復(fù)函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)

◎繆彩花

(麗江師范高等專科學(xué)校數(shù)計(jì)系，云南 麗江 674199)

復(fù)函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)

◎繆彩花

(麗江師范高等專科學(xué)校數(shù)計(jì)系，云南 麗江 674199)

本文介紹了留數(shù)定理與柯西積分公式的關(guān)系、留數(shù)定理在計(jì)算實(shí)積分中的應(yīng)用，便于讀者熟練深化對(duì)留數(shù)的理解，提高綜合運(yùn)用能力.

留數(shù)；解析函數(shù)；區(qū)域

留數(shù)是復(fù)變函數(shù)理論的重要內(nèi)容之一，它是研究解析函數(shù)的重要工具，經(jīng)典的留數(shù)定理是柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式的推廣，也是我們處理數(shù)學(xué)分析中的一些實(shí)積分的有力工具.

一、留數(shù)定理與柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式的關(guān)系

二、留數(shù)定理在計(jì)算積分中的應(yīng)用

另外，留數(shù)定理可以計(jì)算一些實(shí)積分.在數(shù)學(xué)分析中往往要計(jì)算一些定積分或反常積分，而這些積分中的被積函數(shù)的原函數(shù)，不能用初等函數(shù)表示出來；或者可以求出原函數(shù)，但計(jì)算也非常煩瑣.在這種情況下，把這些積分的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算某些解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù).其中的思想方法是：把定積分轉(zhuǎn)化為一個(gè)復(fù)變函數(shù)沿某條封閉路線上的積分.具體的做法如下：

第一步，被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化.根據(jù)實(shí)積分被積函數(shù)f(x)的特點(diǎn)，做相應(yīng)的復(fù)變函數(shù)F(z)，使當(dāng)z∈(a，b)(其中(a，b)為積分區(qū)間)時(shí)，F(xiàn)(z)=f(x)或F(z)的實(shí)部或虛部之一等于f(x).

第二步，積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化.作一條(或幾條)按段光滑的輔助曲線Γ，使它與(a，b)構(gòu)成閉曲線并圍成區(qū)域D，使F(z)在D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)zk(k=1，2，…，n)外處處解析.

[1]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]張南岳，陳懷惠.復(fù)變函數(shù)論選講[M].北京：北京大學(xué)出版社，1995.

[3]李忠.復(fù)分析導(dǎo)引[M].北京：北京大學(xué)出版社，2004.