構造新數列求遞推數列通項

◎劉淑芬 周 李

(華東交大理工學院，江西 南昌 330022)

構造新數列求遞推數列通項

◎劉淑芬 周 李

(華東交大理工學院，江西 南昌 330022)

在研究數列問題時，重點、難點問題就是求遞推數列的通項.遞推數列的通項的求法有多種，筆者認為利用化歸的數學思想，通過構造新數列把不典型的數列轉化為等差、等比兩種典型的數列是一種重要的有效的方法.構造新數列需要比較靈活地運用一些變形技巧，學生求這一類問題時常常會感到力不從心.這也使這一類問題變成難點問題.為此本文介紹了利用構造新數列求數列通項的七種通法通則，供讀者參考.

新數列

一、求由an=pan-1+f(n)確定的數列通項公式

an=pan-1+f(n)確定的遞推數列的通項公式是相對簡單的一種類型.一般方法是構造遞推關系an+g(n)=p[an-1+g(n-1)]，使得數列{an+g(n)}為等比數列，所以，只要求出n的函數g(n)，數列{an}的通項公式也就迎刃而解了.在求解過程中，我們要注意函數g(n)的結構需要根據f(n)的結構而定.如果f(n)是關于n的一次函數，則g(n)也應該是一次函數，如果f(n)是關于n的二次函數，則g(n)也應該是關于n的二次函數.確定g(n)的結構與f(n)一致之后再通過待定系數的方法求出g(n).

例1 已知{an}滿足a1=3，an+1=2an+1，n∈N*，求數列{an}的通項公式.

二、求由an+1=pan+qn確定的數列的通項公式

五、求由an+2=p·an+1+q·an確定的數列的通項公式

對遞推式an+2=p·an+1+q·an，思路是利用待定系數變形成an+2+xan+1=y(an+1+xan)的形式，把數列{an+xan-1}作為等比數列，求數列{an}的通項公式.其中的常數x，y利用待定系數法求得.

例4 (2008年天津卷文科第20題)在數列{an}中，首項a1=1，a2=2，且an+1=(1+q)·an-q·an-1，(n≥2，q≠0)，求數列{an}的通項公式.

七、利用三角函數構造新數列求數列的通項公式

這一種類型需要對三角函數公式進行遷移和聯想，結合已知的遞推關系的特點構造數列的遞推關系.

以上七種類型遞推數列求通項公式的方法，主要體現了一個重要的數學思想，那就是轉化化歸思想，轉化的目的是把陌生的數列轉化為熟悉的等差、等比數列來求解，根據不同的遞推式，采用相應的變形手段，從而達到轉化的目的.在變形的過程中可以構建一個新數列，構建新數列的目的是為了化繁為簡、化未知為已知、化陌生為熟悉，這也是解答數學問題的共性之所在.