隨機產出下數量柔性采購策略研究

何 波,張 霞

(重慶大學經濟與工商管理學院，重慶 400030)

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隨機產出下數量柔性采購策略研究

何 波,張 霞

(重慶大學經濟與工商管理學院，重慶 400030)

本文研究制造商如何利用數量柔性采購管理供應商隨機產出帶來的風險。制造商的主要供應商的產出是隨機的且單價較低，另外一個供應商以數量柔性合同方式提供產品給制造商且單價較高。分別討論了確定需求和隨機需求下制造商的采購策略，分析了不同條件下制造商的訂貨決策，得出了制造商單源訂貨和雙源訂貨的條件。

供應不確定；隨機產出；數量柔性合同

1 引言

隨著全球化進程的加劇，原始設備生產商(Original Equipment Manufacturer)將制造業務外包給合同制造商(Contract Manufacturer)的生產模式已日漸成為企業的新選擇。在中國，超過90%的家電企業實行制造業務外包[1]。一方面，制造業務外包使得OEM可以有效降低生產成本使企業致力于研發和營銷，另一方面，制造業務外包使得OEM對CM的管理更加困難。例如：半導體等零部件生產的復雜性以及對精細化程度的高要求常常導致CM的隨機產出。越來越多的OEM認識到管理CM的隨機產出帶來的供應風險具有重要意義。例如蘋果公司的制造業務都是委托給富士康。但是近年來，蘋果公司不斷增加給另外一家合同制造商—和碩的制造訂單。通過這種將制造外包分散化的策略，蘋果公司能更好的管理供應風險[2]。

很多學者對合同制造商(供應商)隨機產出給原始設備制造商(制造商)帶來的供應風險管理策略進行了深入研究。Agrawal等[3]建立了分散訂貨的報童模型來管理供應風險。Krause等[4]研究指出在供應商產出狀態實現前，加強與供應商之間的合作能有效降低供應不確定帶來的負面影響。慕銀平等[5]研究表明使用價格柔性合同能有效降低供應風險提高供應雙方收益。Gupta等[6]研究了制造商競爭和供應風險環境下的緊急采購策略。Guo Shanshan等[7]提出在主要供應商的產出隨機情況下，通過事先向后備供應商預定容量可以緩解主要供應商帶來的風險。Babich[8]指出供應商資格審查或對供應商的可靠性進行投資能有效管理供應不確定性。李毅鵬等[9]研究了供需不確定下單零售商與多供應商組成的供應鏈的最優定價訂貨策略。也有文獻提出在隨機產出下通過供應鏈協調緩解供應風險[10-15]。

數量柔性合同是指制造商以批發價退還訂貨量的一部分給供應商。這種方式讓供應商分擔了一部分制造商庫存過剩的風險，激勵制造商訂貨，可以實現供應鏈協調。現有文獻研究了隨機需求下的數量柔性合同。鄭克俊[16]指出通過建立基于期權契約與數量柔性相結合的決策模型可以提高制造商和零售商的利潤實現供應鏈協調。Tsay[17]研究了多周期數量柔性合同下，供應鏈成員的行為與績效關系。Sethi[18]研究了多供應商多周期的數量柔性合同模型。Tsay和Lovejoy[19]探討了多周期不確定需求下數量柔性合同對供應商績效的影響。Chung[20]研究了由兩個供應商和一個零售商的組成的供應鏈，其中一個供應商提供柔性合同，另一個為提供固定批發價，他們分析了零售商的采購策略。如果供應商的產出是隨機的，能否使用數量柔性采購降低供應風險？以上文獻都沒有進行這方面的討論。僅有一篇文章分析了一個制造商采用柔性訂貨策略向一個產出隨機的供應商訂貨的模型[21]。

不同于以上研究，本文研究了由一個制造商和兩個供應商組成的分散式供應鏈。其中一個供應商為制造商長期合作的主要供應商，如蘋果公司的合作伙伴富士康，其產出是隨機的，稱為風險供應商；另一個供應商以數量柔性合同方式提供產品給制造商，但價格較高，稱為數量柔性供應商。制造商是否要從數量柔性供應商處采購？在什么條件下，數量柔性采購是一種更好的方式？制造商需要在成本和柔性之間取得平衡，才能有效管理供應風險。本文分別討論了需求確定和需求隨機下制造商的采購策略，分析了采購策略的結構性質，得出了實施單源采購和雙源采購策略的條件，求出了不同條件下制造商的最優訂貨量。討論了成本和柔性對制造商最優訂貨量和利潤的影響。

2 模型與分析

考慮由兩個供應商和一個制造商組成的供應鏈。其中一個是風險供應商(供應商1)，當制造商向它訂購Q單位產品時，由于隨機產出的影響，它實際提供xQ單位產品。其中x是[0,1]之間的隨機變量，其概率密度函數為f(x)，分布函數為F(x)，期望為μ1。為了降低供應風險，制造商以數量柔性采購的方式從另外一個供應商(供應商2)處采購產品。其單位價格比風險供應商的要高。制造商向供應商2預定q單位產品，當制造商獲得從風險供應商處的訂貨后，制造商可以修改訂貨量為qm。根據數量柔性合同的要求，修改的訂貨量只能在一定的范圍內：制造商可以至多取消βq單位的訂貨量，即至少訂購(1-β)q單位的產品。制造商的最終訂貨量qm∈[(1-β)q,q]，其中β∈[0,1]。制造商面臨的總需求為D，本文先分析需求確定時制造商的決策，然后分析隨機需求下制造商的決策。

2.1 參數及決策變量定義

本文用到的參數和決策變量如下：

w1供應商1的批發價格；

w2供應商2的批發價格，w1

pm制造商的單位缺貨成本；

v制造商的單位產品殘值；

p銷售價格；

D市場需求；

Q制造商向供應商1的訂購數量(決策變量)；

q制造商向供應商2提出的預購數量(決策變量)；

(1-β)q供應商2至少提供給制造商的數量；

Π1需求確定時制造商實施雙源采購的利潤；

Π2需求確定時制造商只向供應商1訂貨時的利潤；

Π3需求隨機時制造商的利潤。

2.2 需求確定下制造商的采購策略

制造商面臨確定需求，它向供應商1以批發價訂購Q單位產品，同時以數量柔性方式向供應商2 預定q單位產品。根據數量柔性合同的要求，當制造商預定量為q時，供應商2至多提供q，當然制造商最終至少購買(1-β)q。因此，制造商的利潤函數為：

Π1=pmin(D,xQ+q)-w1xQ-w2min(max(D-xQ,(1-β)q),q)-pmmax(D-xQ-q,0)+vmax(xQ+(1-β)q-D,0)

(1)

其中第一項為制造商獲得的總收入，第二項為制造商向供應商1訂貨的成本，第三項為制造商向供應商2訂貨的成本，第四項為制造商的缺貨成本，最后一項為剩余產品的殘值。為了與現實情況相符，參數需要滿足下列關系：p>w2>w1>pm>v>0。經過化簡，制造商的利潤函數(1)式為：

Π1=-(p+pm-w2)(D-q-xQ)+-(w2-v)(D-(1-β)q-xQ)+-(w1-v)xQ-(w2-v)(1-β)q+(p-v)D則期望利潤函數為：

(2)

我們首先分析(2)式的性質。

定理1 制造商的期望利潤E(Π1)是關于Q和q的凹函數。

證明 對(2)式關于Q和q求導，得到：

通過驗證海塞矩陣和其主子式|H1|和|H2|，我們得到：

因為海塞矩陣為負定，因此E(Π1)是關于Q和q的凹函數。

得證。

根據(1)式，制造商的優化問題為：

引理1 對于制造商而言，不可能存在Q*=0且q*>0。

證明 引入拉格朗日乘子λ1和λ2，拉格朗日函數為L(Q,q,λ1,λ2)=E(Π1)+λ1Q+λ2q，由KKT定理，有以下條件成立：

如果q*>0，由條件② 可得λ2=0，如果Q*=0，則A=B=∞，即F(A)=F(B)=1，代入條件④可得p+pm=w2，與p>w2矛盾，所以Q*=0，q*>0不能同時成立。

引理1表明，當制造商面臨一個風險供應商和一個提供數量柔性的供應商時，制造商不應該只從提供數量柔性的供應商處訂購，這不是最優決策。

(3)

(4)

性質1非常直觀。下面的定理2給出了制造商只從風險供應商處訂貨的充要條件。

證明 假設Q*>0，q*=0，由KKT條件①和②，可得λ1=0,λ2≥0,代入KKT條件③，④得：

推論1 當制造商同時向兩個供應商訂貨時，若隨機變量x服從[μ1-a1,μ1+a1]的均勻分布，那么制造商向供應商的最優訂貨量分別為：

求解上述方程組即得推論1。

得證。

性質2 當數量柔性供應商的柔性增加或者其批發價下降，或風險供應商的批發價增加時，制造商同時向兩個供應商訂貨(雙源采購)的可能性增加。

性質3 當制造商同時向兩個供應商訂貨時：(1)最優訂貨量Q*(q*)分別隨著銷售價、缺貨成本的增加而遞減(增加)；(2)Q*(q*)隨著數量柔性供應商的批發價的增加而增加(遞減)；(3)Q*(q*)隨著風險供應商的批發價的增加而遞減(增加)。

上述性質可通過對一階條件求全微分得到。性質3(1)表明當銷售價或缺貨成本增加時，制造商應該更多的從數量柔性供應商處訂購同時減少從風險供應商處的訂購量。性質3(2)表明當數量柔性供應商的批發價增加時，制造商應該增加從風險供應商處的訂貨同時減少從數量柔性供應商處的訂貨。性質3(3)表明當風險供應商的批發價增加時，制造商應該減少從風險供應商處的訂貨同時增加從數量柔性供應商處的訂貨。

2.3 需求隨機下制造商的采購策略

當制造商面臨的隨機需求D，其概率密度函數為g(y)，分布函數為G(y)，期望為μ2。制造商利潤函數為：

Π3=-(p+pm-w2)(D-q-xQ)+-(w2-v)(D-(1-β)q-xQ)+-(w1-v)xQ-(w2-v)(1-β)q+(p-v)D，

期望利潤函數為：

E(Π3)=-(p+pm-w2)E(D-q-xQ)+-(w2-v)E(D-(1-β)q-xQ)+-(w1-v)μ1Q-(w2-v)(1-β)q+(p-v)μ2

(5)

我們首先分析期望利潤函數的性質。

定理3 制造商的期望利潤E(Π3)是關于Q和q的凹函數。

證明 由(5)式，易得E(D-q-xQ)+和E(D-(1-β)q-xQ)+是關于Q和q的凹函數，-(w1-v)μ1Q和(w2-v)(1-β)q分別是Q和q的線性函數。由于凹函數和線性函數的和函數還是凹函數，所以E(Π3)是關于Q和q的凹函數。

得證。

下面分別求期望利潤E(Π3)關于Q和q的一階導數：

(6)

其中I{·}為指示函數，當{·}成立時有I{·}=1，否則I{·}=0。

下面的定理給出了隨機需求下的最優訂貨量。

定理4 當且僅當有λ3,λ4≥0滿足下式時，存在最優訂貨量(Q*,q*)。

(7)

證明 由定理3可知期望利潤函數是關于Q和q的凹函數，由KKT條件可以得到最優訂貨數量Q*和q*。由于λ3,λ4≥0，所以有Q≥0,q≥0。③和④是(7)式的互補松弛條件，因此KKT條件是最優訂貨量的充分必要條件。

由于(6),(7)式的復雜性，無法得到解析解，我們將通過數值計算討論最優訂貨量的性質。

3 數值分析

本節分析需求確定和需求隨機情況下，隨機產出、采購成本和柔性對采購策略和利潤的影響。

3.1 需求確定

3.1.1 隨機產出的變差系數和柔性對訂貨量和利潤的影響

表1給出了風險供應商產出率的變差系數對制造商最優訂貨量和利潤的影響。Q*隨著CV的增加而減小；q*隨著CV的增加而增加；E(Π1)隨著CV的增加而減少。原因是隨著CV的增加，風險供應商相對于數量柔性供應商更加沒有優勢，制造商將減少從風險供應商處的訂購量，同時增加從數量柔性供應商處的訂購量，這也將導致制造商的采購成本上升，因此其期望利潤將下降。

表1 隨機產出的變差系數對最優訂貨量及利潤的影響(需求確定)

表2 柔性參數β對最優訂貨量及利潤的影響

3.1.2 供應商批發價格對訂貨量的影響

圖1和圖2反映了需求確定下制造商的最優采購策略是基于數量柔性的雙源采購策略時批發價格對制造商訂貨策略的影響。圖1反映了Q*隨著風險供應商的批發價格w1的增加而減少，q*隨著w1的增加而增加。圖2正好與圖1相反，表明供應商價格的增加會導致制造商減少對該供應商的訂貨，這也符合實際情況。

圖1 最優訂貨量關于w1的變化情況

圖2 最優訂貨量關于w2的變化情況

3.1.3 銷售價格和缺貨成本對訂貨量和利潤的影響

表3反映了最優訂貨量和利潤關于p和pm的變化情況。Q*隨著銷售價格p的增加而減少，q*隨著p的增加而增加，E(Π1)隨著p的增加而增加。Q*隨著懲罰成本pm的增加而減少，q*隨著pm的增加而增加，E(Π1)隨著pm的增加而減少。表3說明隨著銷售價格和懲罰成本的增加，制造商會減少向風險供應商的訂貨，增加向柔性供應商的訂貨。因為來自柔性供應商的可靠訂貨量保證了制造商的利潤且避免了損失，這與性質3(1)的理論結果是一致的。

表3 銷售價格和缺貨成本對最優訂貨量及利潤的影響

3.2 需求隨機

假設制造商面臨的隨機需求服從均勻分布D～U[μ2-a2,μ2+a2]，其中μ2=200，a2=25，其他參數設置與3.1節相同。通過數值分析進一步得到需求隨機下，隨機產出的變差系數、柔性、批發價格、對制造商最優采購策略和利潤的影響。

3.2.1 隨機產出的變差系數和柔性對訂貨量和利潤的影響

表4和表5分別給出了在需求隨機下風險供應商產出率的變差系數、柔性參數β對制造商最優訂貨量及利潤的影響。隨機需求下最優訂貨量Q*和q*以及期望利潤的變化情況與需求確定情況一致。這是因為隨機需求并沒有改變供應端特征(產出率的變差系數、柔性參數)對最優訂貨量及利潤的影響趨勢；但是改變了供應端特征對最優訂貨量及利潤的影響大小。對比表1和表4，表2和表5，有如下觀察結果：

需求確定下的最優訂貨量Q*比需求隨機下的最優訂貨量Q*小；需求確定下的最優訂貨量q*比需求隨機下的最優訂貨量q*大；需求確定下的期望利潤E(∏1)比需求隨機下的期望利潤E(∏1)大。由于需求的隨機性增大了供需匹配的難度，使得供需更加不平衡，導致隨機需求下的期望利潤下降。

表4 隨機產出的變差系數對最優訂貨量及利潤的影響(需求隨機)

表5 柔性參數β對最優訂貨量及利潤的影響(需求隨機)

3.2.2 供應商批發價格對訂貨量的影響

圖3和圖4反映了在需求隨機下供應商的批發價格對制造商的訂貨量的影響。圖3反映了Q*隨著風險供應商的批發價格w1的增加而減少，q*隨著w1的增加而增加。圖4正好與圖3相反，表明供應商批發價格的增加會導致制造商減少對該供應商的訂貨。

圖3 最優訂貨量關于w1的變化情況

圖4 最優訂貨量關于w2的變化情況

3.2.3 隨機需求的變差系數對最優訂貨量和利潤的影響

表6給出了隨機需求的變差系數對最優訂貨量及利潤的影響。隨著需求的變差系數的增加，最優訂貨量Q*增加，q*減少，期望利潤下降。表6的結果與3.2.1的觀察結果類似。隨著需求不確定性的增加，制造商從價格更便宜的風險供應商處增加訂貨來平衡需求，同時減少從數量柔性供應商處的訂貨，這導致供需匹配更難達到，使得期望利潤下降。將表6與表4對比后發現：隨機產出的變差系數和隨機需求的變差系數增加都降低了制造商的利潤，但是對于訂貨量的影響是相反的：風險供應商的訂貨量隨著隨機產出的變差系數的增加而減少，隨著隨機需求的變差系數的增加而增加；數量柔性供應商的訂貨量隨著隨機產出的變差系數的增加而增加，隨著隨機需求的變差系數的增加而減少。這說明，隨機產出帶來的風險不同于隨機需求帶來的風險，管理隨機需求的策略不一定能很好的管理隨機產出，需要我們仔細的審視。

表6 隨機需求的變差系數對最優訂貨量及利潤的影響

4 結語

本文研究了供應商隨機產出時，制造商如何利用數量柔性采購策略管理供應風險的問題。通過理論分析與數值計算，本文得到以下主要結論：

(1)成本和柔性對于制造商的采購決策有重要影響，制造商需要在兩者之間進行平衡。當數量柔性供應商的柔性增加或者其批發價下降，或風險供應商的批發價增加時，制造商同時向兩個供應商訂貨(雙源采購)的可能性增加。

(2)隨機產出和隨機需求對制造商訂貨決策的影響是不同的，但是都會降低制造商的期望利潤。通常，管理需求風險的策略不一定能管理好供應風險。基于數量柔性合同的雙源采購不一定優于單源采購。在一定條件下，基于數量柔性合同的雙源采購可以有效的管理供應風險，提高制造商的期望利潤。

(3)對于制造商而言，放棄單位成本較低的風險供應商，只從提供數量柔性的供應商處采購，不是最優決策。對于數量柔性供應商而言，提供更多的柔性不一定增加獲得的訂貨量，反而會增加風險供應商的訂貨量；對風險供應商而言，降低其產出率不確定性，能增加其獲得的訂貨量；對風險供應商和數量柔性供應商而言，給定對手不降價，降低批發價能增加獲得的訂貨量。

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Quantity Flexible Procurement Strategy Under Random Yield

HE Bo, ZHANG Xia

(School of Economics and Business Administration, Chongqing University, Chongqing 400030.China)

Random yield of the upstream supplier is often seen in the semiconductor, electronics and chemical industries, which has a significant negative impact on the downstream manufacturer’s operations. Since the major supplier’s (risky supplier) yield is random, to mitigate supply risk, the manufacturer can procure from an alternative reliable supplier (QF supplier) with quantity flexibility contract. So, the manufacturer faces a problem of how to determine its procurement strategy in the presence of random yield. Using stochastic modelling and optimization, the manufacturer’s optimal procurement decisions are investigated under deterministic and stochastic demand, respectively. The structural properties of optimal solutions are analyzed and the conditions under which the quantity flexibility procurement policy should be used are identified. Furthermore, by theoretical analysis and numerical computations, the effect of random yield, flexibility, wholesale price and demand risk on the procurement decisions are examined. It is found that the higher supply risk and demand risk reduce the manufacturer’s expected profit but have different impacts on the manufacturer’s order decisions. For the QF supplier, it may not obtain more orders by providing larger flexibility to the buyer，on the contrary, doing this may benefit the risky supplier. For the QF supplier or risky supplier, given its competitor’s wholesale price, it can increase its order share by lower wholesale price. Our results can facilitate the manufacturer to mitigate its supply risks.

supply uncertainty; yield uncertainty; quantity flexibility contract

1003-207(2017)05-0052-09

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.05.007

2015-06-21；

2016-02-14

國家自然科學基金資助項目(71572021);中央高校基本科研業務費(106112016CDJXY020014)

何波(1977-)，男(漢族)，湖南長沙人，重慶大學經濟與工商管理學院，教授，博士生導師，研究方向：物流與供應鏈管理，E-mail: hebo@cqu.edu.cn.

F274

A