高考數列中不等式的證明

貴州省遵義市正安縣格林鎮永長村校(563405)

葉 飛●

?

高考數列中不等式的證明

貴州省遵義市正安縣格林鎮永長村校(563405)

葉 飛●

對數列的考查，是高中數學的難點，也是高考的熱點.一般解法是利用重要不等式，對不等式進行放縮，并結合數學歸納法進行證明.本文結合高考題，對數列不等式的證明進行討論.

不等式;數列；數學歸納法；放縮法

數學歸納法是用來證明某些與自然數有關的數學命題的一種推理方法，在解數學題中有廣泛的應用，尤其在數列的相關證明中發揮重要的作用.

分析 該題的兩道小題均涉及對一切正整數均成立的問題，從而優先考慮數學歸納法，

解 (1) 用數學歸納法.先證明a2為奇數.

解 (1)a2=2λ+λ2+2(2-λ)=λ2+22,

a3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)×22=2λ3+23,

a4=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)×23=3λ4+24.

a.當n=1時，a1=(1-1)λ+2=2,等式成立.

b.假設當n=k時成立，即ak=(k-1)λk+2k，則有

ak+1=λ[(k-1)λk+2k]+λk+1+(2-λ)2k=kλk+1+2k+1,

從而當n=k+1時，等式成立.

因此，an=(n-1)λn+2n對任意n∈N*均成立.

(2) 設bn=(n-1)λn，則bn的前n項和

Tn=λ2+2λ3+…+(n-2)λn-1+(n-1)λn，

λTn=λ3+2λ4+…+(n-2)λn+(n-1)λn+1.

因為λ>0，所以an>0，要使得不等式成立，只要2an+1<(λ2+4)an(n≥2).

而(λ2+4)an=(λ2+4)(n-1)λn+(λ2+4)2n>4λ(n-1)λn+2n+2≥2nλn+1+2n+2=2an+1,n≥2,

小結 從上面兩個例子可以看到，對于數列中的不等式進行處理，首先根據前幾項發現一般規律，再使用數學歸納法進行證明，并結合重要不等式，這是一種常用的處理手段，也是高考數學中考查分析能力的一種重要方法.

[1]劉劍鵬. 高中數學中數列的解題技巧探析[J] . 數理化解題研究.2016，28：39

[2] 文衛星. 挑戰高考數學壓軸題[M].上海：華東師范大學出版社,2010

[3] 曲一線.五年高考三年模擬[M].北京：首都師范大學出版社,2016

G632

B

1008-0333(2017)13-0039-01