函數與方程思想的培養

◎黃德華

(廣東省惠州市華羅庚中學，廣東 惠州 516001)

函數與方程思想的培養

◎黃德華

(廣東省惠州市華羅庚中學，廣東 惠州 516001)

函數是高中數學的重要知識點，方程思想其實是函數思想中的一種特殊表達形式，在學習函數的過程中，應深刻理解、掌握函數和方程的思想，并善于運用函數和方程的思想解決一些實際問題，對于學習有重要的意義.筆者根據從教多年的經驗，總結了高中數學函數與方程思想的培養策略.

函數；方程；轉化；應用；策略

一、函數與方程思想的解釋

函數的思想，具體來說是利用集合和對應思想，只關注數學特征，采用變化的觀念得出研究對象，采用函數特有的性質對問題進行解釋并給出結果；所謂方程是指在充分聯系各種變量內在關系的基礎上建立的等量式.函數和方程的思想二者相輔相成，通過共同作用，找出問題中內在的數量的聯系，從變化、對應、發展幾個方面研究數學問題，同時，也是研究運動和靜止之間等量關系的重要思想.

二、函數與方程思想的考查回顧與培養策略

對函數與方程思想的考查，是歷年高考的重點，而且考查力度在逐年增加，幾乎滲透高中數學的每一個模塊，每一個知識點.

(一)對函數與方程思想本源的考查

函數的有關概念及性質與方程的有關理論是函數與方程思想的本源.在課標課程高考中，全方位、多層次地考查函數與方程的基礎知識和基本性質，是每年的重點和熱點.

1.函數與方程性質是函數與方程思想的核心內容.

函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性、最值、方程的有關理論是函數與方程思想的核心內容，它們往往形影不離，互為依托.

A.11 B.9 C.7 D.5

評析 本題在解題過程中用到了函數零點、對稱軸、函數圖像和單調性等知識點，是集數形結合、轉化與化歸、特殊與一般等思想于一體的好題，本題很好地體現了課標的核心，培養了學生函數的思想.

培養策略：加強函數與方程基礎知識的學習與應用，提高學生的運算求解能力.

2.數形結合是運用函數與方程思想解題的直觀手段.

《課標》強調：在數學學習中，重視圖形具有非常重要的意義，我們可以將函數圖像等同于函數的一種特殊的表示方式，這樣可以幫助學生學會思考，學會借用圖形來解決問題.

評析 本題考查三角函數的基本性質，并在此基礎上應用了函數平移的相關知識，綜合考查函數解析式和函數圖像之間的對應關系，運用了數形結合及函數與方程的思想.

培養策略：數形結合能幫助我們形成解題思路，簡化解題過程，培養學生識圖、作圖、用圖的能力，促成數形結合思想與函數與方程思想有機統一.

3.高等數學知識的滲透是函數與方程思想的內在需求.

國家推行新課標的改革已經有很長一段時間，對高考命題越來越側重各方面知識的相互結合和使用，也體現出《考綱》對高考試題的創新要求；另一方面，這類題目命題立意新、情境新、思維價值高，能很好地考查考生的閱讀理解能力、知識遷移能力、分析問題、解決問題的能力，以及進入高校學習的潛能，因此，這類考題成了高考試題中的一道亮麗的風景線.

例3 (2016年全國卷理16)若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(x+1)的切線，則b=________.

培養策略：導數是處理函數問題的利器，理解導數的相關知識，強化運算能力，理解導數在函數與方程思想中的作用.

(二)以其他知識點為載體的函數與方程思想的考查

函數與方程思想研究的是變量與變量的依賴關系，因此，只要蘊含幾個變量之間函數關系的問題均會涉及函數與方程思想，它必然會跨越函數，也跨越方程，跨入不等式、數列、解析幾何、立體幾何、實際問題等領域.

1.以不等式為載體

函數、方程與不等式之間是可以相互轉化的，y=f(x)，f(x)=0，f(x)>0彼此之間有內在聯系.將函數思想與方程不等式結合在一起，可以實現不等式問題的有效解決.

例4 (2013年全國卷理21)設函數f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0，2)，且在點P處有相同的切線y=4x+2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥2時，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍.

解析 第(1)問主要考查方程思想；第(2)問主要考查不等式恒成立問題，在解答不等式恒成立問題時，通過構造新的函數，利用導數研究函數的單調性并求出最值，把不等式恒成立問題轉化為函數的最值問題來解決.

培養策略：對含有參數的不等式恒成立問題或方程有解的問題，常用方法是分離參數，構造新的函數，轉化為函數的最值問題.

2.以數列為載體

數列可以看作是一個定義域是正整數集或其有限子集的函數，等差數列、等比數列的通項公式、前n項和公式都是關于n的特殊函數，因此，許多數列問題是用函數的觀點去構思的，要解決這類問題，需要學生用函數的觀點和研究方法去處理這類問題.

例5 (2013年全國卷 理16)等差數列{an}的前n項和為Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為________.

培養策略：把數列的基礎知識(如定義、通項公式、前n項和公式)與函數的基礎知識(如圖像和性質)有機地結合，是解決此類問題最有效的辦法.

3.以解析幾何為載體

解析幾何的基本思路，是把平面幾何問題用代數的方法解決，把平面幾何的問題通過直角坐標系轉化為數的運算，因此，函數與方程思想在其中有舉足輕重的地位.

A.b2>4acB.b2≥4acC.b2<4acD.b2≤4ac

評析 本題可以通過簡單的轉化，準確抓住數與式的特征，充分利用方程的思想解決問題，促進學生熟悉方程的思想；另外，本題還可以將b2和a，c之間建立函數關系，運用重要不等式求解，簡單快捷，本題充分培養了學生函數與方程的思想.

因此，不管以什么知識為載體，通常情況下，數集與數集、變量與變量的關系問題在考查時，會充分體現函數與方程的思想，它是跨考點、跨模塊、跨題型的.

三、函數與方程思想的考查展望

(一)注重本質，強化基礎，依托主干，凸顯函數與方程思想

對于數學來說，函數是其永恒的主題，是學習方程的最基本思想.想要將函數學好，最為根本的辦法就是要學好導數，它是研究函數最為有效的路徑，是最得力的工具.正因如此，高考對學生的函數基礎知識進行了全方位的考查，并在此基礎上將函數同其他數學知識進行了結合，產生了很多的新題型.這些題型的出現，一方面，幫助學生提升了學習成績，另一方面，也使學生將所學知識應用到具體的實踐當中去.因此，函數與方程、導數、不等式等知識的交匯是考查函數與方程思想的必然選擇.

(二)注重應用，回歸生活，超越生活，凸顯函數與方程思想

《課標》中提出“發展學生的數學應用意識”.因此，數學高考“堅持數學應用，考查應用意識”.函數應用性問題貼近生活，而解決這類問題所涉及的數學知識、數學思想和方法都是《考綱》中要求掌握的主干知識和主要思想方法.特別地，以函數與方程的思想為指導構建函數模型，可以充分考查學生推理論證能力、抽象概括能力、運算求解能力和應用意識.因此，將函數同學生實際生活相結合來出題是考查函數與方程思想的重要選擇.

總而言之，函數與方程思想的學習，對學生來說至關重要.因此，作為一線教師，要注重學生運用函數和方程思想解決問題意識的培養，提升學生解決問題的能力.