“點差法”的一些幾何聯(lián)想

◎黃毅峰

(佛山市三水區(qū)三水中學(xué)，廣東 佛山 528100)

“點差法”的一些幾何聯(lián)想

◎黃毅峰

(佛山市三水區(qū)三水中學(xué)，廣東 佛山 528100)

本文通過幾何探究，試對抽象的“點差法”的解題過程與結(jié)論，從幾何角度做一些聯(lián)想：幾何圖形對稱、中點弦的幾何性質(zhì)、切線的幾何性質(zhì)、橢圓與雙曲線的第三定義等.

圓錐曲線；曲線系；中點弦；切線；幾何對稱；斜率公式；中點公式

我們常在處理圓錐曲線問題時，為了解題方便會設(shè)一些元但不求這些元，而是利用這些元架起連接已知元與未知元的橋梁從而解決問題，這種方法就叫“設(shè)而不求”.而其中對元的運算與理解，煩瑣而抽象，成為學(xué)生甚至教師難以逾越的鴻溝.要在教與學(xué)上突破這個難點，除了研究整體代換思想、設(shè)參消參技巧，更要注重通過數(shù)形結(jié)合去理解其中的數(shù)學(xué)方法與思想.

一、“點差法”過程中的幾何對稱

圖1

通常用“點差法”會這樣解：設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，

①

②

(*)

而直線AB的方程為y-y0=kAB(x-x0)，

不難看出“點差法”的解題過程巧妙但死板，為什么要代點，為什么要作差呢？我們不妨從幾何對稱的角度做一些聯(lián)想.

①

關(guān)于點P(x0，y0)對稱的橢圓方程為

②

二、“點差法”結(jié)論中的幾何性質(zhì)(即中點弦的幾何性質(zhì))

圖2

另證 設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中點為P(x0，y0)，則x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，

三、中點弦的幾何性質(zhì)引申——切線的幾何性質(zhì)

圖3

如圖3，在圓錐曲線上的兩點A，B無限接近中點P時，此時割線AB便成為曲線在點P處的切線l，此時，kAB=kl.從而利用極限思想引申出切線的幾何性質(zhì)：

引申3 拋物線y2=2px(p>0)在點P(x0，y0)處的切線l的斜率為kl，當(dāng)切線l的斜率存在且不為0時，有kl·y0=p，此時切線l方程為y0y=p(x+x0).

四、中點弦的幾何性質(zhì)引申——“第三定義”

圖4

另證 由弦BC的中點為坐標(biāo)原點O可設(shè)點B(m，n)，C(-m，-n)，動點A(x0，y0)，則

五、結(jié)束語

利用幾何圖形，“點差法”從廣義上可以聯(lián)想到“兩對稱曲線求公共弦問題”“中點弦、切線的幾何性質(zhì)”“第三定義的消參技巧”，這樣才能既理解整體代換的數(shù)學(xué)思想，也能更好地掌握設(shè)參消參的方法.其實，以上結(jié)論1～3及引申1～4在圓中更具有一般規(guī)律與幾何美感，這也是圓錐曲線中的類比推理與幾何探究的另一個角度與方法.