幫你歸納—冪函數圖象

云南省紅河州蒙自市蒙自一中(新校區)(661100)

蘇保明●

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幫你歸納—冪函數圖象

云南省紅河州蒙自市蒙自一中(新校區)(661100)

蘇保明●

冪函數是初等函數的重要內容之一，同時也是高考命制題型的重要內容，其中主要體現在對冪函數圖象的考查，而高考題呈現方式卻是對冪函數與其他函數圖象的綜合考查.由于冪函數圖象的多樣性和復雜性，導致給同學們帶來學習上的一些困難，為了幫助同學們更好地學習冪函數的圖象，本文對冪函數的圖象進行了綜合歸納，希望能對同學們的學習有所幫助.

知識回顧：形如y=xα(α∈R)的函數稱為冪函數，其中x是自變量，α為常數，所有的冪函數在(0，+∞)都有定義，并且圖象都過定點(1，1).冪函數隨著α的不同，其定義域、值域都會發生變化，從而其圖象也隨之發生變化，根據冪函數的性質得出圖象可歸納為以下幾類：

一、當α>1時

特例：(1)畫y=x2的圖象(如圖1)；(2)畫y=x3的圖象(如圖2)；

(3)畫y=x3/2的圖象(如圖3).

歸納 (1)當α=2,4,6,8,…，即α為大于1的偶數時.在第一象限內，圖象經過點(0,0)和點(1,1)，且單調遞增，圖象為拋物線凹型；因為函數是偶函數，所以由偶函數圖象關于y軸對稱，即可畫出其在第二象限內的圖象(形狀大致與圖1相近).(2)當α=3,5,7,9,…，即α為大于1的奇數時.在第一象限內，圖象經過點(0,0)和點(1,1)，且單調遞增，圖象為拋物線凹型；因為函數為奇函數，所以由奇函數圖象關于原點對稱，即可畫出其在第三象限內的圖象(形狀大致與圖2相近).(3)當α為大于1的分數，且分母是偶數、分子是奇數時.在第一象限內，圖象經過點(0,0)和點(1,1)，且單調遞增，圖象為拋物線凹型；因為負數沒有偶次方根，所以其函數只在第一象限內有圖象(形狀大致與圖3相近).(4)當α為大于1的分數，且分母是奇數、分子是偶數(如y=x4/3)時，函數圖象的形狀大致與圖1相近.(5)當α為大于1的分數，且分母與分子都是奇數(如y=x5/3)時，函數圖象的形狀大致與圖2相近.

二、當0<α<1時

特例：(1)畫y=x2/3的圖象(如圖4)；(2)畫y=x1/3的圖象(如圖5).

(3)畫y=x1/2的圖象(如圖6).

歸納 (1)當0<α<1的分數，且分母是奇數、分子是偶數時.在第一象限內，圖象經過點(0,0)和點(1,1)，且單調遞增，圖象為拋物線凸型；因為函數是偶函數，所以由偶函數圖象關于y軸對稱，即可畫出其在第二象限內的圖象(形狀大致與圖4相近).

(4)當0<α<1的分數，且分子是奇數、分母是偶數(y=x3/4)時，函數圖象的形狀大致與圖6相近.

(5)當0<α<1的分數，且分子與分母都是奇數(y=x3/5)時，函數圖象的形狀大致與圖5相近.

三、當α<0時

特例：(1)畫y=x-1的圖象(如圖7)；(2)畫y=x-2的圖象(如圖8)；

(3)畫y=x-3/2的圖象(如圖8).

歸納 (1)當α=-2,-4,-6,-8,…，即a為小于0的偶數時.在第一象限內，圖象經過點(1,1)，且單調遞減，圖象為雙曲線型；因為函數是偶函數，所以由偶函數圖象關于y軸對稱，即可畫出其在第二象限內圖象(形狀大致與圖7相近).

(2)當α=-1,-3,-5,-7,-9,…，即a為小于0的奇數時.在第一象限內，圖象經過點(1,1)，在區間(0,+)上單調遞減，圖象為雙曲線型；因為函數是奇函數，所以由奇函數圖象關于原點對稱，即可畫出其在第三象限內的圖象(形狀大致與圖8相近).

(3)當α是負分數，且分子是奇數、分母是偶數時.在第一象限內，圖象經過點(1,1)，且單調遞減，圖象為雙曲線型.因為負數沒有偶次方根，所以其函數只在第一象限內有圖象(形狀大致與圖9相近).

(4)當α是負分數，且分子是偶數、分母是奇數(如y=x-2/3)時，函數圖象的形狀大致與圖7相近.

(5)當α是負分數，且分子與分母都是奇數(如y=x-5/3)時，函數圖象的形狀大致與圖8相近.

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1008-0333(2017)13-0028-02