給思考一個(gè)支點(diǎn)
——以畫(huà)圖助推問(wèn)題的解決

浙江省臨海市東塍鎮(zhèn)中心校 滕靈麗

給思考一個(gè)支點(diǎn)
——以畫(huà)圖助推問(wèn)題的解決

浙江省臨海市東塍鎮(zhèn)中心校 滕靈麗

當(dāng)今課堂 “解決問(wèn)題”教學(xué)中存在諸多問(wèn)題，“畫(huà)圖策略”能幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，搜尋到解決問(wèn)題的突破口。本文從創(chuàng)設(shè)情境，體驗(yàn)畫(huà)圖價(jià)值；注重策略，學(xué)習(xí)畫(huà)圖方法；數(shù)形結(jié)合，運(yùn)用畫(huà)圖策略等三方面入手，讓學(xué)生想畫(huà)圖、會(huì)畫(huà)圖、用好圖，以此達(dá)到“還學(xué)于生”的目的。

解決問(wèn)題；畫(huà)圖；策略；數(shù)形結(jié)合；幾何直觀

“幾何直觀”是數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)里提出的十個(gè)核心概念之一。《標(biāo)準(zhǔn)》里提出“幾何直觀”主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題，借助它可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。畫(huà)圖作為幾何直觀的一種表現(xiàn)形式，可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用。“解決問(wèn)題”因其自身存在的抽象性與邏輯性，教師教學(xué)的重點(diǎn)大多放在數(shù)量關(guān)系結(jié)果的概括，而忽視了學(xué)生對(duì)于尋找數(shù)量關(guān)系的過(guò)程探究。要重視學(xué)生的學(xué)情，重視學(xué)生對(duì)于數(shù)量關(guān)系的過(guò)程探究，至關(guān)重要的是如何把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化成學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)的有趣知識(shí)。“畫(huà)圖策略”能幫助學(xué)生直觀形象地理解題意，調(diào)動(dòng)各種感官參與審題活動(dòng)，有助于快速理解題意、正確分析數(shù)量關(guān)系，搜尋到解決問(wèn)題的突破口。

因此，要在解決問(wèn)題中融入“畫(huà)圖策略”，重視引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用畫(huà)圖的方法分析數(shù)量關(guān)系，解決問(wèn)題，唯此，方能讓“每一朵花都開(kāi)放，每一只鳥(niǎo)都歌唱”。

第一，融解題以“圖”，滿足教材改編的需求。新課改以來(lái)，小學(xué)數(shù)學(xué)從內(nèi)容的編排、教學(xué)目標(biāo)的定位及教學(xué)的方法都發(fā)生了翻天覆地的變化，尤其是關(guān)于解決問(wèn)題中的策略問(wèn)題。新課程改革中，小學(xué)數(shù)學(xué)將傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)并入了“解決問(wèn)題”中，將應(yīng)用題從“有形”變成“無(wú)形”，散落于各知識(shí)之間，使得“問(wèn)題”的解決更加生活化、靈活化。而畫(huà)圖的策略因其本身存在的特殊性，恰能“應(yīng)景掛畫(huà)”。

第二，融解題以“圖”，符合學(xué)生的認(rèn)知水平。小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，正處在以形象思維為主向抽象思維過(guò)渡的階段。許多數(shù)學(xué)問(wèn)題多以文字形式呈現(xiàn)，純文字的問(wèn)題語(yǔ)言表述上比較言簡(jiǎn)，枯燥乏味，至使他們常常讀不懂題意。而圖形不僅直觀、簡(jiǎn)潔、利于思考，而且其信息量大，概括性強(qiáng)，有助于記憶，不僅符合小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，能夠有效地促進(jìn)學(xué)生的理解過(guò)程，強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量。

第三，融解題以“圖”，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)是世界上無(wú)法由別人代替完成的事，必須由學(xué)生自己來(lái)實(shí)踐。盡管教師的教也很重要，但畢竟只是外因，而學(xué)生的自主學(xué)習(xí)才是內(nèi)因。然而，學(xué)生學(xué)習(xí)自主性不高是當(dāng)今數(shù)學(xué)課堂普遍存在的問(wèn)題，很多時(shí)候并非學(xué)生不想自主學(xué)習(xí)，而是不知道如果自主學(xué)習(xí)。“授人以魚(yú)，不如授人以漁”，在解決問(wèn)題中有效運(yùn)用畫(huà)圖策略，相當(dāng)于給學(xué)生以“工具”，因?yàn)橛小肮ぞ摺辈庞辛俗灾鲗W(xué)習(xí)的前提，才有了創(chuàng)造未來(lái)的可能。

畫(huà)圖策略之于解決問(wèn)題有諸多的優(yōu)越性，因此，在日常“解決問(wèn)題”的教學(xué)中，要加強(qiáng)畫(huà)圖策略的運(yùn)用。具體從以下幾方面著手：

一、創(chuàng)設(shè)情境，體驗(yàn)畫(huà)圖價(jià)值，讓學(xué)生想畫(huà)圖

“教”的存在是因?yàn)橛小皩W(xué)”的需要。只有當(dāng)學(xué)生體驗(yàn)到畫(huà)圖的價(jià)值，對(duì)教學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生了強(qiáng)烈的畫(huà)圖需求的情況下，“教”才能真正融入學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，形成有效的教學(xué)互動(dòng)。

（一）體驗(yàn)價(jià)值，教師先行

畫(huà)圖策略是一種古老而又新鮮的解題策略。古老，是因其產(chǎn)生的時(shí)間久遠(yuǎn)，是一種慣用的解題策略；新鮮，是當(dāng)今的畫(huà)圖策略已經(jīng)超出傳統(tǒng)線段圖的范疇，有了新的拓展。所謂“大軍未動(dòng)，糧草先行”，要想讓學(xué)生體會(huì)畫(huà)圖的價(jià)值，進(jìn)而學(xué)會(huì)畫(huà)圖，教師必須先行。教師要提高自身的數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)，尤其是在“畫(huà)圖策略”技能上的素質(zhì)。教師需要對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和畫(huà)圖策略的應(yīng)用研究透徹，尋找最恰當(dāng)?shù)姆绞剑钊霚\出地達(dá)到教學(xué)目的。這需要教師對(duì)教材進(jìn)行精心分析，尋求對(duì)不同知識(shí)板塊個(gè)性化的圖解；需要在教案設(shè)計(jì)中有意識(shí)地體現(xiàn)畫(huà)圖策略，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲地讓學(xué)生體驗(yàn)畫(huà)圖的價(jià)值。

（二）創(chuàng)設(shè)情境，產(chǎn)生需要

在日常教學(xué)中，設(shè)置一些情境或問(wèn)題，讓學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中遇到一些心理障礙，產(chǎn)生尋求策略的需要，感受到畫(huà)圖策略的好處，認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)畫(huà)圖策略的必要性，形成學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，促使學(xué)生在學(xué)習(xí)中自覺(jué)地感受到使用畫(huà)圖策略的需要。例如，男女生進(jìn)行比賽，教師讓男生做文字題，女生做示意圖題，結(jié)果女生很快完成了，而男生卻慢了許多。男生很快就發(fā)現(xiàn)自己“上當(dāng)”了，原來(lái)做畫(huà)圖題要比做文字的題快好多啊！看圖解決問(wèn)題一目了然，更簡(jiǎn)單！通過(guò)討論，學(xué)生們認(rèn)識(shí)到畫(huà)圖在解決問(wèn)題時(shí)確實(shí)非常方便，讓學(xué)生對(duì)畫(huà)圖產(chǎn)生欲望，發(fā)掘畫(huà)圖的無(wú)限魅力。

（三）把握時(shí)機(jī)，體會(huì)作用

要使學(xué)生體會(huì)畫(huà)圖策略的價(jià)值和作用，教學(xué)時(shí)需要“逢山開(kāi)路，遇水搭橋”，跟著學(xué)生的學(xué)情走。因勢(shì)善誘，把握好兩個(gè)時(shí)機(jī)：第一個(gè)時(shí)機(jī)是在學(xué)生理解題意有困難，想不到解題方法時(shí)。不要為孩子解釋題意和提示算法，而是要引導(dǎo)其通過(guò)畫(huà)圖整理信息、理解題意，形成思路，尋找解法；第二個(gè)時(shí)機(jī)是學(xué)生在解決完問(wèn)題后。要引導(dǎo)其認(rèn)識(shí)畫(huà)圖整理信息的作用，啟發(fā)孩子在以后的解題中自覺(jué)使用。例如在教學(xué)《重疊問(wèn)題》時(shí)，讓學(xué)生充分感悟到集合圖對(duì)分析問(wèn)題的方便性。教師要把握好學(xué)生習(xí)得“畫(huà)圖策略”的最佳時(shí)機(jī)，在學(xué)生遇到困難時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生利用“畫(huà)圖策略”；在解決問(wèn)題后，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)畫(huà)圖的作用；在達(dá)成共識(shí)后，啟發(fā)學(xué)生在往后的學(xué)習(xí)中自覺(jué)使用。

二、注重策略，學(xué)習(xí)畫(huà)圖方法，讓學(xué)生會(huì)畫(huà)圖

畫(huà)圖策略能幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)概念，使問(wèn)題簡(jiǎn)明直觀，甚至使一些較難的問(wèn)題迎刃而解，然而運(yùn)用畫(huà)圖策略的前提必須是學(xué)生自己會(huì)畫(huà)圖。從這個(gè)意義上說(shuō)，教師把畫(huà)圖的方法教授給學(xué)生，不僅不是灌輸，反而十分必要。因此，需要通過(guò)恰當(dāng)?shù)姆绞剑寣W(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用畫(huà)圖策略，靈活解決實(shí)際問(wèn)題。

（一）形式多樣，為解題出謀“畫(huà)”策

在傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)中提到畫(huà)圖，教師們想得更多的是線段圖。教師把畫(huà)圖作為一個(gè)知識(shí)教給學(xué)生，而不是把它看成幫助學(xué)生解決問(wèn)題的一個(gè)策略來(lái)進(jìn)行教學(xué)。新教材把畫(huà)圖作為一種策略教給學(xué)生，而且畫(huà)圖的形式也不只限于線段圖。除了大家熟悉的線段圖、平面圖、立體圖、集合圖、統(tǒng)計(jì)圖，還包括學(xué)生運(yùn)用自己的方式給出的圖形表征，如實(shí)物圖、示意圖等。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生們會(huì)根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)畫(huà)出一些讓我們意想不到的圖。這種情況下，教師要充分肯定學(xué)生畫(huà)圖的價(jià)值，保護(hù)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己的需要畫(huà)出不同的圖來(lái)幫助自己分析、理解數(shù)量關(guān)系，解決實(shí)際問(wèn)題，同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽提出自己的不同見(jiàn)解，相互交流，分享各自的策略，為解題出謀“畫(huà)”策，使學(xué)生切身體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的價(jià)值和趣味，激發(fā)學(xué)生好好學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的興趣和愿望。

（二）抓住重點(diǎn)，要注意“畫(huà)龍點(diǎn)睛”

畫(huà)圖的形式本就多樣，而畫(huà)圖的內(nèi)容又零散地分布于整個(gè)小學(xué)階段。教學(xué)中要真正做到培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用畫(huà)圖策略，解決問(wèn)題的能力，關(guān)鍵不是在加深問(wèn)題的難度上下工夫，而是要通過(guò)有代表性的又為學(xué)生容易接受的題目，著重培養(yǎng)學(xué)生的畫(huà)圖策略，使學(xué)生能夠產(chǎn)生遷移，對(duì)整個(gè)畫(huà)圖的學(xué)習(xí)過(guò)程有“畫(huà)龍點(diǎn)睛”之功效。這樣即使遇到一些未解過(guò)的題目時(shí)，學(xué)生經(jīng)過(guò)自己的畫(huà)圖分析也能找出解答的方法。例如雞兔同籠問(wèn)題：頭共15個(gè)，足共40只，問(wèn)雞兔各幾只？這類應(yīng)用題有兩個(gè)未知數(shù)，如果用方程或假設(shè)的方法，低年級(jí)同學(xué)理解算理都有困難，可是用畫(huà)圖理解比較直觀。

第一步：先畫(huà)15個(gè)頭。

第二步：每個(gè)頭下畫(huà)2條腿。

第三步：剩下的10條腿可以分給5個(gè)頭,每個(gè)頭下再畫(huà)2條腿。

由此可見(jiàn)有4條腿的是兔子,2條腿的是雞。因此，共有5只兔子和10只雞。

（三）循序漸進(jìn)，切忌“畫(huà)虎不成反類犬”

任何一項(xiàng)技能的掌握都不是一蹴而就的，畫(huà)圖方法的掌握更是如此。因此，畫(huà)圖能力的訓(xùn)練需要教師從一年級(jí)就引起重視，循序漸進(jìn)，切忌“畫(huà)虎不成反類犬”。具體分三步進(jìn)行教學(xué)：第一階段：自由畫(huà)圖階段，即低年級(jí)階段，是用畫(huà)圖法解決問(wèn)題的初級(jí)階段。這時(shí)老師應(yīng)只觀望，讓學(xué)生自由發(fā)揮。無(wú)論學(xué)生畫(huà)的如何，教師都應(yīng)鼓勵(lì)他們；第二階段：規(guī)范畫(huà)圖階段，即中年級(jí)階段。當(dāng)發(fā)現(xiàn)學(xué)生碰到解決問(wèn)題畫(huà)圖欲望比較強(qiáng)時(shí)，教師要鼓勵(lì)學(xué)生自己動(dòng)手嘗試畫(huà)圖。教師可先畫(huà)出第一步圖，提供畫(huà)圖的大體框架，再引導(dǎo)學(xué)生接著往下畫(huà)，然后引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意獨(dú)立畫(huà)圖，對(duì)于可能出現(xiàn)的信息呈現(xiàn)不完整、關(guān)系表達(dá)不準(zhǔn)確等問(wèn)題，教師要及時(shí)加以指導(dǎo)；第三階段：腦中成圖階段，這是用畫(huà)圖法解決問(wèn)題的最高階段。這時(shí)學(xué)生在規(guī)范作圖的長(zhǎng)期訓(xùn)練后，看到題目能在腦中馬上作圖，然后根據(jù)腦中的圖來(lái)解決問(wèn)題，從真正意義上提高學(xué)生的解題能力。學(xué)生通過(guò)運(yùn)用畫(huà)圖策略解決問(wèn)題，就能體驗(yàn)畫(huà)圖策略的有效性，感受直觀圖形對(duì)于解題的作用，形成應(yīng)用畫(huà)圖策略的興趣和自覺(jué)性。

（四）靈活機(jī)動(dòng)，切忌“畫(huà)蛇添足”

畫(huà)圖方法固然是一種很重要的解題策略，但卻不是“萬(wàn)能”的，尤其是畫(huà)圖策略因其自身的特殊性，存在因構(gòu)圖不準(zhǔn)確、不全面，數(shù)形轉(zhuǎn)化的不等價(jià)性等缺陷。因此，在解決實(shí)際問(wèn)題中要靈活應(yīng)用。一方面，要注意數(shù)形結(jié)合適合度。把抽象的“數(shù)”的內(nèi)容借助“形”的表征形象化，這種抽象中的形象是數(shù)學(xué)教學(xué)卓有成效的重要因素。然而并非所有的數(shù)學(xué)知識(shí)都需要用畫(huà)圖策略解決，都能用畫(huà)圖策略解決。在日常教學(xué)中，教學(xué)的內(nèi)容是否需要畫(huà)圖？如果需要，那“數(shù)”與“形’能結(jié)合到什么程度？都是需要思考的問(wèn)題。一定要靈活機(jī)動(dòng)，切忌“畫(huà)蛇添足”。另一方面，畫(huà)圖策略也可以與其他學(xué)習(xí)方法相結(jié)合，充分發(fā)揮其作用，達(dá)到提高學(xué)生解決問(wèn)題能力的效果。例如：小平和小紅同時(shí)從A 地到B地，小平每分鐘比小紅多走20米。30分鐘后小平到B地，然后立即原路返回，在離B地350米處遇到小紅，小紅每分鐘走多少米？這道題，如果一開(kāi)始就讓學(xué)生畫(huà)圖，難度較大，效果并不理想，但如果讓學(xué)生先進(jìn)行題目?jī)?nèi)容的模擬表演，那數(shù)量關(guān)系就一目了然了，學(xué)生的分析思路更清晰。

三、數(shù)形結(jié)合，運(yùn)用畫(huà)圖策略，讓學(xué)生用好圖

無(wú)論是讓學(xué)生體驗(yàn)畫(huà)圖價(jià)值，還是讓學(xué)生學(xué)會(huì)畫(huà)圖，其最終都是為“用”服務(wù)的。因此，用好圖就成為畫(huà)圖策略運(yùn)用的關(guān)鍵。

（一）讀懂教材中的圖

現(xiàn)有的教材中存在大量、種類繁多的“圖”，這類示意圖其實(shí)是學(xué)生學(xué)習(xí)畫(huà)圖策略的前提積累，是畫(huà)圖意識(shí)培養(yǎng)的一個(gè)很好的契機(jī)。尤其是一、二年級(jí)學(xué)生，因受年齡特征和認(rèn)知水平的限制，培養(yǎng)的重點(diǎn)更多的是讀圖，而非畫(huà)圖。如果良好的讀圖習(xí)慣訓(xùn)練不夠，那么以后根據(jù)信息用圖示來(lái)正確表達(dá)也將存在問(wèn)題。比如，如果乘法的意義沒(méi)能建立清晰的表象，那“倍”的概念建立就會(huì)出現(xiàn)困難，要求學(xué)生用畫(huà)倍數(shù)關(guān)系的線段圖分析復(fù)雜的問(wèn)題就更困難了。所以教師在教學(xué)過(guò)程中首先要重視對(duì)“圖”意識(shí)的正確滲透和引導(dǎo)。

（二）用好自己畫(huà)的圖

任何一種解決問(wèn)題策略都需要經(jīng)歷解決問(wèn)題的過(guò)程，只有學(xué)生思維的深度參與，才可以使策略的形成過(guò)程成為策略在學(xué)生頭腦中的過(guò)程，學(xué)生獲得體驗(yàn)才是深刻的，而“用好圖”便是學(xué)生思維的最深度參與。下面以“一條褲子28元，上衣的價(jià)錢是褲子的3倍。買一套衣服要多少元？”為例進(jìn)行分析闡述。學(xué)生畫(huà)出圖以后，在引導(dǎo)學(xué)生“用好圖”時(shí)主要分三步走：

1.讀圖，梳理關(guān)系。帶領(lǐng)學(xué)生據(jù)圖理解題意：將褲子的價(jià)格28元看作一份，上衣的價(jià)格是這樣的3份。問(wèn)一套衣服要多少元，就是問(wèn)把上衣和褲子的價(jià)格合起來(lái)一共要多少元。

2.思考，解決問(wèn)題。要求買一套衣服多少元，從圖上看出褲子的價(jià)格已知，是28元；上衣的價(jià)格是褲子價(jià)格的3倍。因此，可以先求出上衣的價(jià)格，再與褲子的價(jià)格合起來(lái)。同時(shí)，我們從圖上也發(fā)現(xiàn)：可以先求一套衣服是幾個(gè)28元，再算出一共多少元。

3.反思，思維升華。在讀圖和思考過(guò)后，引導(dǎo)學(xué)生反思：回顧過(guò)程：剛才我們是怎樣用線段圖來(lái)反映問(wèn)題信息的？你覺(jué)得這樣表示有何好處？通過(guò)畫(huà)圖，你在解題過(guò)程中有沒(méi)有獲得新的啟發(fā)？通過(guò)反思，提升學(xué)生的思維高度，讓學(xué)生從“畫(huà)圖”的策略層面升華為“數(shù)形結(jié)合”的思想高度。

“數(shù)無(wú)形不直觀，形無(wú)數(shù)難入微”，“數(shù)形結(jié)合”的思想是重要的數(shù)學(xué)思想，其實(shí)質(zhì)是使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙和諧地結(jié)合起來(lái)，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)。面對(duì)當(dāng)下數(shù)學(xué)課堂學(xué)生“學(xué)情”缺失的嚴(yán)峻形勢(shì)，以畫(huà)圖助推問(wèn)題的解決已刻不容緩。教師要善于利用，多加引導(dǎo)，適時(shí)滲透，讓學(xué)生想畫(huà)圖、會(huì)畫(huà)圖、用好圖，逐漸具有應(yīng)用有效策略的自覺(jué)性，形成良好的思維習(xí)慣，增進(jìn)學(xué)生的思考力、理解力以及創(chuàng)造力。唯此，方能真正做到“還學(xué)于生”，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人！

[1]陳正萍．《解決問(wèn)題的策略——畫(huà)圖》教學(xué)設(shè)計(jì)[J]．素質(zhì)教育論壇下半月，2009（05）．

[2]教育部．?dāng)?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M]．北京師范大學(xué)出版社,2001（7）．

[3]孫國(guó)平．凸顯畫(huà)圖價(jià)值優(yōu)化思維品質(zhì)——小學(xué)生畫(huà)圖策略使用的調(diào)查與思考[J]．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2013（10）．

[4]蔡金菲．淺析小學(xué)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題教學(xué)策略[J]．新課程學(xué)習(xí)（上）,2011（01）．

[5]章玲．基于“畫(huà)圖策略”落實(shí)問(wèn)題的思考與研究[J]．新課程（中）,2011（09）．