmer， E.， Scherk， J.. Dual Models In Four Dimensions With Internal Symmetries[J]. Nucl. Phys. 1976. B103： 399； Spontaneous Compactification Of Space In An Einstein Yang-Mills Higgs Theory[J]. Nucl. Phys. 1976a. B108： 409.

[4] Einstein， A.， Bergmann， P.. On A Generalization Of Kaluza's Theory Of Electricity[J]. Annals of Mathematics. 1938. 39： 683.

[5] Einstein， A.， Bargmann， V.， Bergmann， P.. On The Five-Dimensional Representation Of Gravitation And Electricity[A]. Theodore von Karman Anniversary Volume[C]. 1941. 212.

[6] Kaluza， T.. On The Unification Problem In Physics[J]. Sitzungsberichte Pruss. Acad. Sci. 1921： 966. Reprinted in English translation in reference [1].

[7] Klein， O.. Quantum Theory And Five-Dimensional Theory Of Relativity[J]. Z. Phys. 1926. 37： 895. Reprinted in English translation in reference [1]； The Atomicity Of Electricity As A Quantum Theory Law[J]. Nature. 1926a. 118： 516. Reprinted in [1].

A Note on Einstein， Bergmann， and the Fifth Dimension

Edward WITTEN

Abstract： This note is devoted to a detail concerning the work of Albert Einstein and Peter Bergmann on unified theories of electromagnetism and gravitation in five dimensions. In their paper of 1938， Einstein and Bergmann were among the first to introduce the modern viewpoint in which a four-dimensional theory that coincides with Einstein-Maxwell theory at long distances is derived from a five-dimensional theory with complete symmetry among all five dimensions. But then they drew back， modifying the theory in a way that spoiled the five-dimensional symmetry and looks contrived to modern readers. Why？ According to correspondence of Peter Bergmann with the author， the reason was that the more symmetric version of the theory predicts the existence of a new long range field （a massless scalar field）. In 1938， Einstein and Bergmann did not wish to make this prediction.

Keywords： unified theories of electromagnetism and gravitation， five dimensional theory， long range field