高觀點下對一節新授課的整體認識
——“向量的加法”的教學設想及其反思

◎王曉薔

(遼寧省撫順市第一中學，遼寧 撫順 113001)

高觀點下對一節新授課的整體認識
——“向量的加法”的教學設想及其反思

◎王曉薔

(遼寧省撫順市第一中學，遼寧 撫順 113001)

向量是數學中重要的、基本的概念，它既是代數的對象，又是幾何的對象.作為代數對象，向量可以運算，作為幾何對象，向量有方向，可以刻畫直線、平面、切線等幾何對象.向量的運算是在數的運算、集合運算之后又一次對運算的擴充，是深化對運算認識的契機.筆者結合“向量的加法”新授課，談談如何從高觀點下對向量的加法進行全新的認識.

一、復習舊知 拋出新思

復習提問：(1)向量，相等向量定義？

(2)零向量，單位向量定義？(從大小方面特殊的向量)

(3)平行向量定義？(從方向方面特殊的向量)

設計意圖說明：以一問一答的形式引導學生研究問題，可以從一般到特殊.分類復習舊知，使學生對若干子概念的關系層次清晰，內涵清楚.

我們已經在實數集上定義了加法運算，為了表示具有相反意義的量，必須引入“相反數”；實數0具有使任何實數與它的和均不變的特性(即a+0=a)；同時，我們還研究了加法運算律(交換律，結合律).現在我們又學習一種新的量：向量，那么，

(1)向量能進行加法運算嗎?

(2)向量如何進行加法運算?

(3)向量加法運算滿足哪些運算律呢?

設計意圖說明：教師拋出一連串問題引出本堂課教學內容，引發學生思考.

首先，從整體上認識向量集和實數集之間的關系，用“群”的思想統一認識兩個集合的加法運算.同時，也是將向量的加法定義、性質和運算律作為一個整體進行認識，避免了銜接不自然.

二、創設情境 引發探究

師問：回到向量的原始背景：物理中哪些矢量可以相加？怎樣相加？合位移、力的合成和速度的合成.

我們先來看下面這個實驗.

情境：飛行問題.(略)

位移和速度都可以看成向量，從物理角度，位移和速度，叫作合位移與合速度；在數學上，我們可以把他們看成是兩個向量相加.

設計意圖說明：通過這個物理實驗，為接下來學生獨立探索向量加法定義提供動力，使學生進入問題探索者的角色，真正進入數學概念的定義中.這樣得到的數學概念，學生一輩子都不會忘記.同時，從學生熟悉的物理概念入手，自然銜接到本節的新內容，學生很容易接受.

三、向量加法定義的探究

根據以上實驗結果，對于任意的兩個向量a，b，如何定義a和b相加呢？

學生先獨立思考，再分組討論，派代表發言，同時黑板板演.

討論結果一：根據實驗一，平移向量b，使它的起點與向量a的終點重合，構造三角形得到a+b.

討論結果二：根據實驗二，平移向量b，使它的起點與向量a的起點重合，構造平行四邊形，對角線向量就是a+b.

請大家思考，對于這兩種方法，和向量的起點和終點分別是哪個？

針對這兩種方式，哪一種定義更加嚴謹？

設計意圖說明：探究向量加法運算法則的過程既作為全課整體的有機組成部分進行的，又相對獨立地構成了一個“整體”：向量源于物理，向量運算源自物理中矢量的運算，但矢量相加其方法不盡相同，如，“合位移”通常用三角形法則，“速度的合成”通常用平行四邊形法則，這兩個法則內在關系怎樣?哪個法則更嚴謹？能否實現“統一”就成為關鍵.

四、師生共思 建構新知

向量加法的三角形法則：

師問：向量加法的結合律：(a+b)+c=a+(b+c)成立嗎？請同學們畫圖證明.

設計意圖說明：“單位元”“逆元”和交換律、結合律是“群”的三要素，將它們置于實數加法運算的類比之下，進行“整體”認識，既是高觀點的滲透，更使學習內容連成了一個整體，結構嚴謹、流暢.

五、鞏固練習 延續思考

若渡船以25 km/h的速度按垂直于河岸的航向航行，江水以12.5 km/h的速度向東流，受水流的影響，渡船的實際航向如何?

六、及時小結 埋下伏筆

師問：這節課我們學會了什么？

1.向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.

2.向量加法的運算律：交換律和結合律.

師問：對比實數集合上的運算，下節課大家還想學習向量的什么運算？(減法)

設計意圖說明：這兩個問題既可以讓學生從多方位總結本節課的學習收獲，暢所欲言，又從運算系統的連續性角度，自然而然地提出下節課的問題，讓學生帶著新問題離開課堂.