博弈參與水平對無標度網絡上合作行為演化的影響

謝逢潔，武小平，崔文田，陳子鳳

(1.西安郵電大學經濟與管理學院，陜西 西安 710061；2.西安交通大學管理學院，陜西 西安 710049)

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博弈參與水平對無標度網絡上合作行為演化的影響

謝逢潔1，武小平1，崔文田2，陳子鳳1

(1.西安郵電大學經濟與管理學院，陜西 西安 710061；2.西安交通大學管理學院，陜西 西安 710049)

通過仿真實驗分析囚徒困境博弈和雪崩博弈在無標度網絡上的動態演化，進而考察個體的博弈參與水平對無標度網絡上合作行為演化的影響。在理論模型中，個體的博弈參與水平通過個體每次博弈的交互作用鄰居數量來衡量。實驗結果表明,個體的博弈參與水平表現出對無標度網絡合作行為的正向影響作用，無標度網絡上的群體合作水平隨著個體博弈的交互作用鄰居數量增多而提高。通過結果分析發現，不同連接度的個體在博弈參與水平提高的條件下，均表現出更強的抵御背叛的能力；其主要原因在于，高連接度個體在積極參與博弈的條件下更趨向于合作，進而影響到低連接度個體對合作行為的選擇。

無標度網絡；囚徒困境博弈；雪崩博弈；合作行為；博弈參與水平

1 引言

理解自利個體如何形成廣泛合作是演化博弈理論研究的核心問題。到目前，最為突出的5個解釋合作行為的機制包括親緣選擇、團隊選擇，直接互惠，間接互惠，以及空間結構[1]。

空間結構對群體合作行為的影響研究始于Nowak和May[2]用仿真方法研究空間規則格子上囚徒困境博弈的演化。其研究結果表明，群體可以形成較為廣泛的合作，博弈個體在空間規則格子上形成的合作者聚集結構對于廣泛合作的產生和維持至關重要。此后，大量研究進一步證明了空間格子對合作行為的促進作用[3-7]。然而，Hauert 和Doebeli[8]的研究工作修正了這個認識。通過在空間格子上研究雪崩博弈的演化，他們發現空間格子對合作行為的抑制作用。空間格子在不同博弈情境下對合作行為的不同作用進一步激發了研究者們對合作行為產生機理的探索。隨著復雜網絡理論研究的興起，無標度網絡對合作行為的影響作為熱點問題受到廣泛關注[9-18]。

在復雜網絡理論中，一個節點連接的邊數定義為該節點的“度(Degree)” ，也稱為“連接度”。無標度網絡中有少數節點有著非常高的連接度，常被稱為高連接度節點或hub 節點，這與度同質的規則格子完全不同。當考慮hub節點所具有的資源優勢并以累積收益法度量個體的博弈收益時，無標度網絡在囚徒困境博弈和雪崩博弈情境下都對合作行為有著非凡的促進作用[9-10]，其上的合作水平遠遠高于規則格子上的合作水平。但是，文獻[11]提出，hub節點的連接數量非常高，在有限的時間和精力條件下，可能使得他與每個鄰居的交互作用頻率低于那些低連接度節點，進而建議用平均收益度量個體的博弈收益。研究發現，當用平均收益度量個體的博弈收益時，無標度網絡不再對合作行為產生非凡的促進作用，其上的合作水平與規則格子上的合作水平接近[11-12]。近來，網絡合作行為的涌現問題已經從理論仿真研究擴展到社會實驗研究[19-24]. Carlos 等采用1229個真實社會個體構建了無標度網絡和方格網。在平均收益的度量方法下，發現兩個網絡上的合作水平幾乎相同，進而得出無標度網絡并不具有對合作行為突出的促進作用[19]。那么，以上這些相互沖突的結果產生了新的研究問題：無標度網絡中博弈個體的收益應該如何科學合理地度量？無標度網絡對合作行為是否具有非凡的促進作用？這些問題是理論研究亟待解決的，也是本文的研究重點。

在現有研究中，無論是用累積收益還是平均收益度量個體的博弈收益，網絡中每個個體均能與自己的所有鄰居進行交互作用。當用累積收益進行度量時，一個個體的博弈收益為該個體與每個鄰居交互作用產生的收益的加和；當用平均收益進行度量時，一個個體的博弈收益為將該個體與每個鄰居交互作用產生的收益進行加和后，再除以該個體的鄰居數量。因此，平均收益度量方法反映了一個隱含假設，即網絡中每個個體有相同的交互作用能力，其博弈收益可用其與一個鄰居交互作用所獲收益的平均水平進行度量。事實上，在一個社會網絡中，如果一個個體比大多數個體有著更多的連接關系，則意味著他更加擅長建立和維持社會關系。即使由于時間和精力的限制，他無法在每次博弈中和所有鄰居進行交互作用，但是，與那些低連接度個體相比，他必然能夠與更多的鄰居進行交互作用。這是更好的社會技能，更多的資源和機會的必然結果，并在現實社會網絡中普遍存在[25]。此外，現有研究發現，在平均收益度量方法下，無標度網絡中高連接度個體的博弈收益反而遠遠小于低連接度個體的博弈收益[12]。這明顯與現實世界的真實情況相違背，進而說明平均收益過度消除了高連接度個體具有的連接數量優勢。鑒于此，本文提出，只要對個體的交互作用給予一定的約束，將個體的時間和精力限制清晰地體現出來，個體與鄰居交互作用產生的收益的加和，即累積收益度量所采用的方法，則非常適合于度量無標度網絡中個體的博弈收益，因為它反映了個體之間連接關系的差異，體現出無標度網絡的典型特點。

基于以上思考，本文用仿真實驗研究囚徒困境博弈和雪崩博弈在無標度網絡上的動態演化。研究中提出一個新的博弈個體的交互作用模式，即博弈個體的交互作用數量有一定的限制，表達了博弈個體參與交互作用的水平，反映了現實社會中個體有限的時間和精力。在此基礎上，用累積收益的方法度量個體的博弈收益，進而探討個體博弈參與水平對無標度網絡合作行為的影響，并考察無標度網絡是否對合作行為有著非凡的促進作用。在以往的研究中，也有大量文獻關注于對個體交互作用模式的研究。Xu Bo等[26]提出交互作用具有強度，并研究了囚徒困境博弈在在線社會網絡上的動態演化，Fu Feng等[27]提出交互作用具有動態性，并研究了合作行為在動態網絡上演化，Kim等[28]提出個體在與不同的鄰居進行交互作用時具有差異性，并在4種不同的網絡上研究了囚徒困境博弈的演化，Bausch[29]提出與鄰居進行隨機的交互作用，并發現了比與確定鄰居進行交互作用更高的合作水平。本文則是對博弈個體的交互作用數量提出了限制，是關于個體交互作用模型的新思考和研究。

2 模型構建

2.1 個體的博弈關系

個體之間的博弈關系采用Barabási和Albert[30]的BA無標度網絡模型來描述。無標度網絡的生成方法為：初始網絡中有m0個孤立的個體；然后，在每個時刻，一個帶有m條邊的新個體加入到網絡中，并連接到網絡中m(m≤m0)個現有個體上。新節點與網絡中現有節點i進行連接的概率為：

(1)

其中N0為當前網絡系統中總的節點數。經過t時間間隔后，該算法產生一個具有m0+mt個節點、mt條邊的無標度網絡。

個體位于無標度網絡的節點上，如果博弈個體i和j之間有一條邊，他們互為鄰居。與以往研究假定每個個體可以和所有鄰居進行博弈有所不同，本文假定每個個體在一輪博弈中最多能和W個鄰居進行交互作用。W的取值表達了博弈個體參與交互作用的水平，反映了現實社會個體有限的時間和精力。那么，與博弈個體i有實際交互作用的個體稱作其交互作用鄰居。在這樣約束條件下，連接度大于W的博弈個體在每輪博弈中只能和一部分鄰居進行博弈。相應地，一個高連接度個體的鄰居很可能與他沒有頻繁的交互作用。這反映了現實世界中個體交互作用的真實情況。下面，將W稱作‘博弈參與水平’，其不同的取值代表了個體的交互作用差異。

2.2 個體的博弈行為及其演化機制

(1)個體的博弈行為

個體之間的博弈行為采用囚徒困境模型(Prisoner’s Dilemma Game，簡稱PDG)和雪崩模型(Snowdrift Game，簡稱SG)進行描述[31]。

在囚徒困境博弈中，兩個博弈者同時決定合作還是背叛。合作產生收益b，但同時承擔成本c(b>c>0)。二者共同合作則得到各自得到凈收益R=b-c，二者共同背叛則都沒有任何收益，即收益為P=0。 如果一個合作，另一個背叛，則背叛者得到最高的凈收益T=b，而合作者承擔了成本但沒有任何收益，即凈收益為S=-c。顯然，無論博弈對手的決策是什么，背叛都是自身最好的選擇。相應地，群體的演化穩定狀態是全體背叛，不產生任何收益，盡管所有的個體都合作會產生最高的群體收益。這是收益關系T>R>P>S導致的必然結果。

根據以上描述，囚徒困境博弈和雪崩博弈的收益矩陣可用圖1表示。其中，C表示合作策略，D表示背叛策略。

圖1 博弈矩陣

(2)個體博弈行為的演化機制

(2)

pi←j=(Uj-Ui)/Dk>

(3)

3 仿真實驗設計及結果

3.1 實驗設計

基于以上的模型描述，本文采用Matlab編程，用Monte Carlo方法研究無標度網絡上囚徒困境博弈和雪崩博弈的演化，仿真實驗的總人數設定為N=1000。

圖1 1000個節點的無標度網絡中，最高連接度的水平

然后，按照1.2節的模型描述，個體在每個博弈時刻t進行交互作用鄰居選擇，并與交互作用鄰居進行博弈以獲得收益。在初始時刻t=0，個體隨機選擇C策略或D策略作為自己初次博弈的策略。將選擇C策略的個體稱為合作者，將某個博弈時刻合作者在整個群體中所占的比例稱為合作者密度fC(t)，則有fC(t)=nC(t)/N(其中，nC(t)表示t博弈時刻群體中合作者的數量)。那么，初始時刻的合作者密度fC(0)大約為0.5。個體在獲得博弈策略后，選擇交互作用鄰居并進行博弈，按公式(2)獲得博弈收益，然后根據策略更新規則(3)進行策略調整，調整完后的策略作為自己下一次博弈時使用的策略。個體在每次博弈后對自身策略的調整使得合作者密度在下一次博弈前發生變化，形成動態演化的過程。

3.2 仿真結果

圖3中的子圖(a)和(b)分別給出在囚徒困境博弈(PDG)和雪崩博弈(SG)情境下，無標度網絡上的合作者均衡密度PC與背叛誘惑參數b和r的關系。博弈參與水平W對合作水平的影響可以通過比較每個子圖中不同顏色的曲線發現。其中，黑色十字線為將模型中的博弈參與水平W參數設置為W=1000時的結果。由于當前仿真實驗的總人數N=1000，參數W=1000的設置等同于個體在交互作用時沒有任何限制，可以與所有鄰居進行交互作用。

由圖3可以看出，對于每個固定的博弈參與水平W, 合作者均衡密度PC都隨著背叛誘惑參數b和r的增大而減小。也就是說，在兩種博弈情境下，背叛誘惑的程度越高，群體合作的狀態越差。同時，隨著博弈參與水平W的提高，合作者均衡密度PC明顯增大，這意味著博弈個體積極參與交互作用對于涌現出高水平的合作狀態至關重要。特別值得注意的是，當博弈參與水平增大到W=16時, 只有非常高的背叛誘惑 (b>1.7 andr>0.7) 能夠使得合作者均衡密度小于個體在沒有任何交互作用限制時的合作者均衡密度。這樣的研究結果意味著，只要高連接度的博弈個體能與小部分鄰居進行交互作用，無標度網絡就能表現出非凡的促進合作的能力，進而說明無標度網絡是一種非常好的適合涌現出高水平合作狀態的網絡形式。

(a) 囚徒困境博弈情境, b=1.5; (b) 雪崩博弈情境, r=0.5圖2 合作者密度fC(t)的動態演化過程

圖3 合作者均衡密度PC與背叛誘惑b和r之間的關系. (a) 囚徒困境博弈情境; (b) 雪崩博弈情境

圖4 不同博弈參與水平W條件下，無標度網絡上連接度為k的個體在最終演化時刻的合作者密度PC(k)。背叛誘惑取值為b=1.35和r=0.65。 (a) 囚徒困境博弈情境; (b) 雪崩博弈情境。

4 結果分析及討論

仿真中的無標度網絡有著相同的度分布，因此可以檢查群體中連接度為k的個體在最終演化時刻的合作者密度PC(k)，進而幫助我們理解實驗結果。PC(k)采用文獻[14,15]給出的計算方法：對于給定仿真參數(即給定的博弈參與水平W，背叛誘惑b或r)，在群體一次演化的最后時刻，統計連接度為k的個體數量n(k)和合作者數量c(k)，那么PC(k)=∑lcl(k)/∑lnl(k)(其中，l表示對于給定參數所進行的重復實驗次數，l=20)。圖4給出背叛誘惑b=1.35和r=0.65時，在不同博弈參與水平條件下，無標度網絡上連接度為k的個體在最終演化時刻(t=5000)的合作者密度PC(k)。選擇b=1.35和r=0.65進行分析的原因在于，在該背叛誘惑程度下，合作者均衡密度PC在不同博弈參與水平W下有著明顯的差異(見圖3)，能夠更好地呈現不同連接度個體在最終演化時刻的合作者密度PC(k)。

由圖4可見，在囚徒困境博弈和雪崩博弈情境下，連接度為k的個體在最終演化時刻的合作者密度PC(k) 表現出相似的行為。首先，對于連接度水平較低的博弈個體(k<20)，更高的博弈參與水平W必然對應著更高的PC(k)；對于連接度水平較高的博弈個體(k>50)，更高的博弈參與水平W對應著更多的PC(k)=1，即完全合作狀態；對于連接度處于20至50的博弈個體，更高的博弈參與水平W對應著更高平均水平的PC(k)。這說明，隨著博弈參與水平W的增大，個體能夠進行博弈交互作用的鄰居數量增多，不同連接度的個體均表現出更強的抵御背叛的能力。

由圖5可以看出，博弈參與水平W=4時，所有高連接度的博弈個體都選擇背叛行為；當博弈參與水平增加到W=6 和W=8時，越來愈多高連接度的博弈個體選擇合作行為；當博弈參與水平增加到W=16時，所有高連接度的博弈個體選擇合作行為。這意味著，博弈參與水平W影響到了高連接度博弈個體的行為選擇，在積極參與博弈的條件下，高連接度個體趨向于合作而非背叛。特別是當W=16時，連接度k高于16的博弈個體全部選擇了合作行為，且幾乎都獲得了累積收益UC(k)=12.3。在雪崩博弈情境下，r=0.65對應著收益參數取值為β=T=1.269，R=0.769，S=0.269，P=0。那么，一個合作者可以從一個C-C博弈關系中獲得收益0.769，從一個C-D博弈關系中獲得收益為0.269。如果一個合作者C與W=16個鄰居進行交互作用并且獲得收益為12.3，即12.3/16=0.769，則說明他所有的交互作用鄰居必然都是合作者C。也就是說，當博弈參與水平W足夠高時，選擇合作行為的較高連接度的博弈個體有非常強的能力保護自己的交互作用鄰居不被背叛行為所入侵，從而使得整個群體的合作密度水平較高。

5 結語

基于對現實社會個體有限時間和精力的考慮，本文通過仿真實驗分析囚徒困境博弈和雪崩博弈在無標度網絡上的動態演化，進而考察博弈個體的博弈參與水平對無標度網絡合作行為的影響。研究中提出一個新的博弈個體的交互作用模式，即其交互作用數量有一定的限制，表達了個體參與博弈的水平，反映了現實社會中個體有限的時間和精力。研究結果表明，在兩個不同的博弈情境下，無標度網絡上的群體合作水平都隨著博弈個體交互作用數量的增多而提高。也就是說，博弈個體積極參與博弈表現出對無標度網絡合作行為的正向影響作用。當無標度網絡中高連接度的個體與大約百分之二十的鄰居個體進行博弈時，群體即可達到高水平的合作狀態。這說明，無標度網絡非常有利于促進合作行為的演化。進一步的結果分析顯示，隨著博弈個體交互作用數量的增多，不同連接度的個體以不同的形式表現出更強的抵御背叛的能力；其主要原因在于，高連接度個體在積極參與博弈的條件下更趨向于合作而非背叛，進而影響到其周圍的低連接度個體也選擇合作行為，從而形成合作者的聚集。研究結果的啟示是，社會組織中的高連接度個體如領導或核心成員，由于時間和精力的約束，往往會忽略與其他組織成員(特別是那些有著一定工作關系但卻不經常接觸的組織成員)的交互作用，這對于組織形成高水平的合作狀態沒有好處。領導或核心成員應有意識地積極與其他組織成員進行交互作用，以期獲得高水平的組織合作狀態。

本文基于復雜網絡演化博弈理論研究了群體的合作行為。近年來，一些學者運用復雜網絡演化博弈理論研究產業集群的演化問題。如張宏娟等基于集群微觀異質性主體的視角，構建了傳統產業集群低碳演化的模型，進行了低碳策略涌現、競爭的演化情景仿真研究[32]。吳結兵等通過對紹興縣紡織業集群30年演化歷程的縱向案例研究，考察了企業適應性行為、網絡化與集群發展之間的相互影響[33]。接下來，如何將復雜網絡演化博弈理論更加廣泛地應用于現實問題的研究，是學術界需要積極思考的問題。

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The Effect of Player Participation on the Evolution of Cooperative Behaviors in Scale-free Networks

XIE Feng-jie1， WU Xiao-ping1，CUI Wen-tian2，CHEN Zi-feng1

(1.College of Economics and Management, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710061, China; 2.School of Management, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

The evolution of cooperation in prisoner’s dilemma game (PDG) and snow game (SG) on scale-free networks has been explored in this study. One-shot two-person game is played between neighbors on scale-free networks. Players have two possible strategies, cooperate or defect, and the strategies evolve according to the update rule of limited population analogue of replicator dynamics. Different from previous studies in which a player can interact with all his neighbors in every round of the game, this work proposes a new interaction pattern of players. A player can interact with at mostWneighborsineveryroundofthegame,whoarenamedasinteracting-neighbors.ThevalueofWreflectsthelimitedtimeandenergyofplayers,andthusdescribesthelimitedinteractionlevelofplayersinanetworkedPDGandSG.Resultsindicatethatahigh-levelofcooperationinPDGandSGcanbeachievedonscale-freenetworksaslongashigh-connectivityplayersinteractwithasmallfractionoftheirneighbors,andtheinteractionlevelsofplayershavesignificantpositiveeffectsoncooperation.Theseresultssuggestthatevenifindividualsinrealworldhavelimitedtimeandenergytointeractwitheachother,theycouldstillpreservecooperationbecausetheirinteractionsarerootedinactualscale-freenetworks.Moreover,high-connectivityindividualssuchasleadersordirectorsinanorganization,whogenerallypreferinteractingwitheachotherinrealworld,playanimportantroleintheevolutionofcooperation.Currentworkprovidesanewinteractionmechanisminnetworkedgameandcontributestounderstandingtheemergenceofcooperationinrealsociety.

scale-free networks; prisoner’s dilemma game; snowdrift game; cooperative behavior; game participation level

1003-207(2017)05-0116-09

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.05.014

2015-08-14；

2016-03-21

國家自然科學基金資助項目(71072128);國家社會科學基金資助項目(15BGL014); 教育部人文社科基金資助項目(12YJCZH226)；西安郵電大學西郵新星團隊基金(XYXX201406)

謝逢潔(1974-), 女(漢族), 重慶人,西安郵電大學經濟與管理學院副教授，博士， 研究方向：復雜網絡理論及其應用,E-mail: fengjie_xie@163.com.

O157.5;N941.4

A