圓與動點問題(二)

◎唐小平

(甘肅省隴南市武都區(qū)兩水中學(xué)，甘肅 隴南 746010)

圓與動點問題(二)

◎唐小平

(甘肅省隴南市武都區(qū)兩水中學(xué)，甘肅 隴南 746010)

所謂數(shù)學(xué)中的“動點問題”即數(shù)學(xué)中的“動點型問題”，就是指題設(shè)圖形中存在一個或多個動點，它們在線段、射線、弧線或者曲面上運動的一類開放性題目.此類問題注重對幾何圖形運動變化能力的考查，一般都具有一定的難度，所以，它每年備受各個省(市、區(qū))中考的青睞.下面通過幾個具體的例子加以說明.

圖1

例1 如圖1所示，⊙O的直徑為10，弦AB的長為8，M是弦AB上的動點，則OM的取值范圍是( ).

A.3≤OM≤5 B.4≤OM≤5

C.3

解 由于M是弦AB上的動點，所以M可以與A、B重合，也可以與A、B不重合.

連接OB，則OB=5.

在Rt△OBM′中，∠OM′B=90°，OB=5，BM′=4，由勾股定理知OM′=3.

根據(jù)“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”知3≤OM≤5.

∴本題選A.

圖2

例2 如圖2所示，⊙I分別切△ABC的邊于點D，E，F(xiàn)，∠B=70°，∠C=60°，點M是優(yōu)弧DEF上的動點(與D，F(xiàn)不重合)，∠DMF的大小一定嗎？若一定，求出∠DMF的大??；若不一定，請說明理由.

解 當(dāng)點M是優(yōu)弧DEF上的動點(與D，F(xiàn)不重合)時，∠DMF始終是劣弧DF所對的圓周角，所以∠DMF的大小一定.連接ID，IF.

∵⊙I分別切△ABC的邊于點D，E，F(xiàn)，

∴AD⊥ID，AF⊥IF，即∠ADI=∠AFI=90°.

∵∠B=70°，∠C=60°，

∴∠A=180°-(∠B+∠C)=50°.

又∵∠A+∠ADI+∠DIF+∠AFI=360°，

∴∠DIF=360°-(∠A+∠ADI+∠AFI)=360°-(50°+90°+90°)=130°.

例3 如圖3所示，一個圓柱體的底面直徑為10 cm，高AB為4 cm，BC是上底面的直徑.有一只螞蟻從圓柱下底面的A點出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面爬行到C點，求螞蟻爬行的最短路程.

圖3

圖4

分析 將螞蟻看作一個點，螞蟻是在圓柱的半個側(cè)面上爬行的，如果將這半個側(cè)面展開(如圖4所示)得到矩形ABCD，那么根據(jù)“兩點之間，線段最短”可知所求的最短路程就是側(cè)面展開圖中矩形的對角線AC的長.

例4 如圖5所示，已知圓錐的底面半徑為3，母線長為9，C為母線PB的中點.一只螞蟻從A點出發(fā)沿著圓錐的側(cè)面爬行到C點，求螞蟻爬行的最短路程.

圖5

圖6

解 根據(jù)題意可知圓錐的底面圓周長是6π.將螞蟻看作一個點，螞蟻是在圓錐的側(cè)面上爬行的.

甘肅省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2016年度《初中數(shù)學(xué)動點問題分析研究》課題(課題立項號：GS[2016]GHB0653)成果.