淺析換元法在中學數學中的應用

江蘇省盱眙縣第一中學 徐 升

淺析換元法在中學數學中的應用

江蘇省盱眙縣第一中學 徐 升

一、換元法相關概念及幾種常見的換元法

1.換元法的相關概念

所謂換元法，又稱輔助元素法、變量代換法，即把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它。

換元的實質是轉化，它是用一種變數形式去取代另一種變數形式，使問題得到簡化。利用換元法解數學題的關鍵在于適當地選擇“新元”，引進適當的代換，找到較容易的解題思路。換元法的基本思想是通過變量代換，使原問題化繁為簡、化難為易，使問題發生有利的轉化，從而達到解題目的換元法的一般步驟：

2.幾種常見的換元法

（1）均值換元法

在某些問題中，已知兩未知量的和，這時將這兩個未知量用它們的均值和一個新的變量來表示，從而使計算化繁為簡，這就是均值換元法。例如，當

縱觀上述兩例可以看出，均值換元法實質上是換元思想的一種具體運用，它利用了兩個量的平均值和一個字母，溝通了原來兩個量之間的關系，能夠簡便計算，在解題中有著廣泛的應用。

（2）常值換元法

所謂常值換元法，就是將題目中的常數用字母表示，將其他數字轉化為相應的字母，這種方法能使問題的本質特征顯現出來，從而有助于尋找解題思路，簡化解題過程。

分析：本題若直接求解，顯然比較困難，觀察其數字特征，聯想其一般情形，可將1987用一個字母a表示，則1986可表示為a-1問題得到簡化。

（3）比值換元法

所謂比值換元法是指當式子中出現恒等的分式，且每個分式都含有未知數時，由于這些未知數之間存在一定的關系但又不太好表示，因此我們可引進一個新的未知數使之等于上述恒等式，然后用這個新的未知數表示原來的各未知數。

（4）增量換元法

當一變量在一常量附近變化時，可設這一變量為該常量加上另一個變量，這種方法叫作增量換元法。

（5）三角換元法

三角代換也是常用的一種換元方法，在解某些代數問題時，選用適當的三角函數進行換元，把代數問題轉化為三角問題，充分利用三角函數的性質去解決問題，常能使問題易于解決，這種方法叫三角換元法。如在解有關的無理不等式和方程時，如果我們直接將無理式有理化后求解，則必須平方，這樣勢必要對其進行討論，過程煩瑣，若我們能對問題的特征進行分析，借助三角換元，則可使問題化難為易，簡捷獲解。例如當問題中含有形如的無理式時，常令

（6）對稱換元法

當題目中的未知數具有對稱關系時，可應用基本對稱式進行代換，使解題過程簡化，這種方法稱為對稱換元法。

二、換元法在解方程中的應用

1.換元法在雙二次方程中的應用

在中學課程中要求學生會解一些特殊的高次方程，有時我們會碰到“雙二次方程”，即只含有未知數的四次項、二次項和常數項的方程。對于這類方程，可以經過對二次項的換元轉化為一元二次方程。

思路2：把方程展開成標準的雙二次方程，再對x2進行換元。

注意：換元的關鍵是善于發現或構造方程中表達形式相同的部分作為換元的對象。在解方程的過程中，換元的方法常常不是唯一的，解高次方程時，只要能達到降次目的的換元方法都可以應用。

2.換元法在無理方程中的應用

解無理方程時，常把原方程中的一個含有未知數的根式作為整體進行換元，達到去根號轉化為可解方程的目的。這時經過變形，原方程的某個整式部分常可表示為新元的平方。

解：原方程可化為：

注：以前學過平方去根號法解無理方程，是一種普遍方法?，F在的換元法必須構造出根號內外兩個相同的式子才行。

3.換元法在分式方程中的應用

解分式方程時，常把原方程中的一個分式作為整體進行換元，換元時要注意分子、分母互換的兩個分式可以用一個新元和它的倒數來表示。例如方程可變形為進行換元得去分母后化為可解。

分析：如果分式方程中滿足兩個分式互為倒數關系（如解方程：這時，只需設其中一個分式為輔助元即可；如果含有未知數的各個分式的分母都是關于未知數的二次三項式，且二次項系數和一次項系數對應成比例（如解方程這時，只需設二次項系數的絕對值最小的多項式為輔助元即可。

解：原方程可化為：

注：對于分式方程或無理方程使用換元法后，仍需對所求根進行檢驗。

4.換元法在解方程組中的應用

在構成方程組的方程里，有關未知數的代數式呈對稱性，換元法可借此特點使方程組簡單化，便于求出方程組的解。

解：由（1）得：

通過以上所有例子可以看出 ，在初等數學中，換元法的確有著極其重要的作用。學會運用換元法，不但可以溝通數學各個分支之間的聯系，還可以擴大視野，培養學生的學習興趣。對于一些較難的題目，我們還應當通過認真觀察問題的結構特征，深入分析問題的隱含條件，采用類比、聯想猜測等手段進行適當的換元，并綜合運用各方面的知識給予解決。

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