例談對(duì)數(shù)函數(shù)中的典型錯(cuò)解及教學(xué)建議

◎吳小麗

(西華師范大學(xué)，四川 南充 637002)

例談對(duì)數(shù)函數(shù)中的典型錯(cuò)解及教學(xué)建議

◎吳小麗

(西華師范大學(xué)，四川 南充 637002)

對(duì)數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要函數(shù)，函數(shù)本身就綜合性、抽象性強(qiáng)，對(duì)于高一學(xué)生剛接觸到此種新型函數(shù)，難免會(huì)出現(xiàn)各式各樣的錯(cuò)誤，研究解題中的錯(cuò)誤、充分發(fā)揮錯(cuò)解的潛在功能，對(duì)于提高教學(xué)質(zhì)量是十分有意義的.

對(duì)數(shù)函數(shù)；錯(cuò)解；教學(xué)建議

一、忽視定義域而導(dǎo)致解題出錯(cuò)

(一)利用單調(diào)性解不等式

例1 已知函數(shù)f(x)=lg(x+1)，解關(guān)于x的不等式0

(二)復(fù)合函數(shù)中的單調(diào)性與最值

例2 若y=loga(2-ax)在[0，1]上是減函數(shù)，則a的取值范圍是________.

錯(cuò)解分析 大部分學(xué)生一看到底數(shù)是字母a，立刻想到分類(lèi)討論，復(fù)雜易錯(cuò)，還有很大一部分學(xué)生忽視了定義域?yàn)閇0，1]，在[0，1]上要真數(shù)大于0.

正解 ∵a>0，∴-a<0，∴u=2-ax在[0，1]上為減函數(shù).又∵y=loga(2-ax)在[0，1]是減函數(shù)，∴y=lgau在[0，1]為增函數(shù)，即a>1且2-a×1>0，∴1

例3 已知f(x)=2+log3x，x∈[1，9].求函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及y取得最大值時(shí)的x的值.

錯(cuò)解分析 大部分學(xué)生能夠得出y=(log3x+3)2-3，令t=log3x，則y=(t+3)2-3，但直接認(rèn)為定義域就為[1，9]，從而得到t∈[0，2]，進(jìn)而得到錯(cuò)誤答案.其實(shí)由1≤x≤9且1≤x2≤9得，函數(shù)y的定義域?yàn)閇1，3]，從而t∈[0，1].用到換元時(shí)，一定要注意新元的取值范圍，因此，正確求得復(fù)合函數(shù)的定義域顯得尤為關(guān)鍵.

二、混淆定義域與值域而導(dǎo)致解題出錯(cuò)

例4 (1)已知函數(shù)y=log2(x2-2kx+k)的值域?yàn)镽，則k的取值范圍為_(kāi)_______.

(2)已知函數(shù)y=log2(x2-2kx+k)的定義域?yàn)镽，則k的取值范圍為_(kāi)_______.

(1)錯(cuò)解 由題意，x2-2kx+k>0在R上恒成立，所以Δ=4k2-4k<0，即0

正解 由題意，在定義域內(nèi)，真數(shù)x2-2kx+k能取得所有大于0的值，所以Δ=4k2-4k≥0，即k∈(-∞，0]∪[1，+∞).

(1)的錯(cuò)解即為(2)的正解.

三、對(duì)分段函數(shù)的單調(diào)性考慮不全而出錯(cuò)

錯(cuò)解分析 在R上為增函數(shù)，很多學(xué)生考慮不全面，只考慮到每段為增，還要保證整體單調(diào)，即要考慮在分段點(diǎn)處的大小關(guān)系.實(shí)際上是學(xué)生對(duì)單調(diào)性的概念沒(méi)有真正理解.

四、不能數(shù)形結(jié)合而導(dǎo)致解題困難

五、教學(xué)建議

根據(jù)學(xué)生在對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)習(xí)題中的錯(cuò)解，可以發(fā)現(xiàn)大多數(shù)是因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)的相關(guān)概念理解不透，其次，不能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法來(lái)分析題意，數(shù)學(xué)思維能力比較薄弱.對(duì)此，提出以下幾點(diǎn)教學(xué)建議.(1)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，概念學(xué)習(xí)是基礎(chǔ)，教師應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)概念的教學(xué).將抽象的數(shù)學(xué)概念與生活實(shí)際相結(jié)合，做到循序漸進(jìn)，一點(diǎn)一點(diǎn)強(qiáng)化.(2)應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生作圖的訓(xùn)練.很多題只要能快速畫(huà)出草圖，就能使本身抽象難懂的題目變得簡(jiǎn)潔易懂，思路也會(huì)開(kāi)闊許多，從而使解題更快捷簡(jiǎn)便.(3)應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透.讓學(xué)生了解更多數(shù)學(xué)思想方法，可以從多角度去思考問(wèn)題.(4)加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng).很多高一學(xué)生數(shù)學(xué)思維還停留在初中，對(duì)于一些難度稍大的題目便束手無(wú)策，教師應(yīng)適當(dāng)引導(dǎo)，加強(qiáng)對(duì)其數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，使其能更深地思考問(wèn)題進(jìn)而提高學(xué)習(xí)能力.

[1]鄭云霞.對(duì)數(shù)函數(shù)常見(jiàn)解題誤區(qū)[J].中學(xué)生數(shù)理化(高一版),2011(22)：17.

[2]王海清.發(fā)揮錯(cuò)解潛在功能 提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量[J].湖州師范學(xué)院學(xué)報(bào),1998(5)：74-81.