數形結合的思想方法與高考數學解題技巧

◎王祥之 姜能廣

(1.濟南市技師學院，山東 濟南 250033；2.山東省淄博第五中學，山東 淄博 255028)

數形結合的思想方法與高考數學解題技巧

◎王祥之1姜能廣2

(1.濟南市技師學院，山東 濟南 250033；2.山東省淄博第五中學，山東 淄博 255028)

一、數形結合的思想方法簡介

數形結合是數學解題中常用的思想方法，所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想.使用數形結合的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷.數形結合思想通過“以形助數，以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，它是數學的規律性與靈活性的有機結合.

二、數形結合的思想方法解決的問題

縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題，可起到事半功倍的效果，數形結合的重點是研究“以形助數”.數形結合的思想方法應用廣泛，應用數形結合，常與以下內容有關：① 一元二次方程根的分布問題；② 解不等式問題；③ 函數零點(或者方程根)的問題；④ 求函數最大值、最小值問題(函數值域問題)；⑤ 求參數的取值(取值范圍)；⑥ 復數的模的討論.運用數形結合思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程.這在解選擇題、填空題中更顯其優越，要注意培養這種思想意識，要爭取胸中有圖，見數想圖，以開拓自己的思維視野.

三、典型例題

例1 若關于x的方程x2+2kx+3k=0的兩根都在(-1,0)和(3,0)之間，求k的取值范圍.

圖1

分析 令f(x)=x2+2kx+3k，其圖像與x軸交點的橫坐標就是方程f(x)=0的根，第一步，先畫出直角坐標系，在橫軸上標注(-1,0)和(3,0)兩個點，按題目條件畫出函數的圖像，第二步，根據圖像列出端點處函數值的不等式，對稱軸處函數值的不等式和根的判別式不等式，本題可以根據根的存在定理不討論根的判別式.第三步，解不等式組得到參數的范圍.

圖2

例2 已知0

A.1個

B.2個

C.3個

D.1個或2個或3個

分析 判斷方程的根的個數就是判斷圖像y=a|x|與y=|logax|的交點個數，畫出兩個函數圖像，易知兩圖像只有兩個交點，故方程有2個實根，選B.

圖3

四、總結提煉

數形結合法也叫圖解法，據題設條件作出所研究問題的曲線或有關圖形，借助幾何圖形的直觀性做出正確的判斷，習慣上也叫數形結合法.有的選擇題可通過命題條件的函數關系或幾何意義，做出函數的圖像或幾何圖形，借助于圖像或圖形的作法、形狀、位置、性質，綜合圖像的特征，得出結論，圖形化策略是以數形結合的數學思想為指導的一種解題策略.數形結合思想是解答數學試題的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題時發揮著奇特功效，復習中要以熟練技能、方法為目標，加強這方面的訓練，以提高解題能力和速度.特別是所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義，如，等式(x-2)2+(y-1)2=4.常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數的值域、最值問題中，在求復數和三角函數問題中應用很廣.數形結合，借助幾何圖形的直觀性，迅速做出正確的判斷是高考考查的重點之一；數形結合的解題策略在解有關選擇題時非常簡便有效.不過運用圖解法解題一定要對有關函數圖像、方程曲線、幾何圖形較熟悉，否則錯誤的圖像反而會導致錯誤的選擇.歷年高考選擇題直接與圖形有關或可以用數形結合思想求解的題目約占50%左右.