關于負二項分布高階矩的教學注記

朱成蓮

摘 要：文章利用負二項分布的分解定理，給出負二項分布的高階矩的遞推公式，并給出了遞推公式的應用，加深對負二項分布的認識和理解，為負二項分布的教學提供更多教學素材。

關鍵詞：負二項分布；矩；教學

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2017）18-0097-03

Abstract： In this paper， theorem of decomposition of negative binomial distribution is applied. The recurrent formula of higher order origin moment on negative binomial distribution is given. The recurrence formula is applied. The understanding of negative binomial distribution is deepened. More teaching materials are provided for the teaching of negative binomial distribution.

Keywords： negative binomial distribution； moment； teaching

引言

我們知道在一個伯努利試驗中，每次試驗成功的概率為p（0

一、相關定義及引理

定義1 設X是隨機變量，如果X的分布律為P（X=k）=qk-1p，0

由課本可知：E（X）=■，D（X）=■。

引理1設函數f（x）=■，（其中x≠0），？誺為任一正整數，則f（x）的？誺階導數為

f （？誺）（x）=■

證明 利用二項式定理，將（1-x）？誺展開，可得

f（x）=■（1-x）？誺=■■C■■（-1）kxk=■+■C■■（-1）kxk-1，

而■C■■（-1）kxk-1是？誺-1次多項式，故■C■■（-1）kxk-1的？誺階導數

[■C■■（-1）kxk-1] （？誺）=0，

從而

f （l）（x）=（■）（l）=（x-1）（l）=（-1）（-2）…（-l）x-1-l=■。

引理2[1]設l次多項式g（x）=x（x+1）…（x+l-1），（l為正整數），g（x）可表示為

g（x）=x（x+1）…（x+l-1）=xl+？姿1xl-1+…+？姿l-1x

其中？姿i=（-1）i■k1k2…ki，i=1，2，…，l-1，k1，k2，…ki是0，-1，…，-（l-1）中的任意i個數，這里■k1k2…ki表示所有可能的i個不同的kj的乘積之和。

引理3[2]如果X～B_（n，p）的充分必要條件是X可分解為n個獨立同幾何分布的隨機變量的和，即X=■Xi，其中 x1，x2，…，xn相互獨立，且Xi～G（p），i=1，2，…n。

二、主要結果

定理1 設隨機變量X～G（p）（0

證明 由于X～G（p），所以有P（X=k）=p（1-p）k-1，k=1，2，…，從而E[X（X+1）…（X+l-1）]=■k（k+1）…（k+l-1）p（1-p）k-1

=p■k（k+1）…（k+l-1）（1-p）k-1

=p■[（-1）l（1-x）k+l-1] （l）|x=p

=（-1）lp[■（1-x）k+l-1] （l）|x=p

（當0

=（-1）lp[■] （l）|x=p。

由于[■] （l）|x=p=■。

得

E[X（X+1）…（X+l-1）]=（-1）lp■■=■。

設隨機變量X～G（p），（0

推論（1）當l=1時，得E（X）=■。

推論（2）當l=1時，得E（X）=E[X（X+1）]-E（X）=■-■，從而

D（X）=E（X2）-[E（X）]2=■。

下面我們給出幾何分布高階原點矩的遞推公式，設X～G（p），（0

定理2 設隨機變量X～G（p），（0

E（Xl）=■-■？姿iAi。

其中？姿i=（-1）i■k1k2…ki，i=1，2，…，l-1，k1，k2，…ki是0，-1，…，-（l-1）中的任意i個數，這里■k1，k2，…ki表示所有可能的i個不同的kj的乘積之和。

證明 有引理2中知，對任意正整數l，有

Xl=x（x-1）…（x+l-1）-■？姿ixl-i。

利用定理1得

E（xl）=E[X（X+1）…（X+l-1）-■？姿iE（xl-i）=■-■？姿iAi。

定理3 設隨機變量X～B-（n，p），對任意的正整數？誺，則

證明設X1，X2，…，Xn相互獨立，且Xi～G（p），i=1，2，…，n。

由引理3知，X=■Xi。

定理3給出了負二項分布的高階原點矩的遞推公式，也揭示了負二項分布的高階原點矩與幾何分布的高階原點矩之間的聯系。

三、有關應用

應用定理2的遞推公式求幾何分布的高階原點矩，關鍵在于確定系數？姿i，下面分別就l的取值情況分別給出相應的？姿i的值，i=1，2，…，l-1。

當l=1時，？姿0=1；

當l=2時，？姿1=1；

當l=3時，

當l=4時，

設隨機變量X～G（p），下面我們應用定理2分別求出 E（X3）、E（X4）

由推論知，E（X）=■，E（X2）=■-■。

應用定理2得

同理可得

設隨機變量X～B-（n，p），下面應用定理2.3分別求E（x），E（x2），E（x3），X1，X2，…，Xn相互獨立，Xi～g（p），i=1，2，…，n。

以此類推，求出各階矩。

四、結束語

通過研究負二項分布的高階原點矩，給出了幾何分布、負二項分布的高階原點矩的遞推公式，也揭示了負二項分布的高階原點矩與幾何分布的高階原點矩之間的聯系。在教學中，可以根據學生的理解情況，進行多思路，多方法探討問題，培養學生的發散思維，激發學生學習及研究熱情。

參考文獻：

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