關于求解數列通項公式的方法

廣東省肇慶市百花中學(526000)

何正文●

?

關于求解數列通項公式的方法

廣東省肇慶市百花中學(526000)

何正文●

數列在高中數學中具有重要位置，而求數列通項公式是高中數學中的堡壘，具有一定的技巧性，是衡量學生數學素質的要素之一.它的求解方法是靈活多變的,構造的技巧性也很強,但是此類題目也有很強的規律性,存在著解決問題的通法.

歸納猜想；公式法；策略

一、歸納猜想法：由數列的前幾項求數列的通項公式

(1)根據所給數列的前幾項求其通項公式時，需仔細觀察分析，抓住以下幾方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③拆項后的特征；④各項符號特征等，并對此進行歸納、聯想.(2)根據數列的前幾項寫出數列的一個通項公式是不完全歸納法，它蘊含著從特殊到一般的思想，由不完全歸納提出的結果是不可靠的，要注意代值檢驗，對于正負符號變化，可用(-1)n或(-1)n+1來調整.

例1 寫出下面數列的一個通項公式.

二、公式法：這種方法適應于已知數列類型的題目

高中重點學了等差數列和等比數列，當題目中已知數列是等差數列或等比數列，在求其通項公式時我們就可以直接利用等差或等比數列的公式來求通項，只需求得首項及公差或公比.

1.等差數列通項公式an=a1+(n-1)d

例2 已知等差數列{an}滿足a2=0，a6+a8=-10，求數列{an}的通項公式.

為an=2-n.

2.等比數列通項公式an=a1·qn-1

3.由an與Sn的關系求an

解析a1=S1=0.

當n≥2時an=Sn-Sn-1=(n2-1)-[(n-1)2-1]=2n-1.

三、由遞推公式求數列通項公式

對于遞推公式確定的數列的求解，通常可以通過遞推公式的變換，轉化為等差數列或等比數列問題.

類型1 ：遞推公式為an+1=an+f(n)

其中f(1)+f(2)+…+f(n)的和比較易求 ，通常解法是把原遞推公式轉化為an+1-an=f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解.

解析 由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1則

an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1

=[2(n-1)+1]+[2(n-2)+1]+…+(2×2+1)+(2×1+1)+1

=2[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+(n-1)+1

=n2

類型2：遞推公式為an+1=anf(n)

兩邊分別相乘得，得an=f(n-1)f(n-2)…f(2)f(1)a1,

∵an+1=f(n)an

∴an=f(n-1)an-1，an-1=f(n-2)an-2，…，a2=f(1)a1

依次向前代入，得an=f(n-1)f(n-2)…f(1)a1.

類型3： 遞推公式為an+1=can+d,(c≠0).

(1)若c=1時，數列{an}為等差數列;

(2)若d=0時，數列{an}為等比數列;

(3)若c≠1d≠0時，數列{an}為線性遞推數列，

其通項可通過待定系數法構造輔助數列來求.

推理如下：(待定系數法)設an+1+λ=c(an+λ),得an+1=can+(c-1)λ,與題設an+1=can+d,比較系數得

(相減法)：在遞推關系an+1=can+d中把n換成n-1有an=can-1+d,兩式相減有an+1-an=c(an-an-1)從而化為公比為c的等比數列{an+1-an},進而求得通項公式.an+1-an=cn(a2-a1),再將an+1=can+d代入，即可解出an.

解法一 ∵an=2an-1+1(n≥2),

∴an+1=2(an-1+1).

∴an+1=2×2n-1，即an=2n-1.

解法二 ∵an=2an-1+1(n≥2),

∴an+1=2an+1.

(倒數變換法)利用兩邊取倒數求通項公式.

(對數變換法 )這種類型一般是等式兩邊取對數后轉化為an+1=pan+q，再利用待定系數法求解.

類型7： 遞推公式為an+2=pan+1+qan(其中p，q均為常數)

解析 3an+2-5an+1+2an=0的特征方程是：3x2-5x+2=0.

類型8：遞推公式為an+1=pan+an+b(p≠1,0,a≠0)

解析 設bn=an+An+B則an=bn-An-B，將an,an-1代入遞推式，得

∴bn=an+n+1…(1),則bn=3bn-1.

又b1=6，故bn=6×3n-1=2×3n.

代入(1)得an=2×3n-n-1.

評注 (1)若f(n)為n的二次式，則可設bn=an+An2+Bn+C;

(2)本題也可由an+1=3an+2n+1與原式相減得an+1-an=3(an-an-1)+2.記an+1-an=bn，則有bn=3bn-1+2,轉化為類型3.

類型9：雙數列型

根據所給兩個數列遞推公式的關系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解.

所以an+bn=an-1+bn-1=an-2+bn-2=…=a2+b2=a1+b1=1,

即an+bn=1. (1)

由(1)、(2)得：

類型10：含根式的遞推關系式(換元法)

類型11：(數學歸納法 )

通過首項和遞推關系式求出數列的前n項，猜出數列的通項公式，再用數學歸納法加以證明.

由此可知，當n=k+1時等式也成立.

根據(1)，(2)可知，等式對任何n∈N*都成立.

G632

B

1008-0333(2017)13-0023-04