對工科線性代數行列式教學內容的一點思考

DOI：10.19392/j.cnki.16717341.201722015

摘要：本文梳理了行列式在大學工科數學教學體系中的地位和作用， 結合近年對非數學專業線性代數內容改革的一些意見， 對行列式內容在工科教材中的取舍進行了分析， 并給出了結論.

關鍵詞：行列式；大矩陣運算；Matlab；工科線性代數

一、工科線性代數的知識體系和行列式在其中的地位與作用

工科線性代數主要研究線性方程組求解， 對于一個確定的方程組， 具體可分為以下三個方面：

（1）確定它的解是否存在；

（2） 若存在， 是一個還是無窮多個；

（3）若有無窮多個解， 如何表達它們。

前兩方面通過比較該線性方程組的系數矩陣的秩與增廣矩陣的秩及方程組中未知量的個數這三個數的關系可完全確定； 如果確認了它有無窮多個解， 要表達這些解， 需引進向量空間. 這無窮多解構成一個向量空間， 找到空間的一組基， 就能將這些解表達出來。

在這個體系中， 矩陣和向量無疑是主角， 行列式在其中也扮演了部分角色， 主要表現有

a）用以判斷系數矩陣為方陣的線性方程組解的存在性的Cramer法則；

b）一個方陣可逆的充分必要條件是它的行列式不等于零；

c）求方陣A的特征值， 就是求特征方程|A-λE|=0的根。

只有行數和列數相等的矩陣， 也就是方陣， 才有行列式。 那么， 行列式在以上三個方面所起的作用就必然是一般矩陣相應結論的特例。 對于一般的線性方程組Am×nX=b

其中X=（x1，x2，……，xn）T，b=（b1，b2，……，bm）T，當

R（Am×n）=R（Am×n，b）=n

（其中R（Am×n）表示矩陣Am×n的秩）時， 該方程組有唯一解。

而a）， b）， c） 三個方面就是這個結論在m=n， 即系數矩陣是方陣， 時在不同側面的反映，起溝通作用的是結論“方陣A的行列式|A|≠0， 當且僅當A行滿秩”。

二、非數學專業線性代數課改的趨勢及其對行列式部分的影響

非數學專業開設數學課， 主要是為大學生提供后續課程的數學基礎和必要的數學應用能力， 這點在線性代數上體現的更為直接。 通過這門課的學習， 學生要掌握一些基本概念，包括矩陣， 行列式， 線性方程組等， 還應能夠使用計算機解決實際問題。 對工科大學生而言， 就是學會使用計算機求解高階的矩陣模型。

當前的課程體系分配給工科線性代數的學時普遍較少， 三峽大學只有32個， 在這樣的背景下， 當前把教學重點放在強調抽象思維的經典理論上的做法， 顯然不能滿足工科大學生后續課程使用計算機解決實際問題的需求. 對非數學專業， 在經典理論的基礎上會用計算機解決高階的矩陣計算問題應是線性代數課程改革的大趨勢。

以陳懷琛教授為代表的國內高校的有識之士已率先啟動這方面的改革， 參見[1]， 并取得了很大的進展。

這個改革架構， 鑒于線性代數的計算部分具有機械性、程式化的特征， 建議教與學的過程將重點放在對實際問題的數學建模的分析上， 而將純程式化的計算過程交由計算機來處理. 線性代數涉及的運算是一種刻板、枯燥、但很有規則的簡單運算， 比如對矩陣施行初等變換， 所作的運算無非是加法和數乘， 但要重復做好多次. 由人力演算， 耗時費力， 且無法保證每次結果都正確， 因此這種工作不宜由人工來做， 而最適宜由機器來執行。

線性代數課程還有理論抽象、難懂的特點， 改革后的教學過程應分為理論教學和實踐演練兩大塊。

在理論教學部分， 不需太詳盡的證明， 只要求學生明晰基本概念、懂得基本理念就可以了。但對基本內容一定要討論清楚. 就是要講清楚下列基本問題：

問題I. 為什么R（Am×n）=R（Am×n，b）時， 線性方程組Am×nX=b有解； 進而，

R（Am×n）=R（Am×n，b）時， 該方程組有唯一解？

問題II. 為什么可以用初等變換（包括初等行變換和初等列變換）來求可逆陣的逆？

問題III. 線性空間中， 為什么可以由有限表達無限？

這三個問題， 分別對應著對矩陣的秩、初等矩陣和向量組的一個極大線性無關組這些基本概念的理解和運用。

實踐部分的教學應在理論教學后進行。 主要操作上， 陳懷琛教授在[2]中總結了三點：對于低階（三階及以下）的線性代數問題， 用Matlab提供圖形幫助， 便于直觀且深刻地理解課程后續的理論和概念； 對于高階的線性代數問題， 借助Matlab提供的程序， 使師生可以快速、準確地進行大量數據的數值計算； 通過一些應用實例， 使學生了解線性代數知識在各領域的廣泛應用。

對行列式， 國外有教材[4]只講到三階， 而且強調講課時推導的公式不是用來計算的， 只要知道行列式不為零時對應的矩陣可逆即可。 這樣的處理在當前大矩陣的背景下是合理的。 在國外的另一本教材[5]里面， 作者直言，“在柯西的年代， 矩陣很小， 行列式在數學中起過重要的作用。 而今天它在大規模矩陣運算中只有很小的價值”。

三、在課改背景下對行列式教學內容取舍的一些思考

在國內外課程改革背景下，很有必要對教材中行列式部分的內容做適當的刪減， 以順應當前工科大學生學習和使用線性代數知識的需求。

在國內一般的《線性代數》教材， 如[3]中， 行列式被放在第一章， 介紹二階與三階行列式、全排列及其逆序數、n 階行列式的定義、行列式的性質、行列式的按行（列）展開及Cramer法則等內容。 下面依次分析這些內容在當前課改形勢下有無存在的必要性。

低階（二階與三階）行列式具有直觀的幾何意義， 且容易計算， 適合作為引入行列式概念的例子。 借助二階， 至多三階行列式， 來講行列式， 便于學生形成概念， 并很好的將行列式與線性方程組和矩陣聯系起來。將低階行列式從表示方法、本質內涵和不同的處理方式等方面與矩陣做比， 加深學生對矩陣的理解。 因為低階行列式易于被人們接受， 它們在線性代數教材的行列式部分是必不可少的。

全排列和逆序數對于經典的行列式定義（即所有取自不同行和不同列的各元素乘積的代數和， 共n項）是必不可少的， 但若用這種定義來計算行列式， 5階行列式直接筆算已相當繁瑣， 25階的更已超出了計算機的運算能力。 因此這部分內容連同n階行列式的經典定義在工科線性代數教材中宜刪去， 而將經典定義的思想在學習低階形式時簡要介紹即可。

將行列式按行（列）展開也具有計算量隨著階數的升高快速增加的特點， 在普遍使用計算機處理行列式和矩陣的今天， 也只要在講授低階情形時講一下相關思想就行了。

行列式的性質對于初學者進一步認識行列式很有幫助， 尤其是遇到具有某些特征的形式時巧妙利用性質可以快速得到行列式的值， 這部分內容可以三階為例全面講解。

Cramer法則聯系了行列式與系數矩陣是方陣的線性方程組的求解過程， 是求解這類方程組的另一種途徑， 在主要處理線性方程組求解的線性代數教材中也是必須要有的。

四、結論

綜合以上分析， 線性代數在教與學過程中應弱化理論、強調運用計算機解決實際問題； 在行列式部分， 應順應這一趨勢和低學時的實際， 去除“小矩陣時代”的痕跡， 僅留存與教材主題內容相銜接的部分。

參考文獻：

[1]陳懷琛，高淑萍.論非數學專業線性代數的內容改革[M].高等數學研究，2015，18（2）.

[2]陳懷琛，龔杰民.線性代數實踐及MATLAB入門（第二版）[M].北京：電子工業出版社， 2009.

[3]同濟大學數學系.工程數學線性代數（第五版）[M].高等教育出版社，2007.

[4]Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra， 4th Edition[M].WilsleyCambridge Press. 2009：vxii.

[5]DavidCLay. LinearAlgebra and itsApplication（3th Editon）[M].PearsonAddisonWesley.2006：162.

作者簡介：曹志杰，男，博士，三峽大學理學院講師。