巧用二項(xiàng)式定理證明不等式

貴州省盤縣十二中(553539)

阮世雄●

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巧用二項(xiàng)式定理證明不等式

貴州省盤縣十二中(553539)

阮世雄●

二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)中很重要的一部分內(nèi)容，它的應(yīng)用范圍非常廣泛，用法非常靈活.證明與n(n∈N)次方有關(guān)的不等式是其重要用途之一，這里略舉幾例供大家參考.

證明 應(yīng)用二項(xiàng)式定理(注意這里n≥2)，結(jié)合放縮法有

反思 先利用二項(xiàng)式定理把乘方式展開(kāi)，再恰當(dāng)使用放縮法，是解決這類問(wèn)題的常用思路.

例2 已知n∈N，n≥2，求證3n>(n+2)·2n-1.

分析 本題不如上題的結(jié)構(gòu)明朗，似乎與二項(xiàng)式定理的形式有很大的出入.我們可以把3n進(jìn)行變形構(gòu)造出定理的形式，注意到不等式右邊含有2n-1，因此可以考慮把3n變形為3n=(2+1)n.

證明 在條件n∈N，n≥2下：

即有3n>(n+2)·2n-1(n∈N，n≥2).

反思 本題的關(guān)鍵是構(gòu)造出符合二項(xiàng)式定理的形式，這是我們應(yīng)用二項(xiàng)式定理證明不等式的主要技巧.

例3 已知n∈N，n≥1，求證：(2n+1)n≥(2n)n+(2n-1)n.

分析 本題的證明思路很容易尋找，我們先把所要證的式子簡(jiǎn)單變形為(2n+1)n-(2n-1)n≥(2n)n，再運(yùn)用二項(xiàng)式定理把左邊兩項(xiàng)展開(kāi)即可.

證明 ∵(2n+1)n-(2n-1)n

∴(2n+1)n≥(2n)n+(2n-1)n(n∈N，n≥1).

反思 對(duì)于(1+x)n±(1-x)n的計(jì)算應(yīng)該注意符號(hào)上的規(guī)律.

例4 已知i、m、n是正整數(shù)，且1

分析 問(wèn)題(1)用排列數(shù)公式即可解決；問(wèn)題(2)應(yīng)該建立在問(wèn)題(1)的基礎(chǔ)上，再借助二項(xiàng)式定理進(jìn)行解決.

只要證ni·m(m-1)…(m-i+1)

由二項(xiàng)式定理可知：

反思 這一道試題，綜合考查了排列數(shù)公式、組合數(shù)公式及二項(xiàng)式定理等知識(shí)，有一定的難度.很多同學(xué)在平時(shí)的學(xué)習(xí)中只注意了二項(xiàng)式定理的其他應(yīng)用，忽視了證明不等式這一方面的訓(xùn)練，造成了嚴(yán)重失分.

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1008-0333(2017)13-0009-01