解讀幾何概型中的“一一對應與等價轉化”

廣東省深圳市坪山區坪山高級中學(518118)

姚融民●

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解讀幾何概型中的“一一對應與等價轉化”

廣東省深圳市坪山區坪山高級中學(518118)

姚融民●

幾何概型是高中數學新課程的新增加的內容之一，是等可能事件的概念從有限到無限的延伸.正是由于幾何概型的基本事件有無限多個，故在幾何概型測度的選取上至關重要，測度不同得到的概率會呈現不同的答案.隨機事件的概率是事件的本質屬性，其取值是唯一確定的.同樣的題目出現不同答案，一定是在解題過程中出現了這樣或者那樣的問題.

人們在解題時總會專注于題目的已知條件，自然而然地將已知條件進行等價轉化，即將幾何概型的測度進行了轉化，從而忽略了在轉化過程中的等可能性問題.本文結合自身在教學過程中的遇到的幾道習題，進行分析研討，形成一些認識，與同仁探討，以期共同提高.

解1 顯然直線l的斜率存在，設直線方程為y=k(x+1)，代入(x-1)2+y2=3中得，

(k2+1)x2+2(k2-1)x+k2-2=0，

∵l與圓C相交于A,B兩點，

一、已知條件對解題思路的影響

題案1的已知條件給出了點的坐標，又給出了圓的標準方程，很容易引導解題者采用解1來解決， 不論題目設計者是有意為之，還是無心之舉，結果是帶領我們走進一個無法自拔的思維誤區.想糾正這個誤區，需與解2進行對比分析

解1是此案的典型錯解.事實上此題中定點直線系與x軸正方向所成的角是均勻分布的，是等可能的，故可以用角度作為此題的測度進行計算，如解2.而解1轉化為直線的斜率之后，斜率在所得區間內的分布是不均勻的，也就不符合等可能性.

二、探討解題思路而引發的思考

由于筆者沒有系統的學習過概率的相關理論與知識，對于實數在這種一一對應下的等可能問題該如何解釋，不能拿出理論依據進行說明，只能通過幾何圖形在宏觀至微觀的過渡中進行說明，也就是依據平均變化率至瞬時變化率(導數)這一層次進行說明解釋，得出結論如下，不當之處，敬請指正.

①對于函數y=f(x)，假設自變量x在定義域內是均勻分布的，當且僅當f′(x)=常數時，函數值y在其值域內是均勻分布的.

三、一一對應不能確保等可能性，啟發思維

此題案實際上與著名的“貝特朗問題”有異曲同工之妙，事實上“貝特朗問題”自從1993年柯莫哥洛夫提出概率的公理化定義以后就能辯解清楚了(本文不再論述)，即幾何概型的測度選取至關重要，同樣的題目在不同的測度下得出的概率是不同的，究其原因就是將已知條件轉化為測度的過程中，雖然是等價轉化，但在轉化過程中沒有保證測度的等可能性.本文不在論述“貝特朗問題”.

針對題案1引發的疑問是：“直線系與x軸正方向所成的角是均勻分布的，是等可能的，此角與直線的斜率(正切值)是一一對應的，如何理解實數與實數在一一對應下，等可能性的不同.”這個疑問在高中階段很難與學生解釋清楚.而本題案的測度選取又不是很明確.故筆者列舉以下題案加以說明.

上面兩題的意圖把幾何概型結合不等式來進行綜合考查，意圖顯而易見，屬于小綜合題，參考答案給出的是解1，既然解1是正確的，那么解2的問題在哪里呢？

那么此變式的解法應該將y在區間上的分布認為是均勻的，而x的分布是不均勻的，故用解2來解此變式.

題案2可以說明的問題是：“雖然x與y是一一對應的，假設x在區間上是均勻分布的，而y在其區間上的分布即是不均勻的，反之亦然.”在此進一步說明結論①.

綜上所述，對于幾何概型的概率計算，測度的準確選取至觀重要.一般情況下我們應該從題目的原始條件出發確定測度，也可以適當進行等價轉化，化繁為簡，但一定要確保在等價轉化過程中等可能性的保持.不論怎樣選取測度，都要從條件產生的等可能角度出發，從基本事件的等可能性出發，從建構均勻分布的樣本空間出發，方能撥開迷霧，解決疑難.

[1]徐明. “幾何概型”教學釋疑—兼談“貝特朗悖論”[J].數學通訊，2009(6)(下半月)

[2]許麗麗，江澤.教育教學[J].福建基礎教育研究,2011(8)

[3]魏宗舒.概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社，1983.

[4]普通高中課程標準試驗教科書.數學3(必修)[M].北京：人民教育出版社，2007.

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