追尋數學實驗在教學中的自然融入

孫建國

追尋數學實驗在教學中的自然融入

孫建國

數學實驗應是數學教學過程中的一個環節。否則，數學實驗的教學就容易顯得突兀。為此，在設計數學實驗時，應基于“三個理解”，選準設計的切入點，巧用設計留白。

數學實驗；一體化設計；高中數學

隨著“互聯網+教育”時代的到來，圖形計算器、iPad等手持終端已進入校園，基于手持終端的數學實驗在教學中的作用也越來越得到認可。為使數學實驗在教與學中真正發揮好作用，需要對數學實驗與教學進行一體化設計，即把數學實驗作為教學過程的一個環節來設計，使數學實驗的目的、時機、方法與教學內容和學情等相匹配。筆者選取其中一些教學案例片段，結合本人的實踐與思考，談一談數學實驗與數學教學一體化設計的幾點體會。

一、基于“三個理解”，讓實驗與教學水乳交融

人教社編審章建躍博士曾撰文說過，數學教師要做到“三個理解”，即理解數學，理解學生，理解教學，并強調理解數學是教好數學的前提。［1］因此，對數學實驗與數學教學進行一體化設計的時候也應該做到“三個理解”，這樣才能讓學生“學會”和“會學”。

【案例1】簡單線性規劃問題的解法探究。

在蘇教版高中數學必修5第3.3節 “簡單的線性規劃問題”第1課時的教學中，一位教師啟發學生利用數學實驗解決如下問題：

預設的實驗步驟如下：

①利用圖形計算器畫出上述約束條件表示的平面區域，如圖1；

圖1

②在平面區域內任取一點M；

③測量點M的坐標，計算z=2x+y的值；

④在平面區域中（包括邊界）內拖動點M，通過觀察z=2x+y的值的變化來找出最大值。

但在教學過程中的情形如何呢？學生要么找不到最優解，要么找到了卻說不出為什么，課堂陷入了尷尬。

這種設計的初衷是引導學生在圖形計算器上動手操作，通過反復地“試誤”和“比較”來找出最優解，但偏偏在“三個理解”上出了問題。首先，從理解數學來說，讓學生在平面區域內用“窮舉法”找出使z值最大的點M的方法不可行，因為該平面區域是無窮集，點M的取法不可能窮盡，因而找出最優點M只能憑運氣；第二，從理解學生來說，當學生第一次接觸有2個變量的函數最值，過去的經驗完全用不上時，上述設計中教師沒有找準學生思維的盲點；第三，從理解教學來說，教師沒有抓住例題解決過程中的新知運用環節，沒有為學生形成解決同類問題的“一般觀念”而鋪設階梯。

鑒于上述考慮，我覺得可以在一體化設計時刪去上述實驗中的第④步，而改用以下幾個問題來引導學生，效果則可能完全不同。

問題1：請在平面區域內找出一個點，使z=2，并與同學交流。

問題2：大家所找出的點M有什么共同點？

問題3：平面內所有使z=2的點M組成一個什么圖形？

問題4：用圖形計算器驗證，當直線l：2x+y=2向上平移時，其上每一點對應的z=2x+y將如何變化？為什么？

問題5：用圖形計算器驗證，當直線l：2x+y=2向下平移時，其上每一點對應的z=2x+y將如何變化？為什么？

上述基于“三個理解”的數學實驗與教學一體化設計，可以減少學生在數學實驗中的盲目性，有效地喚醒學生原有的知識、方法和經驗，并以問題串適時地點撥學生，使其按照思維階梯一步一步找到解決同類問題的方法步驟，形成所謂的“一般觀念”。

二、選準切入點，讓實驗在教學中流光溢彩

筆者在研究過程中，按實驗的目的差異把高中數學實驗分為驗證性實驗和發現性實驗。其中驗證性實驗主要指學生為了驗證已知結論 （公式、定理、法則和猜想等）而進行的數學實驗；發現性實驗則是對數學結論的“再發現”過程，它們都是手腦并用、有意義的思維活動。但一些數學實驗卻存在著可有可無、采點不當的問題。

【案例2】正整數平方和公式的“發現”。

正整數平方和公式的推導是（蘇教版）高中數學選修2-2“推理案例賞析”中所錄的案例之一。它由以下兩部分組成：一是利用歸納推理“發現”公式，二是利用演繹推理證明公式。下面重點討論公式的發現過程。

課本案例設計的發現過程如下：

設S1（n）=1+2+3+…+n，S2（n）=12+22+32+…+n2

先通過列出下表：

n 111 3 2 3 4 5 6…3 6 10 15 21 …5 14 30 55 91 …5791113 S1（n）S2（n）S2（n）S1（n ）333333…

本案例的初衷是讓學生欣賞綜合運用合情推理和演繹推理解決真實數學問題的過程，培養學生進行數學探索、數學發現的能力，從這個意義上來說，在這個案例中，選擇電子表格呈現對比數據使得自然數平方和公式的發現非常直觀，這個點選得不錯，但其實借助圖形計算器或電腦軟件，這個公式的發現門檻可以降得更低。

學生已學過函數的概念和一些基本初等函數的圖象與性質，不妨啟發學生用另一個直觀工具——圖象來觀察“和與項數的關系”。學生可利用圖形計算器作出（n，S（n））散點圖，并根據圖象特征合理猜想函數S（n）的可能類型（如圖 2）。接下來，教師可以引導學生進行數學實驗與思考。

圖2

教師：根據散點圖中點的分布特征，你想到了什么函數圖象？

學生：半條拋物線。

教師：如果（n，S（n））在一條拋物線上，請求出函數解析式Sn=f（n），并用計算器驗證其正誤。

學生：利用前3個點的坐標可由待定系數法得到：Sn=2.5n2-3.5n+2，但計算發現S4=28，與12+22+ 32+42=30不符。

學生：難道是三次函數？

教師：請求出這個三次函數表達式，并利用計算器驗證其正誤。

三、巧留設計空白，讓實驗激發學生創新

我們常常看到，目前課堂教學中的一些數學實驗，有的只是由學生播放、演示由教師事先制作的課件，有的則是學生在教師的統一指令下亦步亦趨，這種包辦的做法忽視了學生的個體差異，也不能有效激發學生的創造欲。因此在一體化設計時，教師可以注意對實驗的方法與步驟留白，讓學生在能力范圍內自主構思實驗的方法和步驟，以提高學生借助工具去解決問題的能力，提升數學核心素養。以下是筆者執教“函數圖象的平移和伸縮變換”一課的案例片段。

【案例3】探究函數圖象的橫向伸縮變換。

教師：剛才我們研究了函數圖象的縱向變換規律，請你通過實例研究函數圖象的橫向伸縮變換。

教師：非常好！請大家測量橫向變（窄）寬的比例，然后歸納出一般結論。

學生（邊演示邊講）：過函數y=f（x）圖象上任一點A作y軸的垂線，與函數y=f（kx）的圖象交于B點，分別測量A、B的坐標，可發現點B的橫坐標是點A橫坐標

教師：很好！根據上述實驗，我們可以得出什么一般結論？

教師：如何證明上述結論對任何函數和正數k成立呢？

教師：很好。還有其他方法嗎？

學生：像橫向伸縮變換的證明一樣，設A（x，y）是函數圖象上任意一點。則，故知點在函數y=f（k·x）圖象上，所以將點A的橫坐標變為原來的，縱坐標保持不變，即可得點B，考慮到點A的任意性，結論成立。

函數圖象的橫向伸縮變換是伸縮變換的難點所在。按照傳統的教學次序，各版本高中數學教材都不約而同地將此內容安排在學過三角函數的圖象、性質之后，并以函數y=Asin（ωx+φ）為例來研究。教學中學生會參照周期的變化，來直觀感知橫坐標變化的理由。雖然這樣設計增加了直觀性，但降低了認識的深度。造成部分數學資優生的困惑：伸縮變換的規律對于非周期函數是否適用呢？如果也適用，那么理由是什么？等等。鑒于此，筆者為所教的實驗班學生設計了本課，并在高一階段就讓學生來探究函數圖象的伸縮變換規律。在本課的教學過程中，對函數圖象的縱向伸縮變換的研究是在教師引導、示范下通過數學實驗完成的，但在研究橫向伸縮變換時，考慮到學生已有了研究函數平移變換、縱向伸縮變換的經歷，筆者加大了學生的探究自由度，結論的探究和證明完全交給學生去完成，最終收獲了滿滿的驚喜。學生不僅得出了正確的結論，而且證明方法也簡明、正確、嚴謹。

匈牙利數學家波利亞說過，數學有兩個側面，一方面它是歐幾里得式的嚴謹科學，從這方面看，數學像是一門系統的演繹科學；但另一方面，創造過程中的數學看起來像是一門試驗性的歸納科學。因此在教學中引入數學實驗的意義是毋庸置疑的。為了讓數學實驗為課堂提質增效，必須基于 “三個理解”，并為學生預留創新的空間，從而使“發現”觸手可及，水到渠成。而這也是全面落實課程目標，更好地發揮數學育人功能的應有之義。

［1］章建躍.理解數學是教好數學的前提［J］.數學通報，2015（01）.

G633.6

A

1005-6009（2017）27-0012-03

孫建國，江蘇省太倉高級中學（江蘇太倉，215411）教師，高級教師，蘇州市名教師。