函數(shù)零點與單調(diào)性在導數(shù)題目中的應用

山東省寧陽第二實驗中學(271400) 山東省寧陽一中(271400)

王曉輝● 蘇凡文●

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函數(shù)零點與單調(diào)性在導數(shù)題目中的應用

山東省寧陽第二實驗中學(271400) 山東省寧陽一中(271400)

王曉輝● 蘇凡文●

在高中階段，導數(shù)知識主要用來研究高次函數(shù)、超越函數(shù)的性質(zhì)，難度較大，有較強的區(qū)分度，故在模擬題與高考題中一直肩負著壓軸題的重任.本文利用一類與不等式有關的典型導數(shù)題目，從函數(shù)零點與函數(shù)單調(diào)性兩個視角談一下一類導數(shù)大題的解決辦法.

視角一 函數(shù)零點

對于超越函數(shù)的零點一般要靠觀察得到，但也有章可尋，如若函數(shù)中含對數(shù)式，真數(shù)為1時對應的自變量的值一般為函數(shù)的零點，而且零點多為0、1、-1、e等.

視角二 函數(shù)的單調(diào)性

導數(shù)研究的函數(shù)單調(diào)性無外乎三種，我們分別命名為類一次函數(shù)、類二次函數(shù)、類三次函數(shù)，即函數(shù)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減、先增后減或先減后增、先增后減再增或先減后增再減.

類型一 零點與類一次函數(shù)

若函數(shù)定義域的端點為函數(shù)的唯一零點，則對應的函數(shù)一般為類一次函數(shù)，可利用一次函數(shù)的單調(diào)性解題.

題目1 (2016新課標Ⅱ文20)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

分析 (Ⅱ)中容易發(fā)現(xiàn)僅有1為函數(shù)f(x)的零點，即f(1)=0，又滿足f(x)>0恒成立，所以大膽猜測函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增的類一次函數(shù)，以此為切入點嘗試解題.

二、零點與類二次函數(shù)

此類型題目有兩類.

1.若函數(shù)定義域內(nèi)(不含端點)有唯一零點，而函數(shù)恒大于或恒小于(亦可恒大于等于或恒小于等于)零，則對應的函數(shù)一般為類二次函數(shù)，可利用二次函數(shù)的單調(diào)性來解題.

2.若函數(shù)定義域兩端點值均為函數(shù)的零點，而函數(shù)恒大于等于或恒小于等于零，則對應的函數(shù)一般為類二次函數(shù)，可利用類二次函數(shù)的單調(diào)性來解題.

(Ⅰ)求l的方程；

(Ⅱ)證明：除切點(1,0)之外，曲線C在直線l下方.

x>1時，1-x2-lnx<0，所以g′(x)<0，g(x)在(1,+)上為減函數(shù)，則g(x)

綜上可知，除切點(1,0)之外，曲線C在直線l下方.

題目3 (2016年新課標Ⅲ文21)設函數(shù)f(x)=lnx-x+1.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)證明當x∈(1,+)時，；

(Ⅲ)設c>1，證明當x∈(0,1)時，1+(c-1)x>cx.

分析 在(Ⅲ)中，設函數(shù)g(x)=1+(c-1)x-cx，容易觀察出區(qū)間(0,1)的端點值0、1為函數(shù)g(x)的兩個零點，而需證g(x)>0，故大膽猜測函數(shù)g(x)為先增后減的類二次函數(shù)，以此為切入點嘗試解題.

解析 設g(x)=1+(c-1)x-cx，g′(x)=c-1-cxlnc，g″(x)=-cx(lnc)2<0，所以g′(x)在(0,1)上為減函數(shù).

又g′(0)=c-1-lnc，g′(1)=c-1-clnc.

由(Ⅱ)c>1時，c-1-lnc>0，c-1-clnc<0，即g′(0)>0，g′(1)<0.

所以存在唯一的x0∈(0,1)使得g′(x0)=0，

所以x∈(0,x0)時，g′(x)>0，g(x)在(0,x0]上為增函數(shù)，g(x)>g(0)=0；

x∈(x0,1)時，g′(x)<0，g(x)在(x0,1)上為減函數(shù)，g(x)>g(1)=0.

所以x∈(0,1)時，g(x)>0，即1+(c-1)x>cx.

三、零點與類三次函數(shù)

若函數(shù)定義域內(nèi)有一個端點值為零點，另一個非端點值為零點，而函數(shù)恒大于等于或恒小于等于零，則對應的函數(shù)一般為類三次函數(shù)，可利用類三次函數(shù)的單調(diào)性來解題.

題目4 (2017年泰安市一輪模擬題20)已知函數(shù)f(x)=aex+bx在y軸上的截距為1，并且與x軸相切.

(Ⅰ)求a，b的值；

(Ⅱ)函數(shù)g(x)=x2-2x+1，求證：x≥0時，f(x)≥g(x).

分析 由(Ⅰ)可得a=1,b=-e，設h(x)=f(x)-g(x)=ex-ex-(x-1)2，x≥0時，容易觀察出0、1為函數(shù)h(x)的零點，而需證h(x)≥0，故大膽猜測函數(shù)h(x)為先增后減再增的類三次函數(shù)，以此為切入點嘗試解題.

解析 由(Ⅰ)可得a=1,b=-e，則f(x)=ex-ex.

設h(x)=f(x)-g(x)=ex-ex-(x-1)2(x≥0).

h′(x)=ex-e-2(x-1)，h″(x)=ex-2，

h″(x)<0時，0

h″(x)>0時，x>ln2，h′(x)為增函數(shù).

因為h′(1)=0，所以h′(ln2)<0，

因為h′(0)=3-e>0，所以?x0∈(0,ln2)，使得h′(x0)=0，

所以x∈(0,x0)時，h′(x)>0，h(x)在[0,x0]為增函數(shù)，h(x)≥h(0)=0；

x∈(x0,1)時，h′(x)<0，h(x)在(x0,1)上為減函數(shù)，h(x)>h(1)=0；

x∈(1,+)時，h′(x)>0，h(x)在[1,+)上為增函數(shù)，h(x)≥h(1)=0.

綜上可知，當x≥0時，h(x)≥0，即f(x)≥g(x).

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