優化例題教學 培養學生思維

◎應躍飛

(浙江省臨海市大田初級中學，浙江 臨海 317004)

優化例題教學 培養學生思維

◎應躍飛

(浙江省臨海市大田初級中學，浙江 臨海 317004)

例題教學時的一題多解、多題一解、一題多變是提高課堂教學有效性的重要途徑，也是發展學生數學思維能力、培養創新能力的有效措施.教師應該以教材例題為抓手，巧妙地加以引發，不斷激發學生學習數學的興趣和欲望，以增加主動參與數學學習活動的內驅力.本文結合初中數學教學實踐，闡述了優化例題教學培養學生思維能力的有關途徑與教學策略.

例題教學；思維培養；途徑策略

教材中的例題、習題都是精心挑選和設計的，具有一定的典型性和示范性，這些例題、習題可作為滲透新理念、傳授新知識、訓練技能、培養能力的主要載體.教師可創造性地使用這些例題、習題，既可選擇一些適合一題多解或一題多變的例題、習題，也可以選擇適于多題一解的題組，為學生積極參與自主探究、合作交流提供豐富的學習資源，有利于學生養成獨立思考、積極探索的習慣，使學生在例題、習題的學習活動中發展數學思維，優化智能結構.

一、一題多解，培養廣闊性思維

一題多解，是指利用問題中的一些重要細節和特殊因素，想出各種不同的解法.一題多解既可以拓寬解題思路，開闊視野，優化解題策略，尋求最佳解題捷徑，又可以突破定式思維，培養思維的廣闊性.

例1 (八年級下冊教材習題)如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是BC邊的中點，∠AEF=90°，EF交正方形的外角平分線CF于點F.求證AE=EF.

圖1

圖2

圖3

師：如圖2，要證明線段相等，常需證兩個三角形全等，你們能否找出分別以AE和EF為邊的兩個全等三角形，若不能直接在圖中找到，能否通過添輔助線構造出這樣的一對全等三角形？

生1：取AB中點M，連接ME.可得BE=BM=CE=AM，所以∠BME=∠BEM=45°，∠AME=∠ECF=135°,由∠AEF=90°易證得∠MAE=∠CEF,所以△AME≌△ECF,從而有AE=EF.

師：請問生1，這條輔助線你是如何想到的？

生1：我發現圖中隱含的∠BAE=∠CEF,才想到添這條輔助線來構造全等三角形的.

師：很好！利用圖形中的一些特殊因素，尋找問題的突破口，是數學探究的一個常用方法！

生2：如圖3，當過點F作FM⊥BC于點M，△ABE和△EMF看上去全等的可能性極大,但只能證明△ABE∽△EMF,無法證明兩個三角形全等.

師：證明兩個三角形全等至少需要一組對應邊相等，但要證這兩個三角形的其中一組對應邊相等確實不容易，但同學們能否利用相似三角形的性質進一步探究它們邊的關系呢？

師：不錯！同學們解決問題的能力還是挺強的.

師：CF平分正方形的一個外角，我們可以得到45°的角，正方形性質中有關于45°的角嗎？這能給你什么有益的啟示？

生4：如圖4，通過連接AC，并取AC中點M，連接EM，易證得∠AEM=∠FEC,∠AME=∠FCE=135°,ME=CE;從而△AME≌△FCE，進一步得出AE=EF.

師：生4構造出的△AEM可以看成由△ECF繞點E逆時針旋轉90°得到.我們能否類比這種構造全等三角形的方法，通過平移或軸對稱來構造全等三角形.

圖4

圖5

圖6

生5：如圖5，類比生4，可考慮將△ECF往正方形內部平移，做法如下：取CD中點M，連接BM和EM，由△ABE≌△BCM，得到BM=AE，∠BAE=∠MBC，易證△BME≌△EFC，得到BM=EF，所以AE=EF.

生6：如圖6，類比生4，可考慮將△ABE沿直線BC折疊.做法如下：

延長AB交FC的延長線于點M，連接ME.由∠ABE=∠AEF=90°，可得∠BAE=∠FEC.再由CF是正方形ABCD外角平分線，可證得BM=BC=AC，所以∠BME=∠BAE=∠FEC.而∠FEC+∠F=∠BME+∠EMC=45°，進而可得∠F=∠CME，所以EF=ME=AE.

師：只要我們善于多角度地觀察，發現圖形中的一些特殊因素，抓住問題的本質特征，就可能有不同的方法解決同一個問題.

本例題學生在教師引導、啟發下進行了一題多解，激發了學生的學習興趣.在強化了數學知識綜合運用的同時，又提高了學生的遷移能力，對開闊學生的思路，活躍學生的思維是十分有益的，有利于創新思維的發展.

二、多題一解，培養收斂性思維

多題一解是指教師教學中有意識地選擇一些背景不同但本質相同的一些習題進行歸類分析,引導學生感悟同類問題的本質，使其弄通一題而旁通多題，多題一解不但可以有效地提高學生的解題能力，同時還可培養學生收斂性思維.

例2 (八年級上冊教材習題)如圖7，牧馬人從A地出發，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

圖7

圖8

具體作法：作點B關于l的對稱點B′，連接AB′，交直線l于點P.點P的位置即為所求.

例3 (八年級上冊教材習題)如圖9，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.)

圖9

圖10

具體做法：如圖10，作BB′垂直于河岸GH，使BB′等于河寬，連接AB′，與河岸EF相交于M，作MN⊥GH，則MN∥BB′且MN=BB′，于是四邊形MNBB′為平行四邊形，故NB=MB′.根據“兩點之間線段最短”，AB′最短，即AM+BN最短，故橋建立在MN處符合題意.

以上兩題雖然題設情境不同，但解題思路相同，例2利用軸對稱性質把BP+AP的最小值轉化為B′P+AP的最小值,再利用兩點之間線段最短求得點P的位置；例3利用平移的性質把AM+NB的最小值轉化為AM+MB′的最小值，再利用兩點之間線段最短求得點M的位置.這兩題本質上都是“化折為直”，利用兩點之間線段最短來確定所求點的位置.加強“多題一解”訓練，有助于學生把握一類題的本質特征，起到了舉一反三、觸類旁通的效果，從而有效地培養了學生收斂性思維.

三、一題多變，培養發散性思維

一題多變是充分利用一些典型例題的可變性，改組、疊加、互換等，使知識向縱向或橫向延伸，不同方面揭示問題的本質特征，擺脫思維定式的羈絆,培養發散性思維.

例4 (九年級下冊教材習題)如圖，有一銳角△ABC，BC=120，高AD=80，用它做成正方形零件，且正方形的一邊在BC邊上，其余兩個頂點分別在AC,AB上，問這個正方形零件的邊長是多少？

在分析并解決原題的基礎上，教師應引導學生將問題不斷改編：

(1)

(1)當其他條件不變，而截去的是矩形時，能否求出該矩形的最大面積？帶著這個問題，讓同桌學生展開討論、交流.經過合作交流后，多數學生會利用二次函數的最值求得矩形的面積.

(2)去掉使正方形的邊在BC邊上的條件時，這個正方形與△ABC的位置關系有哪些情況？① 正方形的一邊FG在△ABC的外部，能否求出該正方形的邊長？(師生共同分析探索，說明不能求出正方形的邊長)然后引導學生編擬出函數問題，設正方形EFGH與△ABC的重疊部分的面積為y，正方形的邊長為x，求y與x之間的函數關系式，并求出自變量x的取值范圍.② 正方形的一邊FG在△ABC的內部，其他同上.

(3)繼續引導學生分析、探究.將上面的正方形改變成等腰直角三角形EFG，EG平行于BC，點F與點A在EG的兩側，設此等腰直角三角形與△ABC的公共部分的面積為y，斜邊EG為x，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍.

(4)繼續引導學生分析、探究.若原題改變成三角形內裁去一個最大的圓，能否求出該圓的半徑？問題的改變到等腰直角三角形后似乎已山重水盡了.但這個問題的提出，猶如“一石激起千層浪”，學生的討論、探索的熱情定會很高.但求解陷入困境，此時教師帶著這個問題剖析原因.因原題條件是BC，AD已知，只說明了這個三角形的面積一定，但三角形形狀是變化的(畫圖說明)，所以，這個三角形的內切圓半徑也無法求出，適當補充一個條件，使三角形形狀一定時，就可求出半徑.

創新意識的培養是現代數學教育的基本任務，貫穿著數學教育的始終.數學的創新往往源于發散思維，創新能力的大小應和發散思維能力成正比.由此可見，加強發散性思維能力的訓練，是培養學生創造性思維的重要環節.例4的教學過程實際上是不斷提出問題和解決問題的活動，通過問題的發現或問題的提出不斷地誘發著創新意識.

總之，教師應立足教材并且創造性地使用教材，優化例題教學，使學生落實基礎知識，形成技能，發展能力，積累數學活動經驗，協調發展，從而有效地培養創新能力，使例題教學真正地成為“授人以漁”！

[1]耿飛飛.數學習題教學中知識促進能力的發展——由一道習題的教學引起的思考[J].課程·教材·教法，2014(2):78-82.

[2]吳長明，吳長榮.創造性使用教材,讓數學課堂更活躍[J].科學咨詢(教育科研)，2015(7):98-99.

[3]何金明，楊柳.數學例題教學研究[J].教學與管理，2016(1):40-42.