精心設計數學實驗 培養學生數學研究能力

徐彩娥

精心設計數學實驗 培養學生數學研究能力

徐彩娥

高中數學實驗不僅要求用數學知識解決各種各樣的實際問題，更重要的是強調在解決問題中獲得運用數學的體驗和經驗，感受數學的價值，增強應用意識和應用能力。本文結合案例，論述從操作性數學實驗、思維性數學實驗和計算機模擬實驗三個方面精心設計數學實驗，培養學生的數學研究能力。

高中數學實驗；操作性數學實驗；思維性數學實驗；計算機模擬實驗

高中數學實驗是根據國家課程標準、學生認知水平及數學教學思想發展的脈絡，創設問題情境，充分利用實踐手段、設計系列問題、增加輔助環節，在教學思維活動的參與下引導學生主動、積極、批判地思考，給出驗證和理論的證明，從而使學生親歷數學建構，逐步把握認識事物與真理的方式方法，培養學生創造能力和科學研究意識，提高數學素養的一種探索活動。江蘇省太倉高級中學數學團隊根據高中的教學內容精心設計高中數學實驗，有計劃、有步驟、有目的地開設高中數學實驗課程。我們將高中數學實驗依據開展形式，分為操作性數學實驗、思維性數學實驗和圖形計算器模擬實驗三類。下文就對這三種數學實驗的教學設計進行詳細分析。

一、操作性數學實驗

操作性數學實驗教學是根據數學實驗的目的和要求，教師指導學生通過動手操作，制作或使用一些簡單的工具，驗證數學結論或假設、進行探究數學知識的教學活動。操作性數學實驗按照實驗目的分為驗證式的數學實驗和理解式的數學實驗。

1.驗證式的數學實驗設計。

驗證式實驗的目的并不是讓學生探索數學知識，而是讓學生通過實驗驗證數學結論或了解公式的應用。

【案例1】橢圓定義的應用。

（1）實驗設計：在圓形紙片內部設置一個不同于圓心的一點，折疊紙片，使圓周的邊界上有一點與該點重合，重復這個過程數次，形成一系列折疊，它們整體地勾畫出一條曲線的輪廓。

（2）實驗目的：會用橢圓定義來解釋實驗的現象，加深對橢圓定義的深刻理解，激發學生對數學的興趣，培養數學應用能力和論證能力。

圖1

（3）現象與解釋：

經過觀察，可以猜想眾多折痕圍出的圖形是橢圓。

證明：如圖1所示，∵M，O關于直線AB對稱，∴PO＝PM，

∴PC＋PO＝PC＋PM＝r，即橢圓上的點到圓心C與另一個定點O的距離和等于圓的半徑。

2.理解式的數學實驗設計。

理解式實驗主要針對一些很難直觀想象的數學公式、定理和結論，通過制作實驗模型或操作其變化過程，達到直觀、便于理解的目的。

【案例2】圓錐曲線的探索。

（1）實驗設計：從手電筒打出的光束是呈圓錐形，當光束打到墻面上時，光斑的邊緣就形成了一條曲線，畫出手電筒光束形成的圓錐曲線，并寫出對應的方程。

（2）實驗目的：通過觀察平面截圓錐面的情境，獲得自身體會，使得學生對圓錐曲線的概念有一個感性的認識，由此引出圓錐曲線的概念。

（3）實驗工具：手電筒、一張紙。

（4）實驗過程：

①在一張紙上畫出直角坐標系，并把它貼到墻上；

②手電筒垂直照向紙，使光束在紙上形成一個圓，并使光束的中心在原點，然后保持手電筒不動，描出光斑的邊緣，測量出半徑，寫出圓方程；

③改變手電筒與墻面的夾角，使得光斑形成一個橢圓，并使得對稱軸位于豎直方向，中心在原點，然后保持手電筒不動，描出橢圓的形狀，測量出長軸、短軸的長，寫出它的方程。

④用類似上述的方法，探索還能得到其他哪些曲線。

（5）現象和解釋：

手電筒發出的光束形狀可以近似看成一個圓錐，設圓錐的母線與軸線的夾角為α，紙面與軸線的夾角為β。（如圖2）

圖2

當β=90°時（即手電筒垂直與紙面時），光束在紙上形成一個圓。

改變紙面與圓錐軸線的夾角，當β=α時（即手電筒與圓錐的母線紙面平行時），光斑形成的圖形形狀是拋物線。

當手電筒既不與紙面垂直，紙面又不與圓錐的母線平行時，需要分兩種情況討論：

當β＞α時，光斑形成的圖形是橢圓；

當 β＜α時，光斑形成的圖形是雙曲線的一支。

二、思維性數學實驗

思維性數學實驗又稱為“探索建構式”實驗，它是通過對數學對象的不同變化形態下的展示，創設問題情境，引導學生運用思維方式探究數學知識、檢驗數學結論（或假設）的教學活動。思維性的數學實驗重在思維訓練，實驗分四個階段進行：探究情境的創設，學生形成問題，確認研究中的問題，對問題做出解釋。

【案例3】蘇教版高中數學必修4中“實習作業”：制作煙囪彎頭（如圖3，單位：cm），不考慮焊接處的需要，選用的矩形鐵片應滿足怎樣的尺寸？請你設計一個最合理的裁剪方案。（在矩形鐵片上畫出的裁剪線應是什么圖形？）

圖3

1.實驗設計。

（1）安排制作直角煙道模型的課前實踐活動，在利用火腿腸制作煙道模型的過程中，通過斜切火腿腸、觀察截面橢圓的展開圖，增加感性認識，為進一步的理性分析打下基礎；

（2）利用TI計算器進行函數模型擬合分析，讓學生應用信息技術驗證猜想，為推理證明埋下必要的線索；

（3）加強自主探究、合作交流活動，將每個學生的作業即時投射到大屏幕上，為課堂中的師生、生生互動提供材料，并引導學生觀察、比較、分析。

2.實驗目的。通過煙囪彎頭的設計，不僅讓學生感受“數學源于生活又服務于生活”，而且促使學生將所學的圓柱的側面展開圖、二面角、直線與平面的關系等立體幾何知識和y=Asin（ωx+φ）+ B的圖象與性質方面的知識聯系起來，培養學生的數學應用能力和創新能力。

3.實驗工具：火腿腸、美工刀1把、矩形紙片一張、TI計算器。

4.實驗過程：

（1）課前探究。

第一步：先切去火腿腸兩頭，將其切成一個圓柱體，再將圓柱體按約45°斜切成兩段，拼成一個直角煙道的模型。

第二步：用美工刀將其中一段火腿腸包裝紙切開，然后將其展平在一張紙上，并觀察曲線的形狀特征。

（2）學生初步確定曲線函數圖象：截面橢圓的展開曲線可能是正弦型函數y=Asin（ωx+φ）+k的圖象。

（3）借助TI計算器操作確認。

選取一張學生的圖片，導入到TI計算器的坐標系中，然后讓學生完成下面操作：①在曲線上有針對性地選一些點（至少5個），測量各點的坐標，并將測得的坐標列成電子表格；②至少選用兩種函數模型進行回歸分析，并比較一下效果。

（4）實驗結果和解釋。

可將此問題數學化為一個數學模型，供學生利用理論進行推理論證：水平面α與斜平面β成45°的二面角，α∩β=l，且l與截面圓O相切。設圓柱底面半徑為1，點Q為截面橢圓上任一點P在水平截面α上的投影，設AQ=x，PQ=y，試求y關于x的函數表達式。

“實驗操作→直覺猜想→直觀驗證→推理論證”是科學探究的一般方法。讓學生參與探究的全過程，可以培養學生嚴謹的思維習慣。在學生利用TI計算器擬合并得出初步結論時，引導學生利用所學的數學知識進行嚴密論證是不可或缺的一環。在探究過程中，通過層層設問，適時點撥，使學生調動、運用已有數學知識，最終揭開直觀現象背后的數學奧秘。

三、計算機模擬實驗

計算機模擬實驗教學指借助于計算機的快速運算功能和圖形處理能力，模擬再現問題情境，引導學生自主探究數學知識、檢驗數學結論（或假設）的教學活動。計算機多媒體技術能為教學活動提供并展示各種所需的圖文資料，創設、模擬各種與教學內容相適應的情境，為學生的學習和發展提供豐富多彩的學習情境和有力的學習工具。

【案例4】拋擲硬幣實驗。

1.實驗設計。通過TI計算器模擬拋擲硬幣的實驗，記錄正面向上的頻率。

2.實驗工具。TI計算器。

3.實驗目的。體驗拋擲硬幣的實驗，真正感受出現正面的概率為

4.實驗過程。利用TI計算器，記錄正面向上的次數，計算正面向上的頻率

5.實驗現象。分別統計小組和全班學生的實驗結果，得到正面向上的概率是

6.理論解釋。拋擲一枚硬幣出現的結果只有兩種：正面向上和正面向下，且兩種事件是互斥的，所以拋擲一枚硬幣出現正面向上的概率是

以往的教學因為缺乏實驗的環境，常常將結論直接提供給學生，學生沒有質疑的機會，自然也沒有質疑的念頭，這對科學探究精神的培養是不利的。這里借助TI計算器進行數學實驗，有效地驗證或探究數學問題，使得做數學、用數學成為可能。

可見，數學實驗不但可以改變傳統的教學方式，而且使得數學探究活動變得豐富多彩、方法靈活多樣。通過數學實驗課程的開設，不但有利于培養學生的主體意識，而且改變了學生學習方式，拓展了問題研究的空間，真正做到富有創造性地學習數學，真正有利于培養學生創新意識和研究能力，真正有效提高了學生的核心素養。

［1］孫立博，趙九松.淺談中學數學實驗［J］.數學通訊，2005（09）.

［2］孫建國，章建躍.信息技術環境下的問題解決能力培養［J］.中學數學教學參考，2015（05）.

G633.6

A

1005-6009（2017）27-0009-03

徐彩娥，江蘇省太倉高級中學（江蘇太倉，215400）教師，高級教師，蘇州市名教師，江蘇省優秀教育工作者。