追根溯源話數列

廣東省廣州市花都區第二中學(510820)

楊偉達●

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追根溯源話數列

廣東省廣州市花都區第二中學(510820)

楊偉達●

眾所周知，數列是每年高考數學重點考查內容之一．隨著高考改革深入推進，盡管全國卷的高考數列題有所降低，但數列的概念及通性通法依然是歷年考查的重點．本文就高中一些數列問題分別以“找常數”、“找鄰居”、“找配對”、“構函數”進行闡述、剖析，供大家參考.

一、找“常數”

在高中《數列》這一章學習中，筆者發現兩個特殊“差、比”數列定義中都離不開“常數” .

學生常常作差(或作比)找常數，活用定義. 而這個“常數”在解決數列問題中往往起到至關重要的作用.

解析 (1)證明因為an+1=3an+1，

因此，在求數列通項時有時常數成了解決問題的關節點.如何破解常數，把它轉化為特殊的差比數列，問題也就迎忍而解.

二、找”鄰居”

在兩個特殊“差、比”數列定義中,筆者發現教材都強調“前后”項.這“前后”項往往成為列方程組消元的慣用手法.

分析 在許多高考數列題中，混合關系式既含有Sn又含有an，主要處理方法：要么消Sn變為an，要么消an變為Sn.在消元中常常用到an=Sn-Sn-1(n≥2).換而言之：先找“鄰居” 即找“n+1或n-1”的項再作減.

因為an>0所以an+1-an=2.

解得：a1=-1(舍去)，a1=3.

解析a1+2a2+3a3+…+nan

所以a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1

①-②得：

所以Tn=a1+a2+a3+…+an

三、找”配對”

解析 由S9=S4得a5+a6+a7+a8+a9=0，即5a7=0，a7=0，則ak+a4=0=2×0=2a7，從而k=10.

點評 本題最大的看點在于: “2×0=0”,巧妙地補形后再利用等差數列的“配對”性質,求出其參數k.

所以①+②得：

2S=2012×3,

所以S=3018.

四、構函數

眾所周知，數列是刻畫離散現象的數學模型，是一種特殊的函數. 因此，運用函數的一些性質解決有關數列問題也是順理成章的事.

所以f(n)為減函數

所以m的最小值為8.

通過這個例子可以看出，在考查數列不等式時，一些傳統方法解決比較困難時，不妨把它轉化為函數，此時函數性質就有用武之地.

求證：lna1+2lna2+3lna3+...+nlnan>(n-1)2(n∈N,n≥2).

解析 由已知遞推公式有：

因為an+1=Sn+1-Sn,

化簡： (an+1+an)(an+1-an-1)=0.

因為an>0，所以an+1-an=1.

又因為a1=1,所以an=n.

所以要證的不等式轉化為ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn>(n-1)2(n∈N,n≥2).

顯然，右邊=(n-1)2=1+3+5+…+(2n-3),

所以只要證明ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn>0+1+3+5+…+(2n-3)(n∈N,n≥2).

因此，只要證：klnk>(2k-3),只要證xlnx>(2x-3)(x≥2,x∈R).

構造函數f(x)=xlnx-2x+3(x≥2,x∈R),

f′(x)=lnx-1.

當x>e時，f′(x)=lnx-1>0為增函數，當0

所以f(x)min=f(e)=elne-2e+3=3-e>0,

所以f(x)>0在x>0時恒成立，即xlnx>2x-3).

所以原不等式成立.

在涉及到超越函數時，往往用導數法求解.同樣，數列不等式中若含有超越式，構造函數用導數法求解比較方便快捷.

[1]楊偉達.“0”問題的妙用[J]中學數學研究,2011(8):41-42.

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