事件相互獨立和互斥關系的探討及舉例

◎蔡文麗

(中國礦業大學(北京)理學院，北京 100083)

事件相互獨立和互斥關系的探討及舉例

◎蔡文麗

(中國礦業大學(北京)理學院，北京 100083)

本文全面分析兩事件相互獨立與兩事件互斥的關系，并通過典型事例展現二者關系.研究結果對學生學習概率論課程具有重要指導作用.

獨立事件；互斥事件；獨立和互斥的關系

一、事件相互獨立和事件互斥的定義及關系

獨立和互斥是概率論中兩個非常重要的概念，直觀而言，學生極易將這兩個概念混淆并認為獨立就是互斥.然而，通過理論分析，可以詳細說明兩者間的關系.下面通過定義、定理、注釋和舉例逐步揭開兩者之間的關系.

盛驟等[1]給出兩事件相互獨立的如下定義：

定義1 設A，B是兩事件，若滿足等式P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A，B相互獨立，簡稱A，B獨立.

由這個定義可以證明如下重要結論：

注釋1 必然事件和不可能事件與任何事件都相互獨立.

證明：設A是任意事件；S和?分別為必然事件和不可能事件.于是，P(S)=1，P(?)=0.因此，P(AS)=P(A)=P(A)P(S)，P(A?)=P(?)=P(A)P(?).

定理1[1]設A，B是兩事件，且P(A)>0，則A，B相互獨立?P(B|A)=P(B).

這個定理利用條件概率的定義和事件獨立性的定義可以比較容易地證明.

注釋2 這個定理表明：事件A與B呈現出某種獨立性意味著事件A的發生對事件B發生的概率沒有影響.

定義2[1]設A，B是兩事件，若AB=?，則稱事件A，B互斥(或互不相容).

注釋3 兩事件互斥意味著兩事件不能同時發生.

注釋4 不可能事件與任何事件都互斥.

定理2 兩事件獨立和兩事件互斥沒有必然關系.

證明：這個定理可以通過一系列反例說明.

(1)不可能事件與任何事件既獨立又互斥.

(2)必然事件與除不可能事件外的任何事件都獨立但不互斥.一般地，若P(A)>0，P(B)>0，且事件A，B相互獨立，則由事件獨立的定義可知P(AB)>0，于是AB≠?，即A，B一定不互斥.這說明事件獨立不能推出事件互斥.

(3)當兩事件互斥且概率都大于0時，也可由獨立和互斥的定義推出這兩個事件一定不獨立.這說明互斥不能推出獨立.

下面通過一個有趣的抽牌試驗讓大家體會兩事件不互斥但可以獨立.

二、應用舉例

實例1 從一副不含大小王的撲克牌中任意抽取一張，記A={抽到8}，B={抽到牌的花色為紅色}，考察這兩個事件的互斥性與相互獨立性.

顯然AB≠?，即A，B不互斥.

經計算可知

于是P(AB)=P(A)P(B)，由定義可知，事件A，B相互獨立.

這個簡單的實例有助于讀者深刻理解不互斥的兩事件可以相互獨立.

三、結 論

本文對高等教育出版社第四版的《概率論與數理統計》中講授的事件獨立性和互斥性內容進行了深入剖析，得出在無任何假設條件下事件獨立性與互斥性沒有必然聯系的結論.這一結論的證明過程也蘊含著一個常用結論：對概率大于0的兩事件，獨立一定不互斥，互斥一定不獨立，即獨立和互斥不能同時成立.這一點與人們的主觀認識恰好相反，值得讀者注意.

[1]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計(第四版)[M].北京：高等教育出版社，2008.

國家自然科學基金天元專項基金資助(項目號：11626228).