數形結合思想在數學解題中的應用

◎顏士橋

(淮安市新馬高級中學，江蘇 淮安 211700)

數形結合思想在數學解題中的應用

◎顏士橋

(淮安市新馬高級中學，江蘇 淮安 211700)

數形結合的思想方法也是一種重要的數學策略，它包括兩個方面：“以形助數”和“以數助形”.數形結合，是根據數量與圖形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決問題的一種重要思想方法，也是一種智慧的解題技巧，它可以使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，煩瑣的問題條理化，從而，便于找到簡捷的解題思路，使問題得到解決.

數形結合思想；數學解題；數學思想；數學方法

數形結合的思想方法也是一種重要的數學策略，它包括兩個方面：“以形助數”和“以數助形”.其中“以形助數”即是借助形的生動性和直觀性來闡明數之間的聯系，它是以“形”為手段，以“數”為目的.數形結合，是根據數量與圖形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決問題的一種重要思想方法，也是一種智慧的解題技巧，它可以使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，煩瑣的問題條理化，從而，便于找到簡捷的解題思路，使問題得到解決.

數形結合思想在高考中占有非常重要的地位，近幾年高考的解析幾何問題、函數與不等式問題、參數取值范圍問題、集合問題、立體幾何問題等都用到了數形結合的思想方法，特別是填空題的后面幾個題目，有時用數形結合思想來處理能夠起到很好的效果.

下面結合具體的例子來進一步闡述：

一、數形結合思想在不等式中的應用

例1 已知奇函數f(x)的定義域是{x|x≠0，x∈R}，且在(0，+∞)上單調遞增，若f(1)=0，滿足x·f(x)<0的x的取值范圍是________.

分析 函數f(x)比較抽象，欲解出目標不等式是不可能的，注意到x·f(x)<0表明自變量與函數值異號，故可作出f(x)的圖像加以解決.

解析 作出符合條件的一個函數圖像(草圖即可)，可知x·f(x)<0的x取值范圍是(-1，0)∪(0，1).

圖像法解不等式具有運算量小、思維量小、簡捷明了等優點，但對作圖像要求較高，必須能準確迅速作出相關函數或方程的圖像，再結合具體條件要求分析出結論來.圖像法實質是轉化化歸思想的應用.

二、數形結合思想在參數取值范圍問題中的應用

解析 在同一坐標系中畫出函數y=2x-m以及y=f(x)的圖像(如圖所示)，由于不等式f(x)≥2x-m恒成立，所以y=2x-m的圖像總在函數y=f(x)的圖像的下方，因此，當x=-2時，y=2x-m≤0，所以m≥-4，所以m的取值范圍是m≥-4.

三、數形結合思想在函數、方程中的應用

四、數形結合思想在解析幾何中的應用

例4 已知圓C：(x+2)2+y2=1，P(x，y)為圓C上任一點.

(2)求x-2y的最大值、最小值.

(2)由x-2y可聯想到“目標函數”，可視為動直線截距的最值問題.

將上式整理得kx-y+2-k=0.

只要具有一定的觀察能力，再掌握常見的數形結合的對應類型，就能夠得心應手地運用數形結合思想方法處理這方面的問題，同時，這里面也體現著一種數學轉化的思想，也就是把一些數學表達式轉化成我們熟悉的具有數學特定含義的表達式，也即幾何特征，比如，變化率、斜率、距離、截距等.

可見，數形結合既是一種重要的數學思想，又是一種智慧的數學方法，備考中要仔細體會，牢固掌握，熟練應用，使得我們的解題事半功倍.